上海市进才中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

∴n﹣1＝ n +1 ，解得 n＝3． 2
∴n!＝3×2×1＝6． 故答案为：6．
2． 8 27
【分析】根据二项分布的概率公直接求解即可
【详解】Qx
~
B
æ çè
4,
1 3
ö ÷ø
表示做了
4
次独立实验，每次试验成功概率为
1 3
，
\ P (x
=
2)
=
C24
´
æ çè
1 ö2 3 ÷ø
´
æ çè
2 3
ö2 ÷ø
试卷第61 页，共33 页
1．6
参考答案：
【分析】由
An2
=
C n-1 n+1
求得
n
，由此求得 n!.
【详解】∵
An2
=
C n-1 n+1
，
∴ An2 = Cn2+1 ，即 n（n﹣1）＝ (n + 1)n ， 2
ì n³2 由题意可得， ïín -1 ³ 0 ，解得 n≥2 且 n∈N*，
ïî n Î N*
12´ 2 = 24 个； ②对于正方体的每一条面对角线（如 A1C1 ，则 A1C1 ^ 平面 BB1D1D ），均有一个对角面构成
“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12´1 = 12 个. 综上所述，正方体中的“正交线面对”共有 36 个. 故答案为 36 .
8． 5 16
【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由事件 A 表示“乙获得比赛胜利”，
三、解答题
17．已知
æ çè
x
+2 x2nFra bibliotekö ÷ø
的展开式中，第
2
项的系数与第
3
1: 9
项的系数之比是
.
(1)求 n 的值； (2)求展开式中的常数项. 18．如图，在几何体 P - ABCD 中，已知 PA ^ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯形，
ÐABC
=
ÐBAD
=
p 2
，
AD
=
2
意一点，则| MF | + | MP | 的最小值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
15．有 5 张相同的卡片，分别标有数字1, 2, 3, 4,5 ，从中有放回地随机取两次，每次取 1 张
卡片， A1 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为 2”， A2 表示事件“第一次取出的卡片上
的数字为奇数”， A3 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为 6”， A4 表示事件“两次
所以8 = 2 r2 - CM 2 = 2 r2 - 8 ，解得 r = 2 6 故答案为： 2 6 6． 85 【分析】先利用各矩形的面积之和为 1，求得 a，再利用第 75 百分位数的定义求解 【详解】因为 2a ´10 = 1 Þ a = 0.05 ，
参赛成绩位于[50,80) 内的频率为10 ´ (0.01 + 0.015 + 0.035) = 0.6 ， 第 75 百分位数在[80,90) 内，设为80 + y ，则 0.03y = 0.15 ，解得 y = 5 ，
=
32 1
=
5 16
.
2
故答案为： 5 . 16
9．①②③ 【分析】利用异面直线的判断即可判断①，利用线面角的定义即可判断②，利用正体方的 性质与截面的位置即可判断③，利用射影的定义与勾股定理即可判断④，从而得解.
答案第41 页，共22 页
【详解】对于①，因为 CC1 Ì 平面 CC1D1D ， D Î 平面 CC1D1D ， E Ï平面 CC1D1D ， 所以 DE 与 CC1 为异面直线，故①正确； 对于②，因为平面 BCC1B1 / / 平面 ADD1A1 ， 所以 DE 与平面 BCC1B1 所成角即 DE 与平面 ADD1A1 所成角，连接 A1D ，
4
③过 D, C, E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
④线段 DE 在底面 ABCD 的射影长为 2
10．某校中学生篮球队集训前共有 6 个篮球，其中 3 个是新球（即没有用过的球），3 个是
旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出 2 个球，用完后放回.已知第一次训
练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到 1 个新球的概率为
y2 b2
= 1(a
>b
> 0, y
£ 0)
和部分双曲线
x2 a2
-
y2 b2
= 1( y
³
0) ，组成的
曲线 C 称为“盆开线”．曲线 C 与 x 轴有 A(2, 0), B(-2,0) 两个交点，且椭圆与双曲线的离
试卷第51 页，共33 页
心率之积为 7 ． 4
(1)设过点 (1, 0) 的直线 l 与 C 相切于点 M (4,3) ，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线 l
求 X 的数学期望．
( ) 附注：若x ~ N m,s 2 ，则 P(m - s < x £ m + s ) = 0.6827, P(m - 2s < x £ m + 2s ) = 0.9545 ，
P(m - 3s < x £ m + 3s ) = 0.9973 ．
20．如图，由部分椭圆
x2 a2
+
上海市进才中学 2023-2024 学年高二下学期期中考试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若
An2
=
C n-1 n+1
，则
n!＝
．
2．已知随机变量 x
服从二项分布 x
~
B
æ çè
4,
1 3
ö ÷ø
，则
二、单选题
13．设
ur m
，
r n
分别是平面a
，
b
的法向量，直线 l
的方向向量为
ur d
，以下结论错误的是
（） A．若 mr ^ nr ，则a ^ b
B．若
mr
^
r d
，则
l
∥a
C．若
mr ∥
r d
，则
l
^
a
D．若 mr ∥ nr ，则a ∥ b 或a ， b 重合
14．已知点 F(0, 4) 是抛物线 C : x2 = 2 py( p > 0) 的焦点，点 P(2,3) ，且点 M 为抛物线 C 上任
可得
P( A)
=
C44
(
1 2
)4
+
C34
(
1 2
)3
´
1 2
´
1 2
+
C35
(
1 2
)3
´
(
1 2
)2
´
1 2
+
C36
(
1 2
)3
´
(
1 2
)3
´
1 2
=
1 2
事件
B
表示“比赛进行了七局”，可得
P( AB)
=
C36
(
1 2
)3
´
(
1 2
)3
´
1 2
=
5 32
，
5
所以 P(B |
A)
=
P( AB) P( A)
=
8 27
，
故答案为： 8 27
3． 16 3
2
p
/ 16
2p 3
【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为 r ，则在展开图扇形中有
答案第11 页，共22 页
所以 2p 3
=
2p r l
=
2p r 6
，求得 r
= 2 ，再由圆锥的高为
l2 -r2 = 4
2 ，利用面积公式即可得
解.
【详解】由点 M (3,1) 在圆 C： ( x -1)2 + ( y +1)2 = r2 内，且
所以 (3 -1)2 + (3 +1)2 < r2 ，又 r > 0 ，解得 r > 2 2
答案第21 页，共22 页
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为 CM
又 C (1, -1) ，\ CM = 2 2
试卷第11 页，共33 页
一局比赛乙获胜的概率为
1 2
，事件
A
表示“乙获得比赛胜利”，事件
B
表示“比赛进行了
七局”，则 P(B | A) = ．
9．如图，棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E 为 A1B1 的中点，则下列说法正确的
是
.
① DE 与 CC1 为异面直线 ② DE 与平面 BCC1B1 所成角的正切值为 2
P (x
=
2)
=
.
3．已知圆锥的母线长为
6，其侧面展开图是一个圆心角为
2p 3
的扇形，则该圆锥的体积为
． 4．已知 (1- 2x)4 = a0 + a1x + a2 x2 +L + a5x5 ，则 a1 的值为 ．
5．已知点 M (3,1) 在圆 C： ( x -1)2 + ( y +1)2 = r2 （ r > 0 ）内，过点 M 的直线被圆 C 截得的
.
11．已知双曲线 C :
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a
>
0, b
> 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2
，过 F1 作一条渐近线的垂
线交双曲线 C 的左支于点 P ，已知
PF1 PF2
=
2 5
，则双曲线
C
的渐近线方程为
．
12．至少通过一个正方体的 3 条棱中点的平面个数为 ．
试卷第21 页，共33 页
【详解】设圆锥的底面半径为 r ，
则展开图扇形的弧长为 2p r ，半径为母线长 l = 6 ，
所以 2p 3
=
2p r l
=
2p r 6
，r
= 2，
所以圆锥的高为 l2 - r2 = 4 2 ，
所以V
=
1 3
Sh
=
1 3
p
´ 22
´4
2
=
16 3
2
p
.
故答案为： 16 3
2
p
.
4．-8 【分析】根据题意，结合展开式的通项公式，即可求解 a1 的值，得到答案. 【详解】由 (1- 2x)4 = a0 + a1x + a2x2 +L + a5x5 ，可得展开式中 a1 的值为 C14 × (-2) = -8 . 故答案为：-8 . 5． 2 6 【分析】根据点与圆的位置关系，可求得 r 的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结 合弦长公式可得到关于 r 的方程，求解即可.
，
AB
=
BC
=
1．
（1）求证： CD ^ 平面 PAC ； （2）若 PC 与平面 ABCD 所成的角为 p ，求点 A 到平面 PCD 的距离．
3 19．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市
试卷第41 页，共33 页
区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道 路的各种类别的机动车共 1000 辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方 图：
的方程； (2)过 A 的直线 m 与 C 相交于点 P, A,Q 三点，求证： ÐPBA = ÐQBA ． 21．在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心 是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半
轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆 E
即第 75 百分位数为85 ， 故答案为： 85 7．36 【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即 可得出结果. 【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：
答案第31 页，共22 页
①对于正方体的每一条棱，都有 2 个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有
弦长最小值为 8，则 r = ． 6．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如下图所示，成绩都在
[50,100] 内，估计所有参赛同学成绩的第 75 百分位数为 ．
7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个 正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 . 8．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每
取出的卡片上的数字之和为 7 ”，则（ ）
A． A3 与 A4 为对立事件
B． A1 与 A3 为相互独立事件
C． A2 与 A4 为相互独立事件
D． A2 与 A4 为互斥事件
16．下列结论正确的有（ ） A．将总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为
( ) x1
(1)试根据频率分布直方图，求 a 的值以及样本中的这 1000 辆机动车的平均车速（同一组中 的数据用该组区间的中点值代替）；
( ) (2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布 N m,s 2 ，其中 m,s 2 分别取自该调查样本
中机动车的平均车速和车速的方差 s2 （经计算 s2 = 14.52 ）． （i）请估计该公路上 10000 辆机动车中车速不低于 85 千米/时的车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取 10 辆，设车速低于 85 千米/时的车辆数为 X ，
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
0)
的
蒙日圆的面积为13π ，该椭圆的上顶点和下顶点分别为 P1, P2 ，且
P1P2
=
2
，设过点
Q
æ çè
0,
1 2
ö ÷ø
的直线 l1 与椭圆 E 交于 A, B 两点（不与 P1, P2 两点重合）且直线 l2 : x + 2y - 6 = 0 ． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)证明： AP1, BP2 的交点 P 的纵坐标为定值； (3)求直线 AP1, BP1,l2 围成的三角形面积的最小值．
， x2
和 s12 ， s22 ，若
x1
=
x2
，则总体方差 s2
=
1 2
s12 + s22
试卷第31 页，共33 页
B． 96,90, 92,92,93,93,94,95,99,100 的第 80 百分位数为 96
C．若随机变量
X
:
B
æ çè
5,
2 3
ö ÷ø
，则
D (3X
+ 1)
= 11
D．若随机变量x ~ N (3,s 2 ) ， P (x £ 1) = 0.23 ，则 P (x £ 5) = 0.77