定积分的几何应用 和经济应用

x a sin t
a
x2 y( x )dx 4 b 1 2 dx 0 a
a

2
4ab costd sint ab.
0
2. 极坐标方程的情形
设由曲线 r ( ) 及射线
d

r ( )
、 围成一曲边扇形，
求其面积．这里， ( ) 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
x 且垂直于x 轴
dV A( x )dx ,
A( x ) 表示过点 o
a
x x dx
b
x
的截面面积， A( x ) 为x 的已知连续函数
立体体积 V

b
a
A( x )dx.
例 8 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心， 并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立 体的体积.
解
取坐标系如图 底圆方程为
第五章
第六节 定积分的几何应用
（一） 平面图形的面积
1. 直角坐标情形 2.极坐标方程的情形
（二） 旋转体的体积
回顾：基本积分公式
1) 0dx C
1 3) dx ln x C x 1 2) x dx x 1 C 1 ax x 4) a dx C (a 0, a 1) ln a
2
b
a b
2
2 2 ( b y )dy 2
b
2
a 2 1 3 2 2 b y y 3 0 b 4 2 a b 3 4 3 特别地，当 a b 时，得半径为 a 的球体积 V a . 3
三、平行截面面积已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
dt
2
1000 e (1 e )
R
o
2

x y R
2 2
x
y
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形 1 2 2 A ( x ) ( R x ) tan , 截面面积 2 1 R 2 立体体积 V (R x 2 ) tan dx 2 R 3 tan . 2 R 3
x
作
业
P171. 1.（1）（2）
y x4
y2 2 x
y2 A (y 4 )d y 18. 2 2
显然解法2简单！ 选择合适的积分变量是重要的。
例3
推导椭圆面积 A 的计算公式.
解
设椭圆方程为 x y 1. 2 2
2
2
a
b
由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍．
以x为积分变量，得
A 40
虑从现在开始 t 0 到 T 年后这一时间段的将来
值和现值。（以连续复利率计息） 在区间 [0, T ] 内任取一小区间[t , t dt] ， 在 [t , t dt] 内所获得的金额近似为 p(t )dt 分析 从 t 0 开始, p(t )dt这一金额是在 t 年后的 将来获得,因此在 [t , t
x [2,8],

2
A2 ( 2 x ( x 4)) dx
2
8
A A1 A2 18 .
例2
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
2 y 2 x 解法2 ( 2,2), (8,4). y x4
选 y 为积分变量
4
y [2, 4]
dx 13) arctan x C 2 1 x
1. 直角坐标情形
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
A a f ( x )dx
b
o a
b x

4

4
0
1 2 r ( ) d 2
2 a 2 cos 2
0
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 5 求心形线 r a(1 cos ) 所围平面图形的面积
( a 0) .
解 利用对称性知，所求面积 为上半部的两倍，
d
1 2 2 A 2 a (1 cos ) d 2 0
y
d
V
d
c
2 [ ( y )] dy
y
x ( y)
c
o
x
例6
连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、直线
将它绕 x 轴旋 x h及 x轴围成一个直角三角形． 转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r y x h
a
2
0

(1 2 cos cos 2 )d
3 2 a . 2
二、旋转体的体积
旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直
线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
推导
由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b 及 x 轴所
围曲边梯形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积计算公式：
y f ( x)
dA
面 积 微 元
A lim f ( x )dx
o a x x dx bx
dA( x ) f ( x )dx.
a a
b
b
仿此可得图1的面积：
y
d
y+dy y
A dA( y ) f ( y )dy .
c c
d
d
A
x=f(y)
c
O
（图1）
a a b b
A
c dA( y ) c | ( y ) | dy.
d
d
y
A [ f ( y ) g( y )]dy
c
d
d
x=g(y)
A
x=f(y)
——右曲线减左曲线对y积分。 c
一般解题步骤： （1）画草图，定结构； （2）解必要的交点，定积分限； （3）选择适当公式，求出面积（定积分）。
1 2
3
1
例 2 计算由 y 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
2
解 先求两曲线的交点。
y 2x ( 2,2), (8,4). y x4
2
y x4
以x为 积 分 变 量 。
y2 2 x
x [0,2]， A1 0 ( 2 x ( 2 x )) dx
O
（图5）
x
注意：答案永远为正。
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1]
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
2
2
3 h
例7 求椭圆
x2 a
2

y2 b
2
1 分别绕
x 轴与 y 轴旋转而成
y
b
y b 2 a x2 a a 2 x b y2 b
的旋转体的体积。
解
如图由于图形关于坐标轴对
a
称，故只需考虑其第一象限内的
曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋
0
a x
b
转体的体积。
（1）绕
x 轴旋转而成的旋转体的体积为：
面积表示为定积分的步骤如下:
x i 的小区间，相 （1）把区间[a , b] 分成 n 个长度为
应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄 曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1 n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
i xi
n i 1
o
d
1 曲边扇形面积微元 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积公式 A [ ( )]2 d . 2

x
例4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形的面积.
2 2
解 由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。
y x
A 4
4

T
0
p(t )e r (T t ) dt
例3 假设以年连续复利率 0.1 计息 ,求收益流量为 100元/年的收益流在20年内的现值和将来值. 解 现值 100e
0 20 0.1t
dt
1000 (1 e 2 )
864 .66
将来值 100e
0
20
0.1( 20 t )
4 5 .（1） 6
第七节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数
二、由变化率求总量
三、收益流的现值和将来值（次要）
一、由边际函数求原函数
例1
x 固定成本为1000,求总成本函数。
已知边际成本为 c ( x) 7
25
解 c( x) c(0)

x
0
0
c( x)dx
25 x )dx
取 x 为积分变量，
即以垂直于 x轴 的 平 面 族分割旋转体成薄片，
y
y f ( x)
o
x x dx
x
则体积元素为
dV y dx [ f ( x )] dx
2
2
x [a , b].
2
旋转体的体积公式 V
a [ f ( x )] dx
b
类似地，建立由连续曲线 x=(y)、直线 y=c、y=d 及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴的旋转体的体积计算公式
dt]
内,
收益现值 [ p(t )dt]e rt p(t )e rt dt 总现值

T
0
p(t )e rt dt
对于将来值, p(t )dt 在 T t 年后获得利息, 从而在 [t , t dt] 内, 收益流的将来值 [ p(t )dt]e r (T t ) p(t )e r (T t ) dt 故,总的将来值
a
a
V x 2 0 y 2 dx 2 0
b2 a
2 2 ( a x )dx 2
4 b 2 1 3 2 ab 2 2 a x x 3 3 0 a
（2）绕
2
a
y
轴旋转而成的旋转体的体积为：
b
V y 2 0
x dy 2 0

5) e x dx e x C 7) cos xdx sin x C 9) csc2 xdx cot x C 11) csc x cot xdx csc x C
12) dx arcsin x C 2 1 x
6) sin xdx cos x C 8) sec2 xdx tan x C 10) sec x tan xdx sec x C
1000 (7
x
x 1000 [7 x 50 x ]0
1000 7 x 50 x
二、由变化率求总量
例2 某工厂生产某商品在时刻 t 的总产量变化 率为 x(t ) 100 12t (单位/小时)。求由 t 2 到 t 4 这两小时的总产量。
解
Q x(t )dt (100 12t )dt
x
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
图2的面积：
b
o
a
x x+dx b
（图2）
x
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
——上曲线减下曲线对x积分。
（图3）的面积：
y
（图4）的面积：
y
d y
图3）
b
x
O
x
（图4）
c
A dA( x ) | f ( x ) | dx .
2 2
4
4
[100 6t ] 272
2 4 2
三、收益流的现值和将来值
收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流。 收益流量 收益流对时间的变化率。
若以连续复利r计息，一笔P元人民币从 现在存入银行，t年后的价值（将来值）
B Pe
rt
若有一笔收益流的收益流量为 p(t )（元/年），考
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
（4） 求极限，得A的精确值
A lim f (i )xi
x 0 i 1 n
a f ( x )dx
b
注意： 若用A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A，并取A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx