2010金融工程第03章

第三章 远期和期货的定价
例3.1
一份剩余期限为6个月、标的证券为一年期贴现
债券的远期合约多头，其交割价格为950美元，6
个月期的无风险利率为6％，该债券现价为930美 元，计算远期合约多头价值。 f=S－Ke-r（T－t）＝930－950×e－0.06×0.5＝ 8.08（美元）
例3.2
• 假设一年期贴现债券价格为960美元，3个月期 无风险年利率为5％，计算以该债券为标的证 券的期限为3个月的远期合约的交割价格。
第三节 无收益资产远期合约的定价
一、对本章符号的规定
• • • • • • • • T：远期或期货合约的到期时间，单位为年； t：现在的时间，单位为年； S：标的资产在t时刻的价格； ST：标的资产在T时的价格； K：远期合约中的交割价格； f：远期合约多头在t时刻的价值； F：远期价格或期货价格； r： t时刻的无风险年利率（以连续复利计算）， 其到期时间为T时刻。
第三章
远期和期货的定价
第二节 远期价格和期货价格的关系
• 当无风险利率恒定，且对所有到期日都不 变时，交割日相同的远期价格和期货价格 应相等。 • 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货 价格高于远期价格。 • 相反，当标的资产价格与利率呈负相关性 时，远期价格就会高于期货价格。
第三章 远期和期货的定价
第三章
远期利率
远期和期货的定价
• 远期利率指现在时刻的将来一定期限的利率。如12远 期利率，表示1年之后开始的期限为1年的远期利率。
• 若1年期的即期利率为10％，2年期的即期利率为10.5％， 从现在看，1年后期限为1年的远期利率r是多少？ • 假设本金为A的资金要作2年期的投资，这里有两种方 法。这两种方法所获得的终值应该一样，否则会有无 风险套利机会。 • 因此有：A（1＋10％）（1＋r）＝A（1＋10.5％）2 有（1＋10％）（1＋r）＝（1＋10.5％）2 r =11.00%
第三章
远期和期货的定价
• 一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为 r，T*时刻（T*>T）到期的即期利率为 r* ，则t时刻的 ˆ 可以通过下式求得： T*-T期间的远期利率 r
1 r
Tt
1 r
* T T
1 r
* * T t

注意：此式仅适应于每年计一次复利的情形。 • 当即期利率和远期利率均为连续复利时，远期利率的计 算如下： ˆ (T * t ) r (T t ) r r* (T * t ) 因为 e e e
对于无收益资产，远期价格等于其标的资 产现货价格的终值。
第三章
远期和期货的定价
• 可以用反证法进一步的证明。 • 假设 F>Ser （ T － t ）， 可构筑如下套利头寸， T 时刻可 获得无风险利润F－ Ser(T－t)。
F －（ － － S S S 套利头寸 e 以无风险利率r借入S现金 购买一单位标的资产 卖出一份远期合约
第三章
远期和期货的定价
金融期货交易的特征
• 期货合约在交易所进行，交易双方不直接接触，而 是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。 • 期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交 易以结束其期货头寸（即平仓），而无须进行最后 的实物交割。 • 期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标准 化的，即在合约上有明确的规定，无须双方再商定。
ˆ 所以有 r
r * T * t r (T t ) T* T
第三章
Байду номын сангаас
远期和期货的定价
二、金融期货市场
金融期货合约
• （Financial Futures Contracts）是指协议双方 同意在约定的将来某个日期按约定的条件（包 括价格、交割地点、交割方式）买入或卖出一 定标准数量的某种金融工具的标准化协议。合 约中规定的价格就是期货价格(Futures Price)。
F Fe
*
ˆ (T * T ) （3.4） r
第三章
远期和期货的定价
第四节 支付已知现金收益资产远期合约定价
• 支付已知现金收益的资产指会产生完全可预测的现金流 的资产。 • 令现金收益的现值为I，其派发日期为T’ ，t<T’<T。通 过构造以下组合来定价： • 组合 A ：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r （ T － t ） 的现金； 组合 B ：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从现在到现金收益派发日、本金为I 的负债。
• 期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行 的，买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立专门 的保证金账户。
第三章
远期和期货的定价
金融期货合约的种类
• 按标的物不同，金融期货可分为利率期货、股价指 数期货和外汇期货。 • 利率期货是指标的资产价格依赖于利率水平的期货 合约，如长期国债期货、短期国债期货和欧洲美元 期货。 • 股价指数期货的标的物是股价指数。
T*时刻交割的远期价格
F Se
*
r* (T * t )
第三章
远期和期货的定价
• 两式相除消掉S后,
F Fe
*
r * (T * t ) r (T t )
（3.3）
* * r T t r (T t ) • 又因为前面的远期利率的计算 ˆ r T* T


• 我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：
f Se 25e
q (T t )
Ke
r (T t ) 0.10.5
0.040.5
27e
1.18(美元)
远期合约多头的价值为－1.18美元，远期价格为：
F Se( r q )(T t ) 25e
0.060.5
25.67(美元)
第三章
远期和期货的定价
• 组合B中，一单位标的资产在T’ 时刻所获现金收益为 Ier(T’-t), 正好归还本金为 I 、期限为 T’-t 的负债。因此， 组合B在T时刻的价值也是一单位标的证券。
第三章
远期和期货的定价
有 f=S-I-Ke-r（T－t） （3.5）
• 据无套利分析，t时刻两个组合的价值应相等。 f+ Ke-r（T－t）=S-I • 支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证 券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值 之差。 • 根据F的定义，我们可从上式求得： F=(S-I)er（T－t） （3.6） 这就是支付已知现金收益资产的现货 - 远期平价公式。 其表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的 证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。
第三章
远期和期货的定价
远期合约的优点
• 远期合约是适应规避现货交易风险的需要而产生的。
• 远期合约是非标准化合约，因此灵活性较大。在 签署远期合约之前，双方可以就交割地点、交割 时间、交割价格、合约规模、标的物的品质等细 节进行谈判，以便尽量满足双方的需要。
第三章
远期和期货的定价
远期合约的缺点
• 首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易 场所，不利于信息交流和传递，不利于形成统 一的市场价格，市场效率较低。 • 其次，由于每份远期合约千差万别，这就给远 期合约的流通造成较大不便，因此远期合约的 流动性较差。 • 最后，远期合约的履约没有保证，当价格变动 对一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行 合约，因此远期合约的违约风险较高。
第三章
远期和期货的定价
二、无套利定价法
• 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的 现金； • 组合B：一单位标的资产。 f+ Ke-r（T－t）=S 有 f=S－Ke-r（T－t） （3.1） • 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格 与交割价格现值的差额。 • 由于远期价格F是使合约价值f为0的交割价格K，即f＝0 时，K=F,所以有 F=Ser（T－t） （3.2）
第一节 金融远期和期货市场概述
一、金融远期市场
金融远期合约（Forward Contracts）是指双方约 定在未来的某一确定时间，按确定的价格（即交割 价格）买卖一定数量的某种金融资产的合约。 如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相 同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约的价 值在签署合约时等于零。这意味着无需成本就可处 于远期合约的多头或空头状态。
二、外汇远期和期货的定价
• S 表示以本币表示的一单位外汇的即期价格， K 表示远 期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格， rf 表示外汇发行国无风险利率。外汇远期合约的价值：
第三章 远期和期货的定价
主要内容
• 第一节 金融远期和期货市场概述 • 第二节 远期价格和期货价格的关系
• 第三节 无收益资产远期合约的定价
• 第四节 支付已知现金收益资产远期合约 • • 定价 价 • 第五节 支付已知收益率资产远期合约定
• 第六节 期货价格与现货价格的关系
第三章
远期和期货的定价
第三章
远期和期货的定价
远期价格与远期价值
我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远 期价格(或远期理论价格)。 远期价值是远期合约的价值。 在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则 此时合约价值为零。 但随着时间推移，远期理论价格有可能改变，而 原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合 约的价值就可能不再为零。合约到期时，合约的 价值就取决于标的资产的市价与交割价格。
r ( T t ) T
ST
净现金流
t时刻现金流 ＋S －S 0 0
T时刻现金流 －Ser(T－t) ＋ST －（ST－F） F－ Ser(T－t)
• F<Se r（T－t） ，可构筑相反套利头寸，即卖空标的 资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为 T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割 价为F。 T时刻可获得无风险利润 Ser(T－t)－F。
F=Ser(T－t）＝960×e0.05×0.25＝972（美元）
第三章
远期和期货的定价
三、远期价格的期限结构
• 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的 关系。 • 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远 期价格 , r 为 T 时刻到期的无风险利率 ,r* 为 T* 时刻到期 ˆ 为T到T*时刻的无风险远期利率。 的无风险利率, r 因为T时刻交割的远期价格 F=Ser（T－t）
第三章
例3.3
远期和期货的定价
假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9％和 10％，一种10年期债券现货价格为990美元，该债券1 年期远期合约的交割价格为1001美元，该债券在6个月 和12个月后都将收到60美元的利息，且第2次付息日在 远期合约交割之前，求该合约的价值。 • 首先，计算债券现金收益的现值： I＝60e－0.09×0.5＋60e－0.1×1＝111.65（美元） • 其次，据（3.5）式 f=S-I-Ke-r（T－t）计算远期合约 多头的价值： f＝990－111.65－1001e－0.1×1＝－27.39 （美元） • 则该合约空头的价值为27.39美元。
f Ke
r (T t )
Se
q (T t )
有 f Se
q (T t )
Ke
r (T t )
（3.7）
所以有
F Se
( r q )(T t )
（3.8）
第三章 远期和期货的定价
例3.4
A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4％， 无风险利率为10％，若该股票6个月的远期合约的交割 价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。
第三章
一、一般公式
远期和期货的定价
第五节 支付已知收益率资产远期合约定价
• 支付已知收益率资产是指能产生与该资产现货价格成一 定比率的收益的资产 • 组合A：一份远期合约多头加数额为Ke-r（T－t）的现金； 组合B：e-q（T－t）单位证券并且所有收入都再投资于该 证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。 • 组合B中，证券数量随获红利的增加而增加，合约到期 时，有e-q（T－t）eq（T－t）＝1，刚好是一单位标的资产。
• 外汇期货的标的物是外汇，如美元、德国马克、法 国法郎、英镑、日元、澳元、加元等。
第三章
远期和期货的定价
期货市场的功能
• 转移价格风险的功能
• 价格发现功能
第三章
• • • • • • •
远期和期货的定价
三、期货合约与远期合约比较
标准化程度不同 交易场所不同 违约风险不同 价格确定方式不同 履约方式不同 合约双方关系不同 结算方式不同