高三数学10月第二次调研考试试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校第HY 学2021届高三数学10月第二次调研考试试题理〔含解
析〕
一、选择题：〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕
(
){
}
{}21
,ln 1,2x U R A x y x B y y -===-==，那么()U
A C
B ⋂=〔〕
A.
()1,0-
B.)
1,0⎡⎣
C.
()0,1
D.
(]1,0-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分别化简集合,A B ，再根据交集与补集的运算，即可得出结果.
【详解】因为(
){
}{}2
ln 111A x y x x x ==-=-<<，{}{}1
20x B y y y y -===>，
所以{}0U C B y y =≤，
因此
()(]1,0⋂=-U A C B .
应选D
【点睛】此题主要考察集合交集与补集的运算，熟记概念即可，属于根底题型.
z 满足(1)2i z i +=-，那么在复平面内，z 的一共轭复数的虚部为〔〕
A.
3
2
B.
32
i C.32
-
D.32
i -
【答案】A 【解析】 【分析】
先由题意求出复数z ，再求出其一共轭复数，即可求出结果.
【详解】因为(1)2i z i +=-，所以2(2)(1)1313
1(1)(1)222
----=
===-++-i i i i z i i i i ，
因此1322
z i =
+，即z 的一共轭复数的虚部为32.
应选A
【点睛】此题主要考察复数的运算，以及复数的概念，熟记除法运算法那么与复数的概念即可，属于常考题型.
,a b 满足()5,1,3,5a b a b ==⋅=，那么a b +在a 方向上的投影为〔〕
B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量数量积的几何意义得到：a b +在a 方向上的投影为cos ,++a b a b a
，结合题中数据，直
接计算，即可得出结果. 【详解】因为
()5,1,3,5a b a b ==⋅=，所以10=b
所以a b +在a 方向上的投影为 应选B
【点睛】此题主要考察向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.
2x y e x ax =+-在区间(0,1)内存在垂直于y 轴的切线，那么a 的取值范围为〔〕
A.(0,1)e +
B.(1,1)e +
C.(0,2)e +
D.(1,2)e +
【答案】D 【解析】 【分析】 依题意，可得'20x y e x a =+-=，即2x a e x =+在区间(0,1)内有解，设()2x g x e x =+，利用
函数()g
x 的单调性，求得最值，即可求解。

【详解】依题意，可得'20x y e x a =+-=，即2x a e x =+在区间(0,1)内有解.
设()
2x g x e x =+，由题意函数()g x 为增函数，且(0)1,(1)2g g e ==+
所以(1,2)a e ∈+，应选D 。

【点睛】此题考察导数在函数中的应用，其中解答中转化为2x a
e x =+在区间(0,1)内有解，令
()2x g x e x =+，利用函数()g x 的单调性求解是解答的关键，着重考察函数与方程及化归与转化的数学
思想.
5.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原那么.例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长那么是按照等差数列的规律计算出来的.下表为
周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中4115.1
6
寸表示115寸4
16分〔1寸=10分〕
易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为1寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为〔〕 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得，节气的晷影长成等差数列，根据题中数据得到第1项与第13项，求出公差，进而可求出结果. 【详解】因为节气的晷影长那么是按照等差数列的规律计算出来的， 由题意可得1
130=a ，1314.8=a ，所以等差数列的公差为14.8130
9.612
-=
=-d
惊蛰对应等差数列的第6项， 所以6151309.6582=+=-⨯=a a d .
应选C
【点睛】此题主要考察等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型.
ABCD 的边长为4，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，假设
2
AF AE AE
⋅=，那么
AF
=〔〕
A.5
B.3
C.
3
2
D.
52
【答案】A 【解析】
【分析】
先由题意，以
A 点为坐标原点，分别以A
B AD 、所在直线方向为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，得到
A B C D E 、、、、各点坐标，再设F 点坐标，根据题意求出F 点坐标，即可得出结果.
【详解】因为四边形
ABCD 为正方形，以A 点为坐标原点，分别以AB AD 、所在直线方向为x 轴、y
轴建立如下列图的平面直角坐标系， 因为正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边的中点，
所以
(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)(4,2)A B C D E 、、、、，
又F 为CD 边上一点，所以设(,4)(04)F a a ≤≤， 那么(4,2)AE =，(,4)AF a =，
又
2
AF AE AE ⋅=，所以4820a +=，解得3a =，
所以
25AF a ===.
应选A
【点睛】此题主要考察数量积求向量的模的问题，熟记坐标系的方法求解即可，属于常考题型.
()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的局部图像如下列图，()f x 图象与y 轴交于M 点，与x 轴交于C
点，点N 在()f x 图象上，满足MC CN =，那么以下说法中正确的选项是〔〕
A.函数()f x 的最小正周期是2π
B.函数()f x 的图像关于712
x
π=
轴对称
C.函数()f x 在2,3
6ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭单调递减 D.函数()f x 的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再向右平移3
π
后关于y 轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】
先根据图像与题中条件，先确定周期，以及A 的正负，求出ω，再求出ϕ，根据正弦函数的性质，即可得
出结果. 【详解】因为MC CN =，由题中图像可得：2366
ππ
ππ=++=T ，0A >，应选项A 错；
所以22T
π
ω
=
=，所以()()sin 2ϕ=+f x A x ， 又
()sin 063ππϕ⎛⎫
-=-+= ⎪⎝⎭
f A ，由图像可得2()3πϕπ-+=∈k k Z ，
所以2()3π
ϕ
π=
+∈k k Z ，所以()sin 23π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭f x A x ，
由2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z 得函数()f x 的对称轴为,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 所以当1k =时，712
x π
=
，故B 正确；
由
3222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈ 解得7,1212
ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，
因此函数()f x 的单调递减区间为7,1212，ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
k k k Z
，故C 错误；
函数()f x 的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍〔纵坐标不变〕，可得
sin 3π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭y A x ，再向右
平移
3
π
可得sin =y A x ，为奇函数，关于原点对称，故D 错误. 应选B
【点睛】此题主要考察由三角函数的局部图像求函数解析式，以及三角函数相关性质的判断，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.
()312x x
f x x x e e =-+-
，其中e 是自然对数的底数，假设
()()2120f a f a -+≤，那么实数a
的取值范围是〔〕
A.31,
2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.3,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C.11,
2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D.1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
先对根据函数奇偶性的概念，判断函数()f x 为奇函数；再由导数的方法断定函数单调性，进而可求出结果. 【详解】因为()312x x
f x x x e e =-+-
，
所以()312()-=-++
-=-x
x f x x x e f x e ，因此函数()f x 为奇函数； 又
()221
3230'=-++≥≥x x f x x e x e ，
所以函数()f x 单调递增； 因此不等式()()2120f a f a -+≤可化为()22(1)f a f a ≤-，
所以221a a ≤-，即2
210a a +-≤，解得112
a -≤
≤
. 应选C
【点睛】此题主要考察函数根本性质的应用，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型. 9.ABC △中，内角
,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，假设
(cos cos )cos 1
22
a B
b A B a b +=+，且
20ABC
S
=，那么当ab 取到最小值时，a =〔〕
A. C.【答案】A 【解析】
(cos cos )cos 1
22
a B
b A B a b +=
+，即
2(cos cos )cos 2a B b A B a b
+=+，由正弦定理得
2(sin cos sin cos )cos 2sin sin A B B A B A B +=+，即2sin cos 2sin sin C B A B =+，由正
弦定理和余弦定理得
222
222a c b c a b
ac
+-⋅=+，那么
222a b c ab
+-=-，从而
222
1
cos 22a b c C ab +-==-
，故
2π3
C =
，由
20
ABC S
=得
1222
ab c ⋅=，故
12
c ab =
，那么
22221
4
a b a b ab +-+=，所以22
120
ab a b -≤，故
12ab ≥，当且仅当
a b ==.应选A.
,,a b c 满足4,2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，假设()()
0c a c b -⋅-=，那么c
的最大值是〔〕
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意，建立平面直角坐标系，令OB
b =，OA a =，求出向量,a b
的坐标，再设(,)c x y =，根据
()()
0c a c b -⋅-=，得到2
2(2)
(3x y -+=，将求向量模的问题转化为求圆上点与定点的间
隔的问题，即可求出结果.
【详解】由题意，建立如下列图的平面直角坐标系，令OB b =，OA a =，
因为
4,2a b ==，a 与b 的夹角为60︒， 易得(2,23)a
=，(2,0)b =，
设(,)c x y =
，那么(2,c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，
因为
()()0c a c b -⋅-=
，所以2
2(2)
0x y -+-=，
即22(2)(3x y -+-=，
因此2c x y =
+22(2)(3x y -+-=上的点到坐标原点的间隔，
因此max
(2c
=
应选B
【点睛】此题主要考察求向量的模，灵敏运用建系的方法求解即可，属于常考题型.
{}n a 满足33a =，4581a a a +=+，数列{}n b 满足11n n n n n b a a a a ++=-，记数列{}n b 的前n 项和
为n S ，假设对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，那么实数t 的取值范
围为〔〕 A.(][),22,-∞-+∞
B.(][),21,-∞-+∞
C.
(][),12,-∞-⋃+∞ D.
[]22-,
【答案】A 【解析】 【分析】
由等差数列通项公式可得
n a ，进而由递推关系可得11
1
n
b n n =
-
+，借助裂项相消法得到n S ，又1n S <，问题等价于对任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，2240t at +-≥恒成立.
【详解】由题意得4
58181a a a a a +=+=+，那么11a =，等差数列{}n a 的公差31
12
a a d -=
=， ()11n a n n ∴=+-=.
由11n n n
n n b a a a a ++=-，
得111111
n n n b a a n n +=
-=-+，
那么不等式223n S t at <+-恒成立等价于21
1231
t at n -
<+-+恒成立， 而1
111
n -
<+， ∴问题等价于对任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，2240t at +-≥恒成立。

设
()224f a t at =+-，[]2,2a ∈-，
那么()()2020
f f ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，即222020t t t t ⎧+-≥⎨--≥⎩，
解得2t
≥或者2t ≤-.
应选:A.
【点睛】此题考察等差数列的通项公式,递推关系式，考察数列的求和方法：裂项相消求和，考察函数与方程的思想方法，以及运算才能，属于中档题．
()312ln ,042,0
x
x f x x
x x x +⎧>⎪
=⎨⎪--<⎩，假设方程()f x ax =有四个不等的实数根，那么实数a 的取值范围是() A.()1,1-
B.
()0,1
C.()1,+∞
D.1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 【答案】B 【解析】 【分析】
先将方程
()f x ax =有四个不等的实数根转化为()2
212ln ,024,0x
x x g x x x x +⎧>⎪⎪=⎨
⎪--<⎪⎩
的图像与直线y a =有4
个交点；用导数的方法判断函数()g
x 的单调性，作出函数()g x 图像，根据函数的图像，即可得出结果.
【详解】方程
()f x ax =有四个不等的实数根等价于()2
212ln ,024,0x
x x g x x x x +⎧>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
的图像与直线y a =有
4个交点； 〔1〕当0x
>时，()3
4ln x
g x x
-'=
，由()0g x '>得01x <<；由()0g x '<得1x >； 所以函数()g
x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；因此()max (1)1g x g ==；
〔2〕当0x <时，()322
22(1)
2x g x x x x
+'=+=， 由()0g x '
>得10x -<<；由()0g x '<得1x <-；
所以函数()g
x 在()1,0-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减；因此()min (1)1g x g =-=-；
由〔1〕〔2〕作出函数()g
x 的图像与直线y a =的图像如下：
由图像易得01a <<. 应选B
【点睛】此题主要考察由方程根的个数求参数的问题，灵敏运用数形结合的方法，熟记导数方法断定函数单调性即可，属于常考题型.
二、填空题：将答案写在答题卡上相应的位置
13.()f x 是定义在R 上的函数，且满足
1
(2)()
f x f x +=-
，当23x ≤≤时，()2x f x =，那么
12log 3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
=_____ 【答案】
16
3
【解析】 【分析】
先由
1(2)()
f x f x +=-
，求出函数的周期，再由题中条件，即可求出结果.
【详解】因为
1(2)()
f x f x +=-
，
所以
1
(4)()(2)
f x f x f x +=-
=+，
因此，函数()f x 是周期为4的函数，
所以()()1222
2
16log 3log 34log 3log 3f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
， 又当23x ≤≤时，()2x
f x =，所以216lo
g 3
21616log 2
33f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭ 故答案为
16
3
【点睛】此题主要考察函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性以及对数的运算法那么即可，属于常考题型. 14.一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒的方向上，仰角为30︒，那么此山的高度CD =______m
【答案】【解析】 【分析】 先设山的高度CD x =
，根据题中条件求出BC =，再由正弦定理，即可求出结果.
【详解】设此山的高度CD x =
，
因为在B 处测得此山顶仰角为30︒，所以30CBD ∠=， 因此，在Rt CBD ∆中，tan30CD
BC
=
，故BC =， 又由题意可得30CAB ∠=，105CBA ∠=，所以45
ACB
∠=，300AB =，
由正弦定理可得：sin sin BC AB CAB ACB =∠∠300
sin30sin 45
x =
， 解得x =
故答案为【点睛】此题主要考察解三角形的应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =，P 为BE 上一点，且满足
()0,0AP mAB nAC m n =+>>，那么
11
m n
+最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】
先由题意得到4AP mAB nAE =+，根据三点一共线的充要条件，得到41m n +=，再由根本不等式即可求出结果. 【详解】因为
4AC AE =，所以4AP mAB nAC mAB nAE =+=+，
又B P E 、、三点一共线，所以41m n +=，
所以
11114(4)1459m n m n m n m n n m
⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当
4m n n m =
即1
3m =，16
n =时，等号成立. 故答案为9
【点睛】此题主要考察利用根本不等式求和的最小值，熟记平面向量根本定理以及根本不等式即可，属于常考题型.
{}n a 满足：(
)
112n
n n n
a
a -+⋅=，设12....n n T a a a =⋅，假设2
202T λ
λ
->，那么λ的取值范围是________
【答案】(10,11)- 【解析】 【分析】
先由()112n
n n n a a -+⋅=，当n 为奇数时，推出34
3
2n n n n a a a +++==，得到211a a =，再由 ()20122123452021....()()....T a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅，化简不等式，求解，即可得出结果.
【详解】因为()112n
n n n a a -+⋅=，
当n 为奇数时，12n
n n a a +=，那么1
212
n n n a a +++⋅=，即12
122n n n n
a a a +++==，
所以32
32
22
n n n n n a a a ++++==，所以343
2n n n n a a a +++==， 即n 为奇数时，数列
{}n a 以4为周期，所以211a a =
又由题意可得2322a a ⋅=，4542a a ⋅=，6762a a ⋅=，…，2021202a a ⋅=， 所以()2
4
20
24...2011020122123452021....()()....22 (2)
22T a a a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==，
由2
202T λ
λ
->可得2
11022λ
λ
->，因此2110λλ-<，
解得1011λ-<<. 故答案为(10,11)-
【点睛】此题主要考察数列的应用，根据递推关系求出数列的前n 项之积，即可求解，属于常考题型. 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤
n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且()
211
122
n n n S a a n N *=
+-∈. 〔1〕设数列
{}n a 的通项公式；
〔2〕假设2n n
b =，设n n n
c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕1n a n =+；〔2〕12n n T n +=⋅
【解析】
【详解】
〔Ⅰ〕当1n =时，2111111
122
S a a a ==+-，解得11a =-〔舍去〕，12a =． 当2n ≥时，由211122n n n S a a =+-得，2
11111122
n n n S a a ---=+-，
两式作差，得22
11111112222
n n n n n n n S S a a a a a ----==+--，
整理得22
11111102222
n n n n a a a a -----=，()22110n n n n a a a a ----+=，
()()()1110n n n n n n a a a a a a ---+--+=，()()1110n n n n a a a a --+--=，
数列
{}n a 为正项数列，10n n a a ->+，
∴110n n a a ---=，即11n n a a --=，数列{}n a 是公差为1的等差数列， ∴()()11211n a a n d n n =+-=+-=+．
〔Ⅱ〕
()12n n n n c a b n ==+，
∴()12322324212n n T n =⨯+⨯+⨯+
++，①
()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+⋅++，②
(
)
()1231122222122n n n n T n n ++-=⨯+++
+-+=-⋅，
〔1〕求函数()f x 在
[]0,π上的单调递增区间和最小值.
〔2〕在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且())2,f B b a c ==-，求cos A 的值.
【答案】〔1〕
()2sin(2)6f x x π
=-；增区间5(0,),(,)36πππ；当56
x π=
，
min ()2f x =-；〔2〕
cos =
A 【解析】 【分析】
〔1〕先由题意得到函数的解析式为()2sin(2)6
f x x π
=-，根据正弦函数的单调性以及题中条件，即可
求出其增区间，和最小值；
〔2〕根据〔1〕中解析式，先得到3
B π
=
，由余弦定理求出2a c =，b ，再根据余弦定理，即可求
出结果.
【详解】〔1〕因为(
)
()3sin ,cos sin ,2cos ,sin cos =
+=-a x x x b x x x ，
所以()23sin cos (sin cos )(sin cos )=⋅=++-f x a b x x x x x x
2cos22sin(2)6
π
=+=-x x x ，
由222()2
6
2
π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈k x k k Z 得
()6
3
π
π
ππ-
+≤≤
+∈k x k k Z ，
即函数()f x 的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
又[]0,x π∈
，所以函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为5(0,),(,)3
6
πππ；
又当[]
0,x π∈
时，112,666x πππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以当且仅当326
2
π
π-=
x ，即56
x
π=
时，()f x 取最小值，为2-；
〔2〕由〔1〕可知
()2sin(2)6
f x x π
=-，
所以()2sin(2)26
π
=-=f B B ，因为0B π<<，所以1126
6
6
π
π
π
-
<-
<
B ， 所以26
2
B π
π
-
=
，因此3
B π
=
，
由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，
又)=
-b a c ，显然a c >，
所以()2
2
2
7-=+-a c a c ac ，整理得2266130+-=a c ac ，解得2a c =或者6
=c
a 〔舍〕，
所以2a c =，=
b ，
因此222222co
2s +-===
b c a A bc . 【点睛】此题主要考察三角函数的单调区间与最值，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数的性质以及余弦定理即可，属于常考题型.
2
()ln 2(0)f x a x a x
=
+->. 〔1〕假设对于任意(0,)x ∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；
〔2〕记()()()g x f x x b b R =+-∈.当1a =时，函数()g x 在区间1[,]e e -上有两个零点，务实数b 的
取值范围.
【答案】〔1〕2(0,
)e
；〔2〕2
(1,1]e e +-
【解析】 【分析】
〔1〕利用导数求出函数的单调区间，根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使
()2(1)f x a >-恒成
立，需使函数的最小值大于2(1)a -，从而求出实数a 范围。

〔2〕利用导数求出函数()g x 的单调区间，在根据函数()g x 在区间1
[,]e
e -上有两个零点，可得：
()
10()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪⎪
≥⎨⎪<⎪⎩
，即可求出实数b 的取值范围。

【详解】〔1〕
22
22'()a ax f x x x x -=-
+=，由'()0f x >解得2
x a >；由'()0f x <解得20x a
<<. 所以()f x 在区间2
(
,)a
+∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减，
所以当2x a =
时，函数()f x 获得最小值min 2
()y f a
=. 因为对于任意(0,)x ∈+∞都有
()2(1)f x a >-成立，所以2
()2(1)f a a
>-即可.
那么
22
ln 22(1)
2a a a
a
+->-，由2ln a a a >解得20a e
<<， 所以a 得取值范围是2(0,
)e
. 〔2〕依题意得2()ln 2g x x x b x =+-+-，那么22
2
'()x x g x x
+-=， 由'()0g x >解得1x >，由)'(0g x <解得01x <<. 所以函数()g x 在区间1
,e
e -⎡⎤⎣⎦上有两个零点，
所以()
10
()0(1)0
g e g e g -⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<⎪⎩
，解得211b e e <≤+-.所以b 得取值范围是2
(1,1]e e +-.
【点睛】此题考察利用导数研究函数单调性、最值以及零点问题，属于中档题。

{}n a 满足()*1
13,23n n n a
a a n N +=-=⋅∈
〔1〕求
{}n a 的通项公式.
〔2〕设()1
22n n n b a λ-=+-，假设对任意*n N ∈，恒有1n n b b +>，求λ的取值范围；
〔3〕设()23
1n n
n c n n a +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n S
【答案】〔1〕3n n
a =；〔2〕3
12
λ-
<<；〔3〕11(1)3n n S n =-+
【解析】 【分析】
〔1〕根据累加法，直接求解，即可得出结果； 〔2〕先由〔1〕得()
1
322n n
n b λ-=+-，将对任意*n N ∈，恒有1
n n b b +>，化为对任意*n N ∈，恒有
()()
1
1322322n n n n λλ-++->+-，即()23
320n
n
λ⋅+->，分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨
论，即可得出结果； 〔3〕先由〔1〕得：()()2323
113n n
n n n c n n a n n ++=
=++⋅，再由裂项相消法，即可求出结果.
【详解】〔1〕因为()*123+-=⋅∈n n n a a n N ，
所以2123-=⋅a a ，
23223-=⋅a a ，
……
以上各式相加得12
1
13(13)2(33...3)23313
----=+++=⨯=--n n n n a a ，
又13a =，所以3n n a =；
〔2〕由〔1〕可得()()
1
1
22322n n n n n b a λλ--=+-=+-，
所以()1
13
22n
n n b λ++=+-，
因此，对任意*n N ∈，恒有1n n b b +>，
可化为对任意*n N ∈，恒有()()
1
1
322322n n n n λλ-++->+-
即()23
320n
n
λ⋅+->，
当*
2,n k k N =∈时，不等式可化为1
113322n n n λ---⎛⎫>-=- ⎪
⎝⎭
恒成立，
因此只需21
3322
λ-⎛⎫>-=-
⎪⎝⎭
； 当*
21,n k k N =-∈，不等式可化为1
113322n n n λ---⎛⎫
<= ⎪
⎝⎭
恒成立，
因此只需11
312λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭
，
综上，λ的取值范围是3
12
λ-
<<； 〔3〕由〔1〕可得：()()23232323111313n
n n n n n n n c n n a n n n n ++++⎛⎫⎛⎫
===-⋅ ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭⎝⎭
所以数列
{}n c 的前n 项和
【点睛】此题主要考察由递推关系求数列的通项的问题，以及数列的求和，熟记累加法求通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型. 〔1〕当1
2
a
=
时，求()f x 的单调区间. 〔2〕假设1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
【答案】〔1〕减区间1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭，增区间(1,)+∞，10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；(2)1a ≤ 【解析】 【分析】 〔1〕由12
a
=
得到2
1()ln ln 12f x x x x =+--，对函数求导，解对应的不等式，即可求出单调区间；
〔2〕先由题意得当1x =时，
()0f x =恒成立；再将1x >时，()0f x ≥恒成立，转化为
1ln 0x a x --≥恒成立；令()1ln g x x a x =--，1x >，用导数的方法研究其单调性与最值，即可求出
结果.
【详解】〔1〕当12
a =-
时，1
()(1ln )ln 2f x x x x =--⋅，定义域为(0,)+∞，
所以1111
()(1)ln (1ln )(ln 1)(1)22f x x x x x x x x
'=-
+--=+-，
令
()0f x '>，得1x >或者10x e <<
；令()0f x '<，得1
1x e
<<； 所以函数
()f x 的减区间为1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭，增区间(1,)+∞，10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
〔2〕因为1x ≥时，()0f x ≥恒成立， 显然，当1x =时，
()0f x =恒成立；
因此当1x >时，()0f x ≥恒成立，可化为(1ln )ln 0x a x x --⋅≥恒成立， 即1ln 0x a x --≥恒成立；
令()1ln g x x a x =--，1x >，那么()1a x a
g x x x
-'=-=， 由()0g x '=得x
a =，
〔i 〕当1a ≤时，()0g x '>，所以()1ln g x x a x =--在(1,)+∞上单调递增， 因此()(1)0g x g >
=恒成立；
〔ii 〕当1a >时，由()0g x '>得x
a >；由()0g x '<得1x a <<；
所以()1ln g x x a x =--在(,)a +∞上单调递增，在
()1,a 上单调递减；
所以min ()()1ln g x g a a a a ==--，所以只需1ln 0a a a --≥， 令()1ln 1F a a a a a =-->，，那么()1ln 1ln 0F a a a '=--=-<，
所以()1ln F a a a a =--在(1,)+∞上单调递减；因此()(1)0F a F <=，与1ln 0a a a --≥矛盾； 故1a >舍去；
综上，a 的取值范围为1a ≤.
【点睛】此题主要考察导数的应用，熟记导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.
xOy 中，曲线1cos :1sin x t
C y t =⎧⎨=+⎩
〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ 〔1〕求曲线1C 的极坐标方程.
〔2〕点()2,0M
，直线l 的极坐标方程为3
πθ=
，它与曲线1C 的交点为,O P ，与曲线2C 的交点为
Q ，求MPQ ∆的面积.
【答案】〔1〕1:2sin C ρ
θ
=；〔2〕
3
4
【解析】 【分析】
〔1〕先由曲线1C 的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程即可；
〔2〕将直线l 的极坐标方程分别代入曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程，求出P Q 、两点的极径，得到PQ 长度，再由点()2,0M
坐标，求出MPQ ∆的高，从而可求出MPQ ∆的面积.
【详解】〔1〕因为曲线1cos :1sin x t C y t
=⎧⎨
=+⎩〔t 为参数〕，所以其普通方程为2
2(1)1y x +-=；
即2
220x
y y +-=，所以22sin 0ρρθ-=，
因此2sin ρ
θ=即为曲线1C 的极坐标方程；
〔2〕由题意，将3
πθ=
代入2sin ρθ
=，可得2sin
3
P
π
ρ==
将3
πθ=
代入2cos 3πρθ
⎛
⎫-= ⎪⎝⎭2
Q ρ=；
所以
PQ =
=；
又点()2,0M
到直线3:l πθ
的间隔为2sin 3
d π
==
即MPQ ∆，
所以13
24
MPQ
S PQ d ∆=
=. 【点睛】此题主要考察圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的弦长问题，熟记公式即可，属于常考题型.
()|2|2,f x x x a a R =-++∈.
(1)当1a =时，解不等式()3f x ≥
(2)假设存在0x 满足()0025f x x +-<，求a 的取值范围.
【答案】〔1〕2(,][0,)3-∞-
⋃+∞；〔2〕91a -<< 【解析】
【分析】
〔1〕由1a =得到()|2|21f x x x =-++，用分类讨论法，分2x ≥，122x -≤<，21x <-三种情况，即可求出结果；
〔2〕先根据含绝对值不等式的性质，得到2|2|2x x a -++的最小值，将存在0x 满足
()0025f x x +-<转化为2|2|2x x a -++的最小值小于5，即可求出结果.
【详解】〔1〕当1a =时，
()|2|21f x x x =-++， 当2x
≥时，不等式()3f x ≥可化为313x -≥，解得43x ≥，所以2x ≥； 当122
x -≤<时，不等式()3f x ≥可化为33x +≥，解得0x ≥，所以02x ≤<； 当21x <-时，不等式()3f x ≥可化为133x -≥，解得23x ≤-，所以23
x ≤-； 综上，原不等式的解集为2(,][0,)3
-∞-⋃+∞； 〔2〕令()2|2|2g x x x a =-++， 那么()2|2|2|42|24g x x x a x x a a =-+
+=-++≥+， 因此存在0x 满足()0025f x x +-<，
可化为min ()5g x <，即45a +<，
所以545a -<+<，
因此91a -<<
【点睛】此题主要考含绝对值不等式的解法，熟记含绝对值不等式的性质，灵敏运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。