2019-2020学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.2.2 事件的独立性 Word版含解析

2．2.2 事件的独立性
[对应学生用书P28]
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A 为“从甲箱里摸出白球”，B 为“从乙箱里摸出白球”．
问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 提示：不影响．
问题2：试求P (A )、P (B )、P (A ∩B )．
提示：P (A )＝35，P (B )＝12，P (A ∩B )＝3×25×4＝3
10.
问题3：P (B |A )与P (B )相等吗？
提示：因为P (B |A )＝错误!＝错误!＝错误!， 所以P (B |A )与P (B )相等．
问题4：P (A ∩B )与P (A )×P (B )相等吗？ 提示：因为P (B |A )＝错误!＝P (B )， 所以P (A ∩B )与P (A )×P (B )相等．
1．相互独立事件的概念
若事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件的性质
如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 3．相互独立事件同时发生的概率公式
如果事件A 与B 相互独立，那么P (A ∩B )＝P (A )×P (B )．
1．事件A 与B 相互独立就是事件A 的发生不影响事件B 发生的概率，事件B 的发生不影响事件A 发生的概率．
2．当事件A 与事件B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0时，有P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． 3．两个事件A ，B 相互独立的充要条件是P (A ∩B )＝P (A )P (B )．
注意：独立事件是依据事件之间的相互关系对事件进行区别划分的一种方式．事件的独立性既可以指两个事件之间的独立关系，也可以指多个事件之间的独立关系．
[对应学生用书P29]
[例1] 容器中盛有5(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
[思路点拨] 利用相互独立事件的定义判断． [
精
解
详
析
]
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A ，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B ，
则P (A )＝58，P (B )＝58×47＋38×57＝5
8，
P (A ∩B )＝5×48×7＝5
14
.
因为P (A ∩B )≠P (A )P (B )，所以二者不是相互独立事件．
(2)因为把取出的白球放回容器，所以对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
[一点通]
判断两个事件是否相互独立的方法：
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．
(3)条件概率法：当P (A )＞0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．
1．下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )
A ．一枚硬币掷两次，A ＝{第一次为正面}，
B ＝{第二次为反面}
B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A ＝{第一次摸到白球}，B ＝{第二次摸到白球}
C ．掷一枚骰子，A ＝{出现点数为奇数}，B ＝{出现点数为偶数}
D ．A ＝{人能活到20岁}，B ＝{人能活到50岁}
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，A ，B 应为互斥事件，不相互独立； D 是条件概率，事件B 受事件A 的影响．
答案：A
2．分别抛掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判定事件A ，B 是否相互独立．
解：分别掷两颗质地均匀的骰子，则
A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．
B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．A ∩B ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有
C 13·C 13＝9种结果．
由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (A ∩B )＝
C13C13
C16C16＝936＝1
4
. 所以P (A ∩B )＝P (A )·P (B )，即事件A 、事件B 相互独立.
[2]
某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语
为0.85，求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[思路点拨] 明确已知事件的概率及其关系，把待求事件的概率表示成已知事件的概率，再选择公式计算．
[
精
解
详
析
]
分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用，A ∩ B ∩C 表示，P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A ∩B ∩C )∪(A ∩B ∩C )∪(A ∩B ∩C )表示． 由于事件A ∩B ∩C ，A ∩B ∩C 和A ∩B ∩C 两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为 P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C ) ＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )
＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. [一点通]
1．公式P (A ∩B )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．
2．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件发生的概率，再求其积．
3．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任意抽取一件，则两件都是正品的概率是________．
解析：用A 表示从甲机床制造的产品中抽得正品，用B 表示从乙机床制造的产品中抽得正品．由题意得，A ，B 是相互独立事件，故P (A ∩B )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912.
答案：0.912
4．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，1
4，假设他们破译密码是彼此独立
的，则此密码被破译的概率为________．
解析：用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码， 则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝1
4
，
且P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )P (C )＝45×23×34＝2
5.
所以此密码被译出的概率为1－25＝3
5.
答案：35
5．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．
解：记甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件D ，E ，F ，则甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 分别为事件D ，
E ，
F .根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为
P ＝P (D ∩E ∩F )＋P (D ∩E ∩F )＋P (D ∩E ∩F )＋P (D ∩E ∩F )＝ P (D )P (E )P (F )＋P (D )P (E )·P (F )＋P (D )P (E )·P (F )＋P (D )·P (E )P (F )
＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
[
3]
(10分)三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，3
4，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串
联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[思路点拨] 记三个元件T 1，T 2，T 3正常工作分别为事件A 1，A 2，A 3，再把不发生故障的事件表示为(A 2
∪A 3)∩A 1，最后由相互独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式求概率．
[
精
解
详
析
]
记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝3
4
.(4分)
不发生故障的事件为(A 2∪A 3)∩A 1，(6分)
故不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)∩A 1] ＝P (A 2∪A 3)·P (A 1)
＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14×12＝15
32
.(10分)
[一点通]
解决此类问题应注意：
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件；
(2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
6．如图，A ，B ，C 表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性为( )
A ．0.054
B ．0.994
C ．0.496
D ．0.06
解析：记三个开关都正常工作分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.7.
三个开关同时出现故障的事件为A ∩B ∩C ，则此系统正常工作的概率为P ＝1－P (A ∩B ∩C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：B
7．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为45，35，2
5，且各轮问题能否正确回答互不影响．求
该选手被淘汰的概率．
解：记事件“该选手能正确回答第i 轮的问题”为A i (i ＝1,2,3) ，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝2
5.
法一：该选手被淘汰的概率为 P (A －1)＋P (A 1∩A －2)＋P (A 1∩A 2∩A －
3)
＝P (A －1)＋P (A 1)P (A －2)＋P (A 1)P (A 2)P (A －3) ＝15＋45×25＋45×35×35＝101125. 法二：该选手被淘汰的概率为 1－P (A 1∩A 2∩A 3)＝1－45×35×25＝101
125
.
1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别：
错误!
1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸到白球”，用B 表示“第二次摸到白球”，则A 与B 是( )
A ．互斥事件
B ．相互独立事件
C ．对立事件
D ．非相互独立事件
解析：根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A 与B 为非相互独立事件． 答案：D
2．某射击运动员射击一次命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是
( )
A ．0.64
B ．0.56
C ．0.81
D ．0.99
解析：A i 表示“第i 次击中目标”，i ＝1,2，则P (A 1∩A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.9×0.9＝0.81. 答案：C
3．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A 型螺栓的概率为( )
A.1
20
B.1516
C.35
D.1920
解析：设“从甲盒中取一螺杆为A 型螺杆”为事件A ，“从乙盒中取一螺母为A 型螺母”为事件B ，则A 与B 相互独立，P (A )＝160200＝45，P (B )＝180240＝3
4，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A 型螺栓的概
率为P ＝P (A ∩B )＝P (A )P (B )＝45×34＝3
5
.
答案：C
4．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1
9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事
件A 发生的概率P (A )等于( )
A.29
B.118
C.13
D.23
解析：由P (A ∩B )＝P (B ∩A )得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]， ∴P (A )＝P (B )．又P (A ∩B )＝19，
∴P (A )＝P (B )＝13.∴P (A )＝2
3.
答案：D
5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
解析：由题意知P ＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65. 答案：0.65
6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
解析：设从甲袋中任取一个球，事件A 为“取得白球”，则事件A 为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B 为“取得白球”，则事件B 为“取得红球”．
∵事件A 与B 相互独立，∴事件A 与B 相互独立． ∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为 P ((A ∩B )∪(A －∩B －))＝P (A ∩B )＋P (A －∩B －
) ＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －
) ＝23×12＋13×12＝12. 答案：12
7．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和3
4.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率．
解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B . (1)P (A ∩B )＝P (A )×P (B )＝45×34＝3
5.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P ＝1－P (A ∩B )＝1－P (A )×P (B )＝1－15×14＝19
20
.
8．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； (3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
解：记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ， 依题意得P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，且A i ，B i 相互独立．
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件A 1∩A 2∩A 3，且这三次试跳相互独立． ∴P (A 1∩A 2∩A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063. (2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C . P (C )＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
(3)记“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i (i ＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i (i ＝0,1,2)， ∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M 1∩N 0＋M 2∩N 1，且M 1∩N 0，M 2∩N 1为互斥事件，则所求的概率为
P (M 1∩N 0＋M 2∩N 1)＝P (M 1∩N 0)＋P (M 2∩N 1) ＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)
＝C 12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4 ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.
∴甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.。