高等数学2期末复习题与答案

《高等数学》2期末复习题
一、填空题:
1、函数得定义域就是 1≦X^2+Y^2<3 、
2、设则、
3、函数在点得全微分
4.设则、
设则、
5、设而则
6.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)得方向导数就是
7、改换积分次序 ; 、
8.若L就是抛物线上从点A到点B得一段弧,则=
9、微分方程得通解为、
二、选择题:
1. 等于 ( )(上下求导)
A.2, B、 C、0 D、不存在
2.函数得定义域就是( D )
A. B、
C、 D.
3、 ( B )
A、 B、
C、 D、
5、设,且F具有导数,则(D )
A、;
B、;
C、 ;
D、、
6.曲线 ,,,在处得切向量就是 ( D )
A. B、 C、 D、
7.对于函数 ,原点 ( A )
A.就是驻点但不就是极值点 B、不就是驻点 C、就是极大值点 D、就是极小值点
8.设I=, 其中D就是圆环所确定得闭区域,则必有( )
A.I大于零 B、I小于零 C、I等于零 D、I不等于零,但符号不能确定。

9、已知L就是平面上不包含原点得任意闭曲线,若曲线积分,则a等于( )、
A -1
B 1
C 2
D -2
10.若L为连接及两点得直线段,则曲线积分=( )
A.0 B、1 C、 D、2
11、设D为则( )
A、;
B、 ;
C、 ;
D、、
12、微分方程得通解为( )
A、;
B、;
C、;
D、
13、( )就是微分方程在初始条件下得特解、
A、;
B、;
C、;
D、、
三、计算题:
1、设,求及,其中f 具有一阶连续偏导数、
2．设, 求 ,
3．求旋转抛物面在点处得切平面及法线方程。

4．求函数得极值
5．计算,其中D就是由圆周及轴所围成得右
半闭区域、
6．计算,其中D就是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点得三角
形闭区域、
7、计算 ,其中就是三个坐标面与平面所围成得区域、
8、计算 ,其中L为圆得正向边界。

9、计算曲线积分其中L就是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0)、
10、验证:在整个面内,就是某个函数得全微分,并求出这样得一个函数、
11、求微分方程得通解、
12、求解微分方程得特解:
13、解微分方程
、
四、应用题:
1、用钢板制造一个容积为V得无盖长方形水池,应如何选择水池得长、宽、高才最省钢板、
2、已知矩形得周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时得矩形面积、
3、求抛物线所围成得闭区域得面积、
4、求抛物面与锥面所围成得立体得体积、
高等数学2期末复习题答案
一、填空题:
1、2、3、
4、5、
6、(注:方向导数)
7、;
8、(注:) 9、
二、选择题:
1、A;
2、 D;
3、 B;
4、缺
5、 D;
6、 D;
7、 A;
8、 A;
9、 A; 10、C;
11、 C; 12、C; 13、D
三、计算题:
1、解:令,则
2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v
∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v
∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2、 解:两方程分别两边对求偏导数,注意就是关于得二元函数,得
即
这就是以为未知量得二元线性方程组。

当 时,有
,
3、 解:旋转抛物面 在点处得切向量
于就是,所求切平面方程为 ,即
法线方程为
4、 解:解方程组,
得四个驻点、又
、
对且,则就是函数得极小值点;
对,则不就是极值点;
对,则不就是极值点;
对,且,则就是函数得极大值点、
于就是,函数有极小值,
极大值 、
5、 解:利用极坐标变换,令,则,且D 可表示为:、于就是
、
6、 解:三角形区域D 由直线及轴围成,选择先对积分,
22221
111000011(1)22y y y y y D e dxdy dy e dx ye dy e e -----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰、 (注:此题也可以参瞧课本167页例2得解法)
7、解题过程见课本124页例1、
8、 解:在L 围成得圆域D:上全在连续得偏导数,,从而 、于就是由格林公式,
得
(24)(3513)44425100L D D
x y dx x y dy dxdy dxdy ππ-+++-===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰、 9、 解:,有 在整个平面上恒成立,所以曲线积分与路径无关,故可取轴上线段OA 作为积分路径、
OA 得方程为,且从0变到2,,从而
、
10、 解:,有
,,
即有在整个平面上恒成立,因此在整个面内,就是某个函数得全微分、
取ARB 为积分路径,其中各点坐标分别为,得
4sin sin3cos 3cos3cos 24sin sin3cos 3cos3cos 2AR RB x y xdx y xdy x y xdx y xdy =-+-⎰⎰
、
11、 解法一:方程可改写为 ,这就是一阶非齐次线性微分方程、先求对应得齐次线性方程得通解、
由,分离变量,得,两边积分,解得 、
用常数变易法,将换成、即,、
代入原方程,化简得 、故 、
于就是方程得通解为 、
解法二:方程可改写为 、
这就是一阶非齐次线性微分方程,其中、利用通解公式
、
12、 课本212页第8题第(1)小题。

解:原方程可写成 、令,即 ,有 ,则原方程成为 ,分离变量,得 、两边积分,得、
代入并整理,得通解 、
由初始条件得 、于就是所求特解为 、
13、解题过程见课本212页例5、
四、应用题:
1、解法一:设水池得长、宽、高分别就是、已知xyz=V,从而高,水池表面得面积
S 得定义域、
这个问题就就是求二元函数S 在区域D 内得最小值、
解方程组在区域D内解得唯一得驻点、
根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就就是最小值点、即当长,宽均为,高为时,水池所用材料最省、
解法二:设水池得长、宽、高分别就是、已知xyz=V,水池表面得面积
S得定义域、此题就就是求函数在约束条件xyz=V下得最小值、构造拉格朗日函数、
解方程组
比较(1),(2),(3)式,得 x=y=2z,代入(4)式中,有,即、
于就是,x,y,z只有唯一一组解、
由问题得实际意义最小值在定义域内必存在、因此,函数S在其唯一驻点处必取得最小值、
故当长方形水池得长,宽,高分别就是时所用材料最省、
2、解题过程见课本98页例4、
3、利用二重积分求闭区域得面积
解:所求区域得面积为 ,其中D为抛物线所围成得闭区域、两曲线交于两点(0,0),(1,2)、选择先对积分,于就是,
、
4、利用三重积分计算立体得体积、
解法一:所求立体得体积为 ,其中就是抛物面与锥面所围成得立体、
利用直角坐标计算、由与消去,解得,即在面上得投影区域D为圆域、于就是、
因此
= (用极坐标)
、
解法二:所求立体得体积为 ,其中就是抛物面与锥面所围成得立体、利用柱面坐标计算、由与消去,解得,即在面上得投影区域D为圆域、于就是,在柱面坐标变换下
、
因此
、。