辽宁省鞍山市第一中学2016届高三第四次模拟考试理数试题 含解析
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第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}|12
8x
P x =≤<,{}1,2,3Q =,则P Q =(
)
A .{}1,2
B .{}1
C .{}2,3
D .{}1,2,3 【答案】A
考点:1、不等式的解法;2、集合的交集运算. 2。
设复数z 满足2z i i ⋅=-(i 为虚数单位),则z =( ) A .2i - B .12i + C .12i -+ D .12i -- 【答案】D 【解析】
试题分析:由题意,得2
2(2)12i i i z i i
i --===--,故选D .
考点:复数的运算. 3.抛物线2
4y
x =上一点P 到焦点的距离为3,则点P 的横坐标为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】B 【解析】
试题分析:由抛物线的方程知其准线方程为1x =-,则设P 的横坐标x ,则由抛物线的定义知13x +=,解得2x =,故选B . 考点:抛物线的定义.
4.已知向量a ,b 满足()2a b a ⋅+=,且||1a =,||2b =,则a 与b 的夹角为( ) A .6
π B .5
π C .4
π D .3
π
【答案】D
考点:1、向量数量积运算;2、平面向量夹角公式.
【思路点睛】根据定义计算数量积求向量,a b 的数量积a b ,有以下两种思路:(1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算;(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量,a b ,然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.
5.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲乙两人至少有
一人参加,那么不同的发言顺序有( ) 种
A .30
B .600
C .720
D .840 【答案】C 【解析】
试题分析:(1)甲乙两人中只有1人参加有1
342
5
4
480C C A
=种发言顺序;
(2)甲乙都参加有2
242
5
4240C C
A =种发言顺序,所以不同的发言顺序共有
480240720+=种,故选C .
考点:排列与组合的应用.
【技巧点睛】先组后排原则:对于有限制条件的排列组合问题,常可分步进行,先组合后排列,即先取出元素再安排元素,这是分步乘法计数原理的典型应用.分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类的标准,然后在确定的分类标准下进行分类,一般地,分类方法不同,分类的结果也不同.
6。
对任意的非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图所示,且{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 中的最小值, 则{}0.10.3
2min 1,log
0.1,3⊗的值为(
)
A .0
B .1
C .0.3
2log 0.1- D .0.1
23
-
【答案】B
考点:1、指数与对数函数的性质;2、程序框图;3、新定义. 7.关于函数()3sin(2)1()3
f x x x R π=-+∈,下列命题正确的是( )
A .由1
2
()()1f x f x ==可得1
2
x x -是π的整数倍
B .()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16
y x π=++
C .()y f x =的图象关于点(,1)6
π对称
D .()y f x =的图象关于直线34
x π=对称
【答案】C 【解析】
考点:1、三角函数的图象与性质;2、诱导公式.
【方法点睛】求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的函数的图象对称轴或对称中心时,都是把“x ωϕ+”看作一个整体,然后根据sin y x =和cos y x =图象的对称轴或对称中心进行求解.求函数tan()y A x ωϕ=+的图象的对称中心时,也是采用类似的方法. 8.已知在三棱锥P ABC -中,43
3
P ABC
V -=
,
4APC π∠=,
3
BPC π
∠=,PA AC ⊥,PB BC ⊥,且
平面PAC ⊥平面PBC ,那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( )
A .43π
B
C
D .323
π
【答案】D 【解析】
试题分析:取PC 中点O ,连接,AO BO ,设球半径为R ,则
2,,PC R PB R BC ===.又AO R =,且由已知条件知AO ⊥平面PBC ,所以由
体积可得11
32P ABC
V
R R -=⨯⨯⨯=
,解得2R =,所以三棱锥P ABC -外接球的体积为3
4323
3
R
ππ=,故选D .
考点:1、平面垂直的性质;2、棱锥的外接球;3、球的体积.
9.已知函数()f x 满足1()()f x f x
=,且当1,1x π
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()ln f x x =,若当1,x ππ
⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,
函数
()()g x f x ax =-与x 轴有交点,则实数a 的取值范围是(
)
A .ln ,0ππ
⎡⎤
-⎢⎥
⎣
⎦
B .[]ln ,0ππ-
C .1ln (,]e
ππ
- D .1(,]2
e π
--
【答案】B
考点:1、函数的零点;2、函数图象.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A .75
B .725+
C .422+
D .45+
【答案】A
考点:1、空间几何体的三视图;2、三棱锥的表面积.
11。
设1F ,2F 分别为椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C :22
2211
1x y a b -=()
110a b >>的公共焦点,
它们在第一象限内交于点M ,1290F MF ∠=︒,若椭圆的离心率32,43e ⎡∈⎢⎣⎦
,
则双曲线2
C 的离心率1
e 的
取值范围为( ) A .2
1432⎣⎦ B .2
14
2⎣ C .322,
⎦
D .3
2
⎫
+∞⎪⎪
⎣⎭
【答案】B
考点:椭圆与双曲线的定义及几何性质.
12.已知函数()f x 满足:()2'()0f x f x +>,那么下列不等式成立的是( ) A .(1)f e
>
B .(0)
(2)f f e
<
C .(1)(2)f e >
D .2(0)(4)f e f >
【答案】A 【解析】
试题分析:令1
2
()()x g x e f x =,则111
22211
()()()(()2())22
x x x g x e f x e f x e f x f x '''=+=+,因为函
数()f x 满足()2'()0f x f x +>,所以()0g x '>,所以函数()g x 在定义域内为增函数,所以(1)(0)g g >,即12
(1)e
f >(0)f ,亦即(1)f e
>
A .
考点:利用导数研究函数的单调性.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13。
若2
1
()n x
x
-展开式的二次项系数之和为128,则展开式中2
x 的系数
为 .
【答案】35 【解析】
试题分析:由题意,知2128n
=,解得7n =,所以21
()n x x
-展开式的通项公
式为2717
1()()r r r T
C x r x
-+=-=14317(1)r r r
r T C x -+=-,令1432r -=,解得4r =,所以展开式中2
x 的系数为4
47
(1)35C
-=.
考点:二项式定理.
14。
已知实数x ,y 满足10,
10,1,
x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
则3y
x -的最小值为 .
【答案】13
-
考点:简单的线性规划问题. 15.当(],1x ∈-∞,不等式2
12401
x x a
a a ++⋅>-+恒成立,则实数a 的取值范围
为 . 【答案】34
a >-
考
点:1、指数函数的性质;2、不等式恒成立问题.
【方法点睛】分离参数法是解决含参问题的基本思想之一,对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,只要研究变量表达式的性质就可以解决问题.
16.在△ABC 中,
cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=,且cos 3sin a C a C b c =+,
则△ABC 的面积为 . 【答案】3【解析】
试题分析:由已知条件与余弦定理,得222222
222a b c a c b b
c ab ac +-+-+=,222222
22a b c b c a a c
ab ac
+-+-+=2,解得2a =,2b =.又cos 3sin a C a C b c =+,即
2cos 23sin 4C C +=,即sin()16C π+=,所以62C ππ+=,所以3
C π=
,所以
113
sin 22322ABC S ab C ∆==⨯⨯=
考点:1、余弦定理;2、三角形面积公式;3、两角和与差的正弦.
【策略点睛】三角形面积问题的解决策略为:(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形,求出三角形的有关元素之后,直接求三角形的面积,或求出两边之积及夹角正弦,求解;(2)把面积作为已知条件之一,与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量.面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量,结合已知条件列方程求解。
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17。
(本题满分12分)公差不为0的等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,若
11a =,1S ,2S ,4S 成等比.
(1)求数列{}n
a 的通项公式;
(2)设1
n
n
b
S =
,证明对任意的*n N ∈,1
2
32n b b
b b ++++<…恒成立.
【答案】(1)21n
a
n =-;(2)见解析.
(2)由(1)得2n
S
n =,∴2
1n b n =
.
当1n =时,1
12b
=<成立;
当2n ≥时,()21111
11n
b n n n n n
=
<=-
--, ∴1
2n
b b
b +++<…111111111122223341n n n
+-+-+-++-=-<-…成立, 所以对任意的正整数n ,不等式成立.
考点:1、等差数列的通项公式;2、等比数列的性质;3、不等式恒成立.
18.(本题满分12分)某网站点击量等级规定如下:
(1)若从中任选两天,则点击数落在同一等级的概率;
(2)从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天,记这3天点击等级为差的天数为随机变量X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.
【答案】(1)415;(2)分布列见解析,15()16
E X =.
随机变量X 的分布列为
X 0
1
2
3
P
33
112
55112
1156 156
数学期望3355221
15
()0123112
112
112
56
16
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
. 考点:1、古典概型;2、随机变量的分布列与数学期望.
【方法点睛】较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概率问题的处理方法有:(1)转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解;(2)采用间接法,先求事件A 的对立事件A 的概率,再由()()1P A P A =-求事件A 的概率.
19。
(本题满分12分)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形,
120BCD ∠=︒,2AB PC ==,2AP BP ==
(1)求证:AB PC
⊥;
(2)求二面角B PC D
--的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)27
-.
7
考点:1、空间垂直关系的判定与性质;2、二面角;3、空间向量的应用.
【思维点睛】在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一,矩形的内角、直径所对的圆周角为90︒,菱形的对角线互相垂直,直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理),直角梯形等. 20。
(本题满分12
分)已知1F ,2F 分别是椭圆E :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右
焦点,P 是椭圆E 上的点,且2
PF
x ⊥轴,2
12116
PF PF a ⋅=
.直线l 经过1F ,与椭圆E 交于A ,B 两点,2
F 与A ,B 两点构成△2
ABF . (1)求椭圆E 的离心率; (2)设△
1
2
F PF 的周长为2+
2ABF 的面积的最大值.
【答案】(1)e =
(2)1
2.
考点:1、椭圆的定义及性质;2、向量的数量积;3、弦长公式;4、基本不等式.
【方法点睛】离心率是椭圆的重要几何性质,也是高考考查的重
点.此类问题一般有两类:一是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求椭圆的离心率的取值范围.无论是哪类问题,关键是借助图形建立关于,,a b c 的关系式(等式或不等式),转化为e 的关系式.
21。
(本题满分12分)设函数()(1)ln(1)f x ax x bx =-+-,其中a ,b 是实数.已知曲线()y f x =与x 轴 相切于坐标原点. (1)求常数b 的值;
(2)当01x ≤≤时,关于x 的不等式()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (3)求证:1000.4
1001()
1000
e >.
【答案】(1)1b =;(2)1(,]2
-∞-;(3)见解析. 【解析】
试题分析:(1)求导后,由导数的几何意义求得b 的值;(2)通过二次求导后,分12
a ≤-、0a ≥、102
a -<<讨论函数的单调性,求得实数a 的取
值范围;(3)将原不等式等价变形211
(1)ln(1)05n n n
++-<,结合(2)中函数的单调性可使问题得证.
③当102
a -<<时,令21min 1,a m a +⎧⎫=-⎨⎬⎩
⎭
,当[]0,x m ∈时,()
2
21
''()01ax a f x x ++=-
<+,于是'()f x 在[]0,x m ∈上单调递减,从而'()'(0)0f x f ≤=,因此()f x 在[]0,x m ∈上单调递减,即()(0)0f x f ≤=,而且仅有(0)0f =,不符. 综上可知,所求实数a 的取值范围是1(,]2
-∞-.
(3)对要证明的不等式等价变形如下:
对于任意的正整数n ,不等式2
5
1(1)n e n
++<恒成立,等价变形
211
(1)ln(1)05n n n
+
+-<相当于(2)中
25a =-
, 12m =的情形,()f x 在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减,即()(0)0f x f ≤=,而且仅有
(0)0f =;取1x n =,得:对于任意正整数n 都有211(1)ln(1)05n n n
++-<成立;令1000n =得证. 考点:1、导数几何意义;2、利用导数研究函数的单调性;3、不等式恒成立.
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22。
(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图△ABC 是
O 的内接三角形,PA 是O 的切线,切点为A ,PB 交AC 于点E ,交O 于点D ,PA PE =,45ABC ∠=︒,1PD =,8DB =.
(1)求△ABP 的面积;
(2)求弦AC 的长.
【答案】(1)272
;(2)52AC =
(2)在Rt △APE 中,由勾股定理得32AE =
又2ED EP PD =-=,6EB DB DE =-=,
所以由相交弦定理得12EC EA EB ED ⋅=⋅=,所以22EC =52AC = 考点:1、弦切角定理;2、切割线定理;3、相交弦定理.
23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ
=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C 的极坐标方程;
(2)直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )33ρθθ=OM :3
πθ=与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.
【答案】(1)2cos ρθ=;(2)2PQ =.
考点: 1、参考方程与普通方程及极坐标方程的互化;2、直线与圆的位置关系.
24。
(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数()|2||1|f x x x =+--.
(1)试求()f x 的值域;
(2)设()233()0ax x g x a x
-+=>,若对()0,s ∀∈+∞,(),t ∈-∞+∞,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.
【答案】(1)[]3,3-;(2)[3,)+∞.
考点:1、绝对值三角不等式的性质;2、函数的最值域;3、不等式恒成立.。