割补法求四种三棱锥外接球半径问题课件(共17张PPT)
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如图，长方体的长、宽、 高分别为a、b、c，它的 外接球的直径为AC’，即 该长方体的对角线，可 算得AC1的长度为 a2 b2 c2
2R a2 b2 c2
R 1 a2 b2 c2 两次图中勾股弦 2
教师预设问题
三、三棱锥的外接球
1.第一类三棱锥的特征
同一顶点上的三条棱两两互相垂直且相等。
学习目标：以长方体和正 方体为载体，会用割补法 求四种三棱锥外接球的半 径，根据球的体积和表面 积公式求球的体积和表面 积。
知识链接 一、正方体的外接球
正方体的边长为 a，它 的外接球直径为正方体 的对角线，即图中A1C，
A1C 2R 3a2 3a
R 3 a 2
两次图中勾股弦
二、长方体的外接球
A1B=DC1，BD=A1C1，A1D=BC1
4.第四类三棱锥的特征
由勾股定理可得：
x2 y2 b2 ① x2 z2 a2 ② y2 z2 c2 ③
①+②+③得，
（2 x2 y2 z2 ) a2 b2 c2
长方体的外接球直径 2R= x2 y2 z2 2 a2 b2 c2
如图所示，请归纳三棱锥 A-A1B1D1的特征：
A1B1⊥ A1A⊥A1D1 且A1B1= A1A= A1D1= a
它的外接球半径为R= 3 a 2
2.第二类三棱锥的特征
同一顶点上的三条棱两两互相垂直。
如图所示，请归纳三棱锥 A1—ABD的特征：
AB⊥AD⊥AA1
设AB= a AD= b AA1=c，即 长方体的长、宽、高分别为
a、b、c
该三棱锥的外接球半径
R= 1 a2 b2 c2 2
3.第三类三棱锥（正四面体பைடு நூலகம்的特征
正四面体所有棱长均相等。 可由正方体沿面对角线切割所得
x 2a 2
它的外接球半径 R= 3 x 6 a
24
正方体外球来伴， 正四面体其中见；
4.第四类三棱锥的特征
三组对棱分别相等。 三棱锥A1—BDC1是由长方体 ABCD—A1B1C1D1连接面对角 线所得，请归纳三棱锥特征：
2
R 2 a2 b2 c2 4
对棱相等一模型 长方体中来显现
当堂小测
三棱锥的特征：三 组对棱分别相等
课堂小结：
1、把握好这四类三棱锥的结构特征， 能通过补形思想转化为正方体或长 方体求其外接球半径。 2、割补法不仅体现数学中的转化思 想，也体现了对立统一思想。 3、本节课还体现数学中的类比思想。
面体接球有点繁， 两次图中勾股弦； 正方体外球来伴， 正四面体其中见； 对棱相等一模型， 长方体中来显现。
知识点分析：几何体外接球问题 是一个考试热点，也是同学们学 习的一个难点，求几何体外接球 通常有两种方法。
一、割补法：以正方体或长方体为载体，切割所 得几何体的外接球仍是该正方体或长方体的外接 球，反之，求该几何体的外接球问题可补形为正 方体或长方体求其外接球问题； 二、直接计算法：直接找球心，构造三角形直接 计算球半径。
2R a2 b2 c2
R 1 a2 b2 c2 两次图中勾股弦 2
教师预设问题
三、三棱锥的外接球
1.第一类三棱锥的特征
同一顶点上的三条棱两两互相垂直且相等。
学习目标：以长方体和正 方体为载体，会用割补法 求四种三棱锥外接球的半 径，根据球的体积和表面 积公式求球的体积和表面 积。
知识链接 一、正方体的外接球
正方体的边长为 a，它 的外接球直径为正方体 的对角线，即图中A1C，
A1C 2R 3a2 3a
R 3 a 2
两次图中勾股弦
二、长方体的外接球
A1B=DC1，BD=A1C1，A1D=BC1
4.第四类三棱锥的特征
由勾股定理可得：
x2 y2 b2 ① x2 z2 a2 ② y2 z2 c2 ③
①+②+③得，
（2 x2 y2 z2 ) a2 b2 c2
长方体的外接球直径 2R= x2 y2 z2 2 a2 b2 c2
如图所示，请归纳三棱锥 A-A1B1D1的特征：
A1B1⊥ A1A⊥A1D1 且A1B1= A1A= A1D1= a
它的外接球半径为R= 3 a 2
2.第二类三棱锥的特征
同一顶点上的三条棱两两互相垂直。
如图所示，请归纳三棱锥 A1—ABD的特征：
AB⊥AD⊥AA1
设AB= a AD= b AA1=c，即 长方体的长、宽、高分别为
a、b、c
该三棱锥的外接球半径
R= 1 a2 b2 c2 2
3.第三类三棱锥（正四面体பைடு நூலகம்的特征
正四面体所有棱长均相等。 可由正方体沿面对角线切割所得
x 2a 2
它的外接球半径 R= 3 x 6 a
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正方体外球来伴， 正四面体其中见；
4.第四类三棱锥的特征
三组对棱分别相等。 三棱锥A1—BDC1是由长方体 ABCD—A1B1C1D1连接面对角 线所得，请归纳三棱锥特征：
2
R 2 a2 b2 c2 4
对棱相等一模型 长方体中来显现
当堂小测
三棱锥的特征：三 组对棱分别相等
课堂小结：
1、把握好这四类三棱锥的结构特征， 能通过补形思想转化为正方体或长 方体求其外接球半径。 2、割补法不仅体现数学中的转化思 想，也体现了对立统一思想。 3、本节课还体现数学中的类比思想。
面体接球有点繁， 两次图中勾股弦； 正方体外球来伴， 正四面体其中见； 对棱相等一模型， 长方体中来显现。
知识点分析：几何体外接球问题 是一个考试热点，也是同学们学 习的一个难点，求几何体外接球 通常有两种方法。
一、割补法：以正方体或长方体为载体，切割所 得几何体的外接球仍是该正方体或长方体的外接 球，反之，求该几何体的外接球问题可补形为正 方体或长方体求其外接球问题； 二、直接计算法：直接找球心，构造三角形直接 计算球半径。