4.2 对数函数-(必修第一册) (教师版)

对数函数
1对数的概念
①概念
一般地，如果a x=N(a>0 ,且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=log a N. (a底数， N真数， log a N对数)
②两个重要对数
常用对数以10为底的对数，log10 N记为lgN；
自然对数以无理数e为底的对数的对数，log e N记为ln N．
③对数式与指数式的互化
x=log a N ⟺a x=N
对数式指数式
④结论
(1)负数和零没有对数(2)log a a=1，log a1=0.
特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0.
2 对数的运算
如果a>0， a ≠ 1 , M>0 ,N>0 , 有
①log a(MN)=log a M+log a N②log a M
N
=log a M−log a N
③log a M n=n log a M(n∈R)④a log a M=M
⑤换底公式
log a b=log c b
log c a
(a>0 ,a≠ 1 ,c>0 ,c≠ 1 ,b>0)
利用换底公式推导下面的结论
①log a b=1
log b a ② log a b⋅ log b c=log a c ③log a m b n=n
m
log a b
特别注意：log a MN ≠ log a M⋅ log a N，log a(M ±N)≠ log a M± log a N
3 对数函数
①对数函数的概念
函数y=log a x(a>0 ,a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.
②图像与性质
【题型一】对数的化简与求值
+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50
【典题1】求值2log32−log332
9
+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50
【解析】2log32−log332
9
+log38−3+(lg5)2+2lg2∙lg5+(lg2)2
=log34−log332
9
×8)−3+(lg5+lg2)2
=log3(4×9
32
=2−3+1
=0．
∈(n ,n+1)，n∈N，则n的值是.【典题2】若x ,y ,z∈R+，且3x=4y=12z，x+y
z
【解析】令3x =4y =12z =k >1．
则x =log 3k =lgk
lg3， y =log 4k =lgk
lg4 ，z =log 12k =lgk
lg12． (利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+y z
求值去掉k )
∴
x+y z
=
lgk lg3+lgk
lg4lgk lg12
=
lg12⋅lg12lg3∙lg4
=
(lg3+lg4)2lg3∙lg4=lg3lg4+lg4
lg3+2，
(∵
x+y z
∈(n ,n +1)，∴要对lg3
lg4+lg4
lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)
∵0<lg3
lg4<1 ∴lg3
lg4+lg4
lg3>2 (利用对勾函数可得) ∴lg3lg4
+
lg4lg3
+2>4， ∵
lg4lg3
<2 ,
lg3lg4
<1 ∴
lg3lg4
+
lg4lg3
+2<5,
则x =lg3
lg4+lg4
lg3+2∈(4 ,5)=(n ,n +1)， 则n =4． 巩固练习
1 (★) 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x ,(x >0)，则f [f (1
2)]= .
【答案】 1
3
【解析】∵f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x >0)，∴f(12)=log 21
2=−1．
则f[f(1
2
)]=f(−1)=3−1=1
3
．
2 (★) (lg2
)2+lg5×lg20+(√2016)0
+0.027
−
23
×(13)
−2
= ．
【答案】 102 【解析】(lg2)2
+lg5•lg20+(√2016)0
+0.027
−
23
×(13
)−2 ＝(lg2)2+lg5•(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3]−
23
×9
=(lg2+lg5)2+1+1
0.09×9 =1+1+100 =102．
3(★★) 求值:
lg √10⋅lg0.1
= ．
【答案】 −4 【解析】
lg √10⋅lg0.1=
3lg2+3lg5−lg2−lg5
12lg10⋅lg 110
=
2(lg2+lg5)
−1
2
=−4
4(★★) 求值:2
log 2
14
−(827)
−2
3
+lg 1
100+(√2−1)
lg1
＝ ．
【答案】 −3 【解析】2
log 2
14
−(827)
−2
3
+lg 1
100+(√2−1)
lg1
=1
4−[(23)3]
−2
3
−2+(√2−1)0
=1
4−9
4−2+1 ＝−3． 故答案为：−3．
5(★★) 若a >1，b >1且lg(1+b a
)=lgb ，则lg(a −1)+lg(b −1)的值 ． 【答案】 0
【解析】∵a >1，b >1且lg(1+b a )=lgb ， ∴1+
b
a
=b ，∴a +b =ab ， ∴lg(a −1)+lg(b −1)=lg[(a −1)(b −1)]=lg(ab −a −b +1)=lg1=0． 故选：C ．
6(★★★) 已知2a =7b =m ，1
a +
12b
=1
2
，则m ＝ .
【答案】 28
【解析】∵2a =7b =m ，∴a =log 2m ，b =log 7m ， ∵1
a +
12b
=12
，∴log m 2+12
×log m 7=log m (2√7)=1
2
，
∴√m =2√7，解得m =28． 故答案为28．
7(★★★) 已知a >b >1，若log a b +log b a =5
2，a b =b a ，则ab ＝ ． 【答案】 8
【解析】∵log a b +log b a =5
2；
∴1 log b a +log b a=
1+(log b a)2
log b a
=52；
∴2(log b a)2−5log b a+2=0；解得log b a=12或log b a=2；
∵a>b>1；∴log b a>1；∴log b a=2；∴a=b2；
又a b=b a；
∴b2b=b b2；∴b2=2b；∴b=2或b=0(舍去)；∴a=4；
∴ab=8．
故答案为：8．
【题型二】对数函数的图象及应用
【典题1】函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()
A．B．C．D．【解析】方法1
y=log a(|x|+1)={log a(x+1),x≥0
log a(−x+1),x<0，因a>1，由对数函数的性质易得选B.
方法2函数图象变换
左移1个单位⇒
去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称⇒
故选B．
【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有
①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
【典题2】设a ,b ,c均为正数，且2a=log1
2a，(1
2
)b=log1
2
b，(1
2
)c=log2c，则()
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
【解析】 分别作出四个函数y =(12
)x ,y =log 12
x ，y =2x ，y =log 2x 的图象，观察它们的交点情况．由图
象知a <b <c ．故选A ．
【点拨】
① 2a =log 12
a 中a 是函数y =2x 与y =log 12
x 的交点横坐标；
② 函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数，图象关于直线y =x 对称. 函数y =(1
2)x 与y =log 12
x 也是.
【典题3】 已知f(x)={3|log 3x| ,0<x ≤3
(x −4)(x −6) ,x >3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a <b <c <d ，则abcd 的
取值范围是 .
思考痕迹 已知条件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相当于y =f(x)与一直线y =k 相交于四个点，四点的横坐标是a 、b 、c 、d ，所以想到数形结合.
【解析】 先画出f(x)={3|log 3x| ,0<x ≤3(x −4)(x −6) ,x >3
的图象，如图
∵a ,b ,c ,d 互不相同，不妨设a <b <c <d ． 且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3<c <4． 由图可知|log 3a |=|log 3b |，c 、d 关于x =5对称, ∴−log 3a =log 3b ，c +d =10，即ab =1 ,c +d =10， 故abcd =c (10−c )=−(c −5)2+25，由图象可知3<c <4， 由二次函数的知识可知21<−c 2+12c <24， ∴abcd 的范围为(21 ,24)．
【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x =3处.
巩固练习
1(★) 已知lga +lgb =0，函数f(x)=a x 与函数g (x )=−log b x 的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】∵lga +lgb =0，∴ab =1则b =1
a
从而g (x )=－log b x =log a x ，
∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选B ， 故答案为B
2(★) 已知图中曲线C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4分别是函数y =log a 1x ，y =log a 2x ，y =log a 3x ，y =log a 4x 的图象，则a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4的大小关系是( )
A ．a 4<a 3<a 2<a 1
B ．a 3<a 4<a 1<a 2
C ．a 2<a 1<a 3<a 4
D ．a 3<a 4<a 2<a 1 【答案】B
【解析】选B .由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用log a a =1结合图象求解． 3(★★) 已知函数f(x)=|lnx|，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则a +5b 的取值范围是( ) A ．(2√5，+∞) B ．[2√5，+∞) C ．(6 ,+∞) D ．[6 ,+∞)
【答案】 C
【解析】函数f(x)=|lnx|⇔f(x)={−lnx(0<x <1)
lnx(x >1)，
又因为0<a <b ，故0<a <1，b >1， 又知道f(a)=f(b)， ∴－lna =lnb ，即1
a =
b ，
∴设t =a +5b =a +5
a
，
∵由对勾函数的性质可知,t 在(0,1)上单调递减，∴t >1+5=6，即a +5b >6， 故选：C ．
4(★★) 已知函数f(x)=|log a |x −1||(a >0 ,a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4 ,x 1x 2x 3x 4≠0且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4=( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化 【答案】B
【解析】函数f(x)=|log a |x －1||的图象如下图所示：
有图可知，函数f(x)=|log a |x －1||的图象关于直线x =1对称， 又∵x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)， 则x 1+x 2+x 3+x 4=4． 故选：B
5 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2(x −1)|，g(x)=(12
)x
，则图象交于A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)两点，则( )
A ．x 1x 2<1
B ．x 1+x 2>5
C ．x 1+x 2>x 1x 2
D ．x 1+x 2<x 1x 2
【答案】C 【解析】不妨设x 1<x 2，
作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x 1<2，x 2>2，
则f(x 1)=|log 2(x 1－1)|=－log 2(x 1－1),f(x 2)=|log 2(x 2－1)|=log 2(x 2－1)， 则f(x 2)－f(x 1)=log 2(x 2－1)+log 2(x 1－1)=log 2(x 1－1)(x 2－1)=(1
2)x 2−(1
2)x 1<0， 即(x 1－1)(x 2－1)<1，即x 1x 2－(x 1+x 2)+1<1，即x 1+x 2>x 1•x 2， 故选：C ．
6 (★★★) 已知函数f(x)={|log 2x| ,0<x ≤8
−14
x +5 ,x >8
，若a ,b ,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值
范围是 ． 【答案】(8 ,20)
【解析】根据已知画出函数图象： 不妨设a <b <c ，
∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－log 2a =log 2b =−1
4c +5， ∴log 2(ab)=0，0<−1
4c +5<3， 解得ab =1，8<c <20， ∴8<abc <20． 故答案为(8,20)．
7 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2x |，g(x)=1
2x ，若对任意x ∈[a ,+∞)，总存在两个x 0∈[1
2 ,4]，使得g(x)∙f(x 0)=1，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[2 ,+∞) 【解析】f(x 0)=
1g(x)
=2x
，∵x ∈[a,+∞)，∴f(x 0)≤2
a
，
作出f(x)在[1
2，4]上的函数图象如图：
∵对任意x ∈[a,+∞)，总存在两个x 0∈[1
2,4]，使得g(x)•f(x 0)=1，
∴0<2
a
≤1，解得a≥2．
故答案为[2,+∞)．
【题型三】对数函数的性质及应用
角度1 比较对数式的大小
【典题1】已知a=log27 ,b=log38 ,c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】由题意，可知a=log27>log24=2，c=0.30.2<0.30=1，
∵1<log38<log39=2∴1<b<2，
∴c<b<a．
故选A．
【典题2】设a=log23 ,b=4
3
,c=log34，则a ,b ,c的大小关系为()
A．b<a<c B．c<a<b C．a<b<c D．c<b<a
【解析】∵a=log23>log2243=4
3=b ,b=4
3
=log3343>log34=c，
∴a ,b ,c的大小关系为c<b<a．
故选D．
【典题3】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】由题意，可知a=log52<1，c=0.50.2<1，
b=log0.50.2=log1
21
5
=log25>log24=2，(初步估值)
∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)
∵a=log52=1
log25<1
2
，c=0.50.2=(1
2
)15=√1
2
5>1
2
∴a<c，(引入第三数1
2
比较)
∴a<c<b，故选：A．
【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有
①把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；
②若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小；
③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
角度2 求解对数型不等式和方程
【典题1】方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为．【解析】∵log2(x−1)=2−log2(x+1)，
∴log2(x−1)=log24x+1，
∴x−1=4x+1，解得x=±√5．
检验得x=−√5不符合，(注意真数的范围)
∴方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为{√5}．
故答案为{√5}．
【典题2】不等式log2(x2−1)<3的解集为.
【解析】log
2(x2−1)<3⇔log
2
(x2−1)<log
2
8
∴0<x2−1<8 (误解x2−1<8)
解得−3<x<−1或1<x<3.
【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数log a x中真数x>0”这点.
角度3 对数型函数综合问题
【典题1】函数y=log1
2
(x2−6x+17)的值域是 .
【解析】∵t=x2−6x+17=(x−3)2+8≥8
∴内层函数的值域[8 ,+∞),
而 y=log1
2t在[8 ,+∞)是减函数，故y≤log1
2
8=−3
∴函数y=log1
2
(x2−6x+17)的值域是(−∞ ,−3].
【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.
【典题2】已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(0 ,1]时，f(x)=2x−1，则方程f(x)=log7|x−2|解的个数是.
【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，
由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+2)=f(−x)，∴f(x)的有条对称轴x=1，
由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．
(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下
①画f(x)=2x－1 ,x∈(0 ,1)②根据奇函数的性质③由对称轴x=1可得
④由周期T=4可得
)
作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log7|x−2|图象，
注意到g(9)=1 ,g(−7)>1，(注意一些临界的位置)
从图象不难看出，其交点个数7个．
【点拨】
①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；
②f(x+a)=f(x+b)⇒f(x)的周期T=a−b，
f(x+a)=f(b−x)⇒f(x)的对称轴x=a+b
2
f(x+a)=−f(x)⇒f(x)的周期T=2a
f (x +a )=1
f (x )⇒f (x )的周期T =2a .
【典题3】设a >0，b >0，则下列叙述正确的是( )
A ．若lna −2b >lnb −2a ，则a >b
B ．若lna −2b >lnb －2a ，则a <b
C ．若lna −2a >lnb −2b ，则a >b
D ．若lna −2a >lnb －2b ，则a <b
【解析】方法1 构造函数法
∵y =lnx 与y =2x 均为增函数，故f(x)=lnx +2x 在(0 ,+∞)上为增函数，
故f(a)>f(b)⇔a >b >0，
即lna +2a >lnb +2b ⇔a >b >0，即lna −2b >lnb −2a ⇔a >b >0，
故选A ．
方法2 取特殊值排除法
对于A 、B ，
令a =1，b =1e ，代入lna −2b >lnb −2a 得−2e >−3显然成立， 而a >b ，此时可排除选项B ；
对于选项C 、D ，
令a =1，b =e ，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>1−2e 显然成立，而a <b 可排除选项C ；
令a =1，b =
1e 2，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>−2−2e 2显然成立，而a >b 可排除选项D ；
故选A ．
【点拨】
① 方法1通过构造函数f(x)=lnx +2x ，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！
② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.
【典题4】已知函数f(x)=log 31−x 1+x ．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)当x ∈[−12 ,12]时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域． 【解析】 (1)要使函数f(x)=log 31−x 1+x 的解析式有意义，
自变量x 须满足1−x 1+x >0，解得x ∈(−1 ,1)，
故函数f(x)的定义域为(－1 ,1)；
(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，
且f (−x )=log 31+x 1−x =−log 31−x 1+x =−f (x )，
故函数f(x)为奇函数；
(3)当x ∈[－12，12
]时，令u(x)=1−x 1+x =21+x −1 (分离常数法) (注 函数图象如右图，由y =2x 向左向下平移一个单位得到的)
故u(x)=1−x 1+x 在[−12 ,12]上为减函数，则u(x)∈[13 ,3]，
又∵g(x)=f(x)=log 3u 为增函数，
故g(x)∈[−1 ,1]，
故函数g(x)的值域为[−1 ,1]．
【点拨】
① 遇到形如f (x )=a∙g (x )+b c∙g (x )+d 的函数(比如y =1−2x
1+x ，y =2x −3
2x +4，y =3x 2+4
x 2−1等)均可采取“分离常数法”，易求函数
的单调性，对称性，最值等性质；
② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.
【典题5】 设D 是函数y =f(x)定义域的一个子集，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)=−x 0成立，
则称x 0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D 上存在准不动点．
已知f(x)=log 12
(4x +a ⋅2x −1)，x ∈[0 ,1]． (1)若a =1，求函数f(x)的准不动点；
(2)若函数f(x)在区间[0 ,1]上存在准不动点，求实数a 的取值范围．
【解析】 (1)当a =1时，可得f (x )=log 12
(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0 ,1]， 可得4x +2x −1=2x ，即4x =1，∴x =0．
当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0．
(2)方法1 由定义可得方程log1
2
(4x+a⋅2x−1)=−x在x∈[0 ,1]上有解，
即方程4x+a⋅2x−1=2x在x∈[0 ,1]上有解, 且4x+a∙2x−1>0(∗)
令2x=t，x∈[0 ,1]，则t∈[1 ,2]，
那问题(∗)转化为方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，令g(t)=t2+(a−1)t−1，开口向上且g(0)<0，
所以y=g(t)在[1 ,2]上与x轴只有一个交点，
则只需要g(1)g(2)≤0，解得−1
2
≤a≤1，
(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)
要使t2+at−1>0(1≤t≤2)恒成立．
其对称轴x=−a
2
，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得a>0．综上可得实数a的取值范围是(0，1]．
方法2
与方法1同样得到方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，
即a=1−t+1
t 在t∈[1 ,2]上有解，且a>1
t
−t在t∈[1 ,2]上恒成立(分离参数法)
由ℎ(t)=1−t+1
t 在t∈[1 ,2]上显然是减函数，其值域为[−1
2
,1]，则−1
2
≤a≤1；
由d(t)=1
t
−t在t∈[1 ,2]上显然是减函数，最大值为d(1)=0，则a>0,
综上可得实数a的取值范围是(0,1]．
【点拨】
①在第二问中不要漏了4x+a∙2x−1>0，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；
②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,
巩固练习
1(★)若a=log21.5 ,b=log20.1 ,c=20.2，则()
A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c
【答案】D
【解析】log 20.1<log 21.5<log 22=1，20.2>20=1；
∴b <a <c ．
故选：D ．
2(★★) 设a =log 126,b =log 1412,c =log 15
15，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．c <a <b
【答案】 A
【解析】a =log 126=−1−log 23=−1−1
log 32，b =log 1412=−1−log 43=−1−1
log 34，
c =log 1515=−1−log 53=−1−1
log 35；
∵0<log 32<log 34<log 35；∴1log 32>1
log 34>1
log 35；
∴a <b <c ．
故选：A ．
3(★★) f(x)是定义在R 上的函数，且f(2−x)=f(x)，当x ≥1时，f(x)=log 2x ，则有( )
A ．f(13)<f(2)<f(12)
B ．f(12)<f(2)<f(13)
C ．f(12)<f(13)<f(2)
D ．f(2)<f(12)<f(13)
【答案】 C
【解析】∵x ≥1时f(x)=log 2x ，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，
∵f(2－x)=f(x)，∴f(12)=f(2−12)=f(32)，f(13)=f(2−13)=f(53)，
又1<32<53<2，
∴f(32)<f(53)<f(2)，即f(12)<f(13)<f(2)，
故选：C ．
4(★★) 不等式log 2(2x −1)∙log 2(2x+1−2)<2的解集为 ．
【答案】 (log 254 ,log 23)
【解析】设t =log 2(2x －1)，则不等式可化为t(t +1)<2，
所以t 2+t －2<0，所以－2<t <1．
所以－2<log 2(2x －1)<1，所以2－2<2x －1<2
所以54<2x <3所以解集为(log 254,log 23) 故选B ．
5(★★) 函数f(x)=log 13
(x 2−3x +2)的单调递增区间为 ． 【答案】 (−∞ ,1)
6(★★) 方程log 2(4x −3)=x +1的解集为 ．
【答案】 {log 23}
【解析】∵log 2(4x －3)=x +1，∴2x+1=4x －3， ∴(2x )2－2•2x －3=0，解得2x =3，或2x =－1(舍)， ∴x =log 23．
∴方程log 2(4x －3)=x +1的解集为{log 23}．
故答案为：{log 23}．
7(★★★) 已知函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=2log a (2x +t)(t ∈R)，a >0，且a ≠1．
(1)若1是关于x 的方程f (x )−g(x)=0的一个解，求t 的值；
(2)当0<a <1且t =−1时，解不等式f(x)≤g(x)；
(3)若函数F (x )=a f (x )+tx 2−2t +1在区间(−1 ,2]上有零点，求t 的取值范围．
【答案】(1)t =√2−2 (2)12<x ≤54 (3)t ≤−2或t ≥2+√24．
【解析】 (1)∵1是关于x 的方程f(x)－g(x)=0的一个解， ∴log a 2－2log a (2+t)=0，
∴2=(2+t )2，
∴t =√2−2；
(2)当0<a <1且t =－1时，
不等式f(x)≤g(x)可化为log a (x +1)≤2log a (2x －1)，
故{x +1≥(2x −1)22x −1>0
， 解得12<x ≤54； (3)F(x)=a f (x )+tx 2－2t +1=x +1+tx 2－2t +1=tx 2+x －2t +2， 令tx 2+x －2t +2=0，
即t(x 2－2)=－(x +2)，
∵x∈(－1,2]，∴x+2∈(1,4]，∴t≠0，x2－2≠0；
∴1
t =−x2−2
x+2
=−[(x+2)+2
x+2
]+4，
∵2√2≤(x+2)+2
x+2≤9
2
，
∴−1
2≤−[(x+2)+2
x+2
]+4≤4－2√2，
∴−1
2≤1
t
≤4－2√2，
∴t≤－2或t≥2+√2
4
．。