人教A版高中数学必修五 特征方程法求解递推关系中的数列通项

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特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n
a 为常数列，即0101,;x
b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以
c 为公比
的等比数列，即0111
1,x a b c b b n n -==-.
证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c
d
x -=
作换元,0x a b n n -=则.)(110011
n n n n n n cb x a c c
cd
ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--
当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1
1-=n n c b b
当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.
例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解：作方程.2
3,2310-=--
=x x x 则 当41=a 时，.211
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以3
1
-为公比的等比数列.于是
.N ,)3
1
(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。

当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5
360i
x +-=
要使n a 为常数，即则必须.5
3601i
x a +-=
= 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，
βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的
特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为
1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x B A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
1)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B
的方程组）。

例
3
：
已
知
数
列
{}
n a 满足
),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项
公式。

解法一（待定系数——迭加法）
由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。

把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23⋅-=-a b a a ，
234)3
2
()(⋅-=-a b a a ，
∙∙∙
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=
-。

a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

3
2,121=
=x x , ∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是
⎩⎨
⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)
3
2
)((323--+-=n n b a a b a
三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于
N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且
r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h
rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若
λ
≠1a ，则
,N ,1
∈+=
n b a n
n λ其中
.N ,)1(11∈--+-=
n r p r
n a b n λ
λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，
无穷数列}{n a 不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则
1
1
2--=
n n n c c a λλ，,N ∈n
其中).(,N ,)(211
212111λλλλλ≠∈----=-a n r
p r p a a c n n 其中
例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=
∈-n n n a a a n 且,31=a 求
}{n a 的通项公式.
解:依定理作特征方程,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，
则有
.N ,)2
21211(2313)(1
1212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n
n λλ 即.N ,)
5(24
)5(∈-+--=n a n
n n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=+n n n a a a
（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a
（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？
解：作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ
λr p r
n a b n --+-=
)1(11
51131
)1(531⋅-⋅
-+-=
n ,8
121-+-=n
令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5
17
51--=+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有
.N ,8
1
51)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得
N ,1
13
51∈--=
n n n a 且n ≥2. ∴当113
51--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不
存在.
于是知：当1a 在集合3{-或,:1
13
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在. 练习题：
求下列数列的通项公式：
1、 在数列}{n a 中，,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ，求n a 。

（key ：
21)1(32---+⋅=n n n a ）
2、 在数列}{n a 中，,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ，求n a 。

（key ：
)14(3
1
-=n n a ）
3、 在数列}{n a 中，,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ，求n a 。

（key ：
121-=+n n a ）
4、 在数列}{n a 中，,2,321==a a n n n a a a 3
1
3212+=
++，求n a 。

（key ：2)3
1
(4147--⋅+=
n n a ） 5、 在数列}{n a 中，,35,321=
=a a )4(3
1
12n n n a a a -=++，求n a 。

（key ：1
3
21-+
=n n a ）
6、 在数列}{n a 中，,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12，且1=+q p .求n a .
（key ：1=q 时，))(1(a b n a a n --+=；1≠q 时，
q
q a b b aq a n n +---+=-1))((1
）
7、 在数列}{n a 中，,,21b a a a a +==0
)(12=++-++n n n qa a q p pa （q p ,是非0常数）.求n a .（key ： b p
q q p p a a n n )](1[1
---+
= (q p ≠)； b n a a n )1(1-+=）(q p =)
8、在数列}{n a 中，21,a a 给定，21--+=n n n ca ba a .求
n a .(key:122211)
(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=
----α
βαβαβαβ)(βα≠；若βα=，上式不能应用，此时，.)2()1(112
2----⋅-=n n n a n a n a αα
附定理3的证明
定理3(分式递推问题)：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于
N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且
r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h
rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1
∈+=
n b a n
n λ其中.N ,)1(11∈--+-=
n r p r
n a b n λ
λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，
无穷数列}{n a 不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则
1
1
2--=
n n n c c a λλ，
,
N ∈n 其中
).(,N ,)(211
212111λλλλλ≠∈----=
-a n r
p r p a a c n n 其中
证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ
则λλ-++=
-=++h
ra q
pa a d n n n n 11
h ra h
q r p a n n +-+-=
λλ)(
h
d r h
q r p d n n ++-+-+=
)())((λλλλ
λ
λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=]
)([)(2 ①
∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r h
r q
p λλλλ
将该式代入①式得.N ,)
(1∈-+-=+n r
h rd r p d d n n n λλ ②
将r
p
x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特
征方程的根λ,r
p
≠于是.0≠-r p λ
③
当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故
.N ,∈=+=n d a n n λλ
当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：
.1)(11
r
p r
d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=
+ ④
由λ是方程h rx q px x ++=
的两个相同的根可以求得.2r h
p -=
λ ∴,122=++=---+=-+h p p h r
r
h p p r
r h p h r p r h λλ
将此式代入④式得
.N ,111
∈-+=
+n r
p r d d n n λ 令.N ,1∈=
n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r
p r b b n n λ故数列}{n b 是以r
p r
λ-为公差的等差数列.
∴.N ,)1(1∈-⋅
-+=n r
p r
n b b n λ 其中.11111λ
-==
a d
b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1
∈+=
+=n b d a n
n n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0
001
n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.
再证明定理的第（2）部分如下：
∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,2
1
∈--=
n a a c n n n λλ
故21111λλ--=
+++n n n a a c ，将h
ra q
pa a n n n ++=+1代入再整理得
N ,)()(22111∈-+--+-=
+n h
q r p a h
q r p a c n n n λλλλ ⑤
由第（1）部分的证明过程知r
p
x =
不是特征方程的根，故
.,21r
p r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得： N ,2211211∈--+--+
⋅--=+n r p h q a r p h q a r p r p c n n n λλλλλλ ⑥ ∵特征方程h
rx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xr p xh q x --=
-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程. ∴222111,λλλλλλ-=---=--r
p h q r p h q 将上两式代入⑥式得
N ,2121211∈--=--⋅--=-n c r
p r p a a r p r p c n n n n λλλλλλ 当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为
r p r p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有
.))(()(12121111211------=--=n n n r p r p a a r p r p c c λλλλλλ 当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由2
1λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,11
2∈--=n c c a n n n λλ(证毕)
注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h ra q pa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。