辽宁省沈阳市高三数学教学质量监测试卷二 人教版

辽宁省沈阳市高三数学教学质量监测试卷二 人教版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分共150分，考试时间120分钟. 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k
n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式33
4R V π=球，其中R 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．已知集合},1|{},20|{,A x x y y B x x A R U ∈+==≤≤==，则B C A U = （ ）
A ．[0，2]
B ．[1，3]
C ．(]3,1
D ．[)1,0
2．已知平面向量)2
3
,21(),1,3(=-=b a ，则向量a 与向量b 的夹角是 （ ）
A ．
6
π B ．
4π C ．
3
π D ．2
π 3．下列四个图象中，函数x
x x f 1
)(-=的图象是
（ ）
4．已知函数0,)1(log )10(3)
0(2)(3
1<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=a x x x x x f x
当时，则)))(((a f f f 的值为
（ ）
A ．3
B ．2
1-
C ．－2
D ．2
5．教室里有30名同学，老师想把横、竖版两种答题卡各15张发给同学，每人一张，有（ ）
种分法.
A ．1530C
B ．22
1530A C
C ．2
21530A C
D ．30
30A
6．已知1010221010)()()1(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||||10210a a a a ++++ 的值是 （ ）
A ．0
B ．25
C ．210
D ．4
10
7．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ) = f (4－x )且f (2－x ) + f (x －2) = 0，则f (2008)
的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定 8．在△ABC 中，给出下列四个命题：
①若B A 2sin 2sin =，则△ABC 必是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则△ABC 必是直角三角形；
③若0cos cos cos <⋅⋅C B A ，则△ABC 必是钝角三角形；
④若1)cos()cos()cos(=-⋅-⋅-A C C B B A ，则△ABC 必是等边三角形. 以上命题中正确的命题的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知命题P ：1|23||
12|≤--x ；命题Q ：2
1
0≤
≤x ，则P 是Q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
10．（理）已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，被方向向量为)6,6(=k 的直线截得的弦
的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是
（ ）
A ．
2
5
B ．
2
6 C ．
3
10 D ．2
（文）定义运算02
33,=-+---=x y y
x bc ad d c b a 则曲线的切线方程中有一个是
（ ）
A ．x －y = c
B ．x + y = 0
C ．x = 0
D ．y = 0
11．（理）在平在直角坐标系中，对于点(x ，y )满足：“1||||0≤+≥y x xy 且”，目标函数 1
22
2+-=
x y z ，那么满足z =－2的解(x ，y )有（ ）个.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
（文）在平面直角坐标系中，对于点(x ，y )满足：“102
2
≤+≤y x xy 且”，那么使得目
标函数z = x + y 有最大值的解(x ，y )有（ ）个.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，12,022=+=⋅BD AB BD AB 且，沿BD 折在直二
面角A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 的外接球的体积是
（ ）
A ．
27π
B ．
12π
C ．8
π
D ．6
π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
13．（理）设a 、=+-+=--∈∈∞→n n n
n n b a b a bi i
ai N n R b lim ,13,*
则且
. （文）在总体数为20的数据中抽出6个数据作为样本，这6个数据是2，2，3，3，4，4，
那么用这6个数据估计总体的方差是 .
14．（理）已知点4
)0,22(2
x y Q =及抛物线上一动点||),,(PQ y y x P +则的最小值是 .
（文）数列{a n }，a 3 = 2，a 7 = 1且数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+11n a 是等差数列，则a 11 .
15．（理）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1 上底面A 1B 1C 1D 1的中心，O 是下底面ABCD 的中心，
则OB 与CO 所成角的余弦值为 .
（文）已知点4
)0,22(2
x y Q =及抛物线上一动点||),,(PQ y y x P +则的最小值
是 .
16．给出下列五个命题： ①函数1
2
)(++=
x x x f 的图象的对称中心是点（1，1）；②函数x y sin =在第一象限内是增函数；③已知a ，b ，m 均是正数，且b
a
m b m a b a >++<则
,；④若直线l ∥平面α，直线l ⊥直线m ，直线β平面⊂m ，则αβ⊥；⑤当椭圆的离心率e 越接近于0时，这个
椭圆的形状就越接近于圆.
其中正确命题的序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解
答过程书写在试卷中的对应空白处. 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是该三角形的面积，且 .13)2cos()4
2(
sin )3sin(42
+=--+-A A A ππ
π （1）求角A 的大小； （2）若角A 为锐角，3,1=
=S b ，求边BC 上的中线AD 的长.
18．（本小题满分12分）
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
.2)(,cos )(,sin )(,)(,)(,)(65433221======x f x x f x x f x x f x x f x x f
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函
数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的
卡片则停止抽取，否则继续进行. （理）求抽取次数ξ的分布列和数学期望.
（文）求抽取次数不多于三次的概率. 19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAA 1 =∠A 1AC =∠CAB = 60°，
且AB = AA 1 = 2，AC = 1. （1）求证：A 1B ⊥CB 1； （2）求证：AC ⊥平面CBA 1；
（3）求二面角C —B 1B —A 的平面角的大小. 20．（本小题满分12分） （理）设).0()2()(2
≤-=-a e
x ax x f x
（1）求f (x )的极值点的横坐标；
（2）设f (x )在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. （文）已知数列{a n }中，).(,1
1
,331,3*11N n a a b a a a a n n n n n n ∈+-=--=-=+且
（1）求证：数列{b n }为等比数列；
（2）若.7:,,3
221<+++=+=
n n n n
n T C C C T b n c 求证 21．（本小题满分12分）
（理）如图所示，已知椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2c ，左右准线分别
为l 1、l 2，长轴顶点为A 1、A 2，左右焦点分别为F 1、F 2.
（1）过右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，
试判断以线段AB 为直径的圆与椭圆右 准线l 2的位置关系，并证明你的结论；
（2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P 作直线
PA 1与PA 2分别交l 1于M 、N 两点.
求证：NF 1⊥MF 1.
（文）已知函数).,()(33R b a b ax x x f y ∈++-==
（1）要使f (x )在（0,2）上单调递增，试求a 的取值范围；
（2）当a < 0时，若函数满足y 极大值=1，y 极小值=－3，试求函数y = f (x )的解析式； （3）若(]1,0∈x 时，y = f (x )图角上任意一点处的切线倾角为θ，求当4
0πθ≤
≤时，a
的取值范围.
22．（本小题满分14分） （理）已知函数0)1(),0,(3
1)(23
=>∈++=f a R b a b ax x x f 且，函数f (x )的图象与x 轴有两个交点. （1）求a 与b 的值；
（2）若函数f (x )的导数为)(x f '，数列{a n }满足3)2)(1(1=≥-'=a n a f a n n 且，设 )1(log 2+=n n a b ，求数列{b n }的通项公式；
（3）在（2）的条件下设n
n x b x b x b x g +++= 221)(，试孙函数g (x )在x = 1处的导
数)(x g '，并比较)(2)1(n f g ''与的大小.
（文）如图所示，已知椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2c ，左右准线分别为l 1、l 2，
长轴顶点为A 1、A 2，左右焦点分别为F 1、F 2.
（1）过右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆与椭圆右
准线l2的位置关系，并证明你的结论；
（2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线PA1与PA2分别交l1于M、N两点. 求证：NF1⊥MF1.
[参考答案]
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B 10．（理）A （文）C 11．（理）B （文）C 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（理）－1 （文）32 14．（理）2 （文）2
1
15．（理）
3
2
（文）2 16．③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（1）原式132cos )4
2(
sin sin 42
+=++⇔A A A π
…………………………2分 13sin 212
)
2cos(1sin 42+=-++
-⇔A A A
π
.2
3
sin 3sin 2)sin 1(sin 22
=
⇔=-+⇔A A A A …………………………4分 因.3
23),,0(π
π
π或
则=
∈A A …………………………………………………… 6分
（1）因A 为锐角，则.2
1
cos ,3==A A 即π
而面积.4,2
3
sin ,1,3,sin 21=====
c A b S A bc S 则又 …………………8分 解法一：又由余弦定理13,cos 22
22=-+=a A bc c b a 得，………………10分
又13413113216113,2
2)2(2cos 2
2222
2
2
AD a b AD a b ab c b a C -+=
-+-+=-+=得， 即.2
21
=
AD ……………………………………………………………………12分 解法二：如图，作CE 平行于AB ，并延长AD 交CE 地E ，
在△ACE 中，,2
1
,4,1,32AE AD CE AC C ====
∠且π
又,cos 22
22C CE AC CE AC AE ⋅⋅-+= 即,212
1
81612
=⨯
++=AE 这样.2
2121==
AE AD …………………………………………………………12分 18．（理）解：（1）计事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
所以.5
1
)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分
（2）（理）ξ可取1，2，3，4.
10
3
)2(,21)1(151
316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，
20
1
)4(,203)3(1313141115121613141315121613=
⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分 故ξ的分布列为
ξ 1
2
3
4
P
21
103 203 20
1 ……………………………………………………………10分
.4
7201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 答：ξ的数学期望为.4
7
………………………………………………………………12分
（文）由已知抽取一次停止的概率为21
1
6131==C C P ， ………………………………6分 抽取两次停止的概率为103
151316132=⋅=C C C C P ，………………………………………8分
抽取三次停止的概率为20
3
1413151216133=⋅⋅=C C C C C C P ，………………………………10分
所以抽取次数水多于三次的概率.20
19
20310321321=++=++=P P P P …………12分 19．证明：（1）因∠BAC =∠A 1AC ，
过C 作CO ⊥平面BAA 1B 1于O ， 作OD ⊥AA 1于D ；OE ⊥AB 于E ， 连接CD 、CE ，
则Rt △ADC ≌Rt △AEC ，即AE= AD ，连结AD ， 则Rt △AEO ≌Rt △ADO ，故∠EAO=∠OAD ，
所以O 在∠BAA 1的平分线上. ………………2分 又AB=AA 1，则平行四边形BAA 1B 1是菱形， 则O 在AB 1上，且A 1B ⊥AB 1，
所以CB 1在平面ABB 1A 1的射影是OB 1，又A 1B ⊥AB 1，则A 1B ⊥CB 1，…………4分 （2）因AB=AA 1=2，AC=1，∠BAA 1=∠A 1AC=∠CAB=60°，
在△ABC 中BC=3，则△ABC 是直角三角形，即AC ⊥BC ，
同理△AA 1C 是直角三角形，即AC ⊥CA 1，且CA 1=3，则AC ⊥平面CBA 1……8分 （3）令A 1B 交AB 1于G ，则AC ⊥CG ，
即在Rt △ACG 中，AC=1，AG=3，则CO=
3
6
，AO=33，
过O 作OF ⊥B 1B 于F ，连结CF 由（1）知OF 是CF 在平面ABB 1A 1内的射影，
则CF ⊥BB 1，所以在Rt △COF 中∠CFO 即是欲求二面角的平面角 ………………10分 又CO=
36，在Rt △OFB 1中，OB 1=335，sin ∠OB 1F=2130sin =
，
则OF=
635，于是在Rt △COF 中tan ∠CFO =.5
2
235636=⨯=OF CO 所以，二面角C —B 1B —A 的平面角的大小为.5
2
2arctan ……………………12分 20．（理）解（1）x
e x a ax x
f --++-=']2)1(2[)(2
，
（1）当x
e
x x f a --='=)22()(,0时
令1,022,0)(=∴=-='x x x f 得； 令.1,0)(;1,0)(>>'<<'x x f x x f 得令得
)(1x f x 是=∴的极小值点的横坐标 ……………………………………………………3分
（2）当02)1(20)(,02
=-++-='<x a ax x f a 得令时，
解得212221,1
1,11x x a
a a x a a a x <+-+=+++=
， 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：
∴x 1是极大值点的横坐标，x 2是极小值点的横坐标 …………………………………6分 （2）因为f (x )在[－1，1]上是单调函数，
又.02)1(2.0)(,]1,1[,02)0(2
≤-++-∴≤'-∈<-='x a ax x f x f 时所以当 即02)1(2)(2
≥++-=x a ax x g 在[－1，1]上恒成立 ……………………………8分 （1）当22)(,0+-==x x g a 时，显然成立 …………………………………………7分 （2）当a <0时，则抛物线2)1(2)(2
++-=x a ax x g 开口向下.0)1(0)1(≥≥-∴g g 且
即.034
.0043<≤-
∴≥-≥+a a a 且 ……………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围是].0,3
4
[- ……………………………………………… 12分
（文）（1）211,211213
311
33111111111
=+-==+-⋅=+-----=+-=+++a a b b a a a a a a a a b n n n n n
n n
n n n ，
∴{b n }为首项是2公比是2的等比数列 ……………………………………………6分 证明：（1）n n n T 2
3229272532+++++= ； ①
1322
3
2272521+++++=n n n T ； ②……………………………8分 ①－②得：)2
2
2222()23225(21321n n n n T +++++-=+ …………………………10分
12
7227++-=
n n …………………………………………………………………………11分 .72727<+-=∴n n n T ………………………………………………………………12分 21．（理）解：（1）设AB 的中点为T ，分别过点A ，B ，T 作准线l 1的垂线，垂足分别为
T B A ''',,由椭圆的定义知，
e
BF B B e AF A A ||||,||||22='='， 则e
AB e BF AF B B A A T T 2||2||||2||||||22=+='+'='，………………………… 4分 2
||||,10AB T T e >'∴<< 所以以线段AB 为直径的圆与椭圆右准线相离………6分 （2）证明：设椭圆上任意一点)0(),,(000≠y y x P 椭圆的左焦点为)0,(1c F -，
则直线PA 2的方程为：c
a x a x a x y y 2
00),(-=--=令，求得点N 的坐标为 ))
()(,(002a x c y c a a c a N -+--， ……………………………………………（7分）（文8分） 又直线PA 1的方程为：c
a x a x a x y y 2
00),(-=--=令，求得点M 的坐标为 ))
()(,(002a x c y c a a c a N +---，………………………………………………（8分）（文10分） 则直线MF 1的斜率))((,))((0010011a x c a ay K NF a x c a ay K NF MF --=++=的斜率直线， 22202202220222020000))(())(())((11b a x b y a a x c a y a a x c a ay a x c a ay K K NF MF -=--=--⋅++=⋅ …………………………（10分）（文12分）
因为点202222022220220200,,),(x b b a y a b a y a x b y x P -==+即则在椭圆上，所以
12220220222222022021
1-=--=-=⋅b a x b x b b a b a x b y a K K MF NF ，所以NF 1⊥MF 1 …（12分）（文14分）
（文）解：（1）ax x x f 23)(2+-='，要使f (x )在（0，2）上单调递增，
则0)(≥'x f 在（0，2）上恒成立 …………………………………………………2分 即.30412)2(00)0(≥∴⎩
⎨⎧≥+-='≥='a a f f …………………………………………… 4分 （2）令.3
2,0,023)(212a x x ax x x f ===+-='得 1)0(,0===∴<b f y a 极大值 ，
3,319
4278)32(33-=∴-=++-==a a a a f y 极小值， .13)(23+--=∴x x x f …………………………………………………………8分
（3）]1,0[23tan 2
∈+-=ax x θ ， (]1,012302在≤+-≤∴ax x 上恒成立 由x
x a ax x a x a ax x 2123,133,23.23,02322+≤≤+-≥∴≥≥+-得由得， 又32123≥+x
x （当且仅当33=x 时取“=”）， 3≤∴a ，综上，a 的取值范围是
323≤≤a ………………………………12分 22．（理）解：（1）.20,0)()
2(2)(2a x x x f a x x ax x x f -==='+=+='或则令 知0)1(=f ，所以（1，0）是函数)(x f 的图象与x 轴的一个交点，由三次函数图象的
性质，另一个交点必为极大值点，即0)2(=-a f 由 .34,1043
80310)2(0)1(33-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=b a b a a b a a f f 解得即 …………………………4分 （2）由（1）知x x x f x x x f 2)(,3
431)(223+='∴-+=
211211211)1(121)2(2)(+=++=+≥+='=∴------n n n n n n n n a a a a n a a a f a ，
两边取对数)1(log 2])1[(log )1(log 122122+=+=+--n n n a a a ，即
2)1(log )2(21211=+=≥=-a b n b b n n 又，
所以数列{b n }是首项为2公比为2的等比数列，
则n n b 2= ……………………………………………………………………………… 8分
（3）n
n x x x x x g 2222)(3322++++⋅= 1232223222)(-⋅++⋅+⋅+='∴n n x n x x x g
n n g 223222)1(32⋅++⋅+⋅+='∴
① 143222)1(23222)1(2+⋅+⋅-++⋅+⋅+='∴n n n n g
②
②－①，得 222)22222(2)1(114321+-⋅=+++++-⋅='∴+++n n n n n n g ，
n n n f 42)(22+='， ………………………………………………………………10分 当)(2)1(,6)1(2,2)1(,1n f g f g n '<'='='=时；
当)(2)1(,16)2(2,10)1(,2n f g f g n '<'='='=时；
当)(2)1(,30)3(2,34)1(,3n f g f g n '<'='='=时；
当2)11)(1(222)1(2222)1(,411++-=+-=+-⋅='≥++n n n n n n n g n 时
242)21)(1(22))(1(22110-=++-≥+++++-=-n n n C C C C n n n n n n n ，
又0144)14(24)1(2242)(2)1(222>=--≥--=--<'-'n n n n f g ，
所以).(2)1(0)(2)1(n f g n f g '>'>'-'即 …………………………………………12分 综上当)(2)1(,21n f g n '<'≤≤时；
当).(2)1(,3n f g n '>'≥时 …………………………………………………………14分。