2020届江苏高考数学(文)总复习板块专练：简单的三角恒等变换及解三角形

板块命题点专练（六）简单的三角恒等变换及解三角形
命题点一简单的三角恒等变换 5 n 1 口订
a — 4 = 5，贝tan a=
• sin( a+ 3=— £
答案：—2
5. （2018全国卷川改编 )若 sin a= 3 则 cos 2a =
『2= 7
3 = 9
1. (2018全国卷n )已知tan
解析：tan a — 1 1 3
解得 tan a= ?. 答案：3
/ n tan =tan a — 4 =盲 tan a 5'
1
2. (2015 江苏高考)已知 tan a= — 2, tan( a+ 3= 7，贝V tan 3 的值为 解析：tan 3= tan [( a+ 3) — a
1
—(— 2
=tan( a+ 3— tan a =
7 \
1 + tan a+ 3tan a 1 +—
2 =3.
答案：3
3. （2017江苏高考）若tan
解析：tan a= tan h a-才
答案：7
5
4. (2018 全国卷 n )已知 sin a+ cos 3= 1, cos a+ sin 3= 0,则 sin( a+ 3 = 解析：■/ sin a+ cos 3= 1，① cos a+ sin 3= 0,
•••① 1 2 3+② 2得 1+ 2(sin
acos 3+ cos asin 3+ 1 = 1, ••• sin acos 3+ cos asin
—2,
4 答案：7
4 _ n 6. (2016 江苏高考)在厶 ABC 中，AC = 6, cosB = 5，C =
4. (1)求AB 的长； ⑵求cos A - 6的值.
4
解：(1)因为 COSB = 4，0V B V n,
5
(2)在厶 ABC 中，A + B + C = n,所以 A = n-但 + C), cosA =— cos(B + C)=— cos B + 扌
cos Bcos^ + sin Bsin^ 4 又 cosB =
5
10.
一叵五+也X 1 = 7©-晟
10 2 10 2 20 .
4
7. (2018 江苏高考)已知 a, B 为锐角，tan a= 3, cos(a + 3)=^5
(1) 求cos 2a 的值； (2) 求 tan( a — 3 的值. 解：(1)因为 tan a= sin —a
cos a
所以sin
a= §COS
a .
所以 sin B = 1 — coS 1 2B = 42=I
由正弦定理知 AC = AB sin B sin C'
所以AB =
AC sin C = sin B
=5 2.
于是 sin B =3
因为0V A V n,所以 sin A = 1 — cos 2A = 7 _ 2
10 . 因
此,
cosA
― 6 =
cosAcos n
+ sin Asin
6
7t
所以 cos 2 a= 25,
2
7
所以 cos 2a = 2cos a — 1 =—頁.
25
⑵因为a, 3为锐角，所以a+ 3^ （0, n 又因为cos （%+3=—羊,
5
所以 sin(a+ 3 = 1 — co€ a+ 3=令5,
所以
tan( a+ 3)= — 2. 因为
tan a= 4
3
所以
- 2tan a 24 tan 2 a
=1—a?a=— ?.
所以 tan( a — 3)= tan [2 a — ( a+ 3)]
=tan 2 a — tan( a+ 3) = 2 1 + tan 2 %tan(a+3)
11.
命题点二解三角形
1. （2018 •苏高考）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , / ABC = 120 ° ° / ABC 的平分线交 AC 于点D ,且
BD = 1,贝U 4a + c 的最小值为
解析：如图,
T S A
=
•- ^ac sin 120 ° = ^c x 1x sin 60° + ^a x 1 x sin 60° , /• ac = a + c.「.^+ g= 1.
••• 4a + c = (4a + c) £+ £ = £+ 号 + 5> 2 当且仅当c = ¥，即c =2a 时取等号. 故4a + c 的最小值为 9. 答案：9
2. （2018浙江高考）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若a=. 7 , b = 2, A = 60° 贝U sin B =
解析：由正弦定理 孟=盘，得sin B = bsin A =,于=于.
由余弦定理 a 2= b 2
+ c 2— 2bccosA , 得 7 = 4+ c 2— 4c X cos 60°,
即 c 2— 2c — 3 = 0,解得 c = 3 或 c = — 1(舍去).
答案：号1 3
3. (2018全国卷I )△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知bsin C + csin B =4asin Bsin C , b 2 + c 2— a 2= 8,则厶 ABC 的面积为 ________________ .
解析：■/ bsin C + csin B = 4asin Bsin C , •••由正弦定理得
sin Bsin C + sin Csin B = 4sin Asin Bsin C. 1
又 sin Bsin C >0, • sin A = ?.
b 2
+ c 2 — a 2
8 4
由余弦定理得 cosA = — =77 > 0,
■ 2bc bc
1
△ ABC = 2bcsin A = 答案：晋
1
4. (2018 北京高考)在厶 ABC 中，a = 7, b = 8, cosB =— 7. (1) 求/ A ;
(2) 求AC 边上的高.
1
解：(1)在厶ABC 中，因为cosB = — 7,
所以0vZ A vj 所以/ A =扌. (2)在厶ABC 中，
因为 sin C = sin(A + B) = sin AcosB + cosAsin B =色［-1L1 x 4/3= 3/3,
所以AC 边上的高为asin C = 7 x 愛=于.
14
2
5. (2015江苏高考)在厶ABC 中，已知 AB = 2, AC = 3, A = 60 (1)求BC 的长；
2bc cosA =」,
2
bc =
4 = 8帀 cosA 3
所以sin B = p 1 - cos ?B = ^T 3.
由正弦定理得
sin A = asin B . 3 b =
2 .
(2)求sin 2C 的值.
解： ⑴由余弦定理知， BC 2= AB 2+ AC 2— 2AB AC c osA = 4+ 9-2 X 2X 3X 2 = 7,
所以BC = ■ 7.
所以 sin C = AB
6. (2018天津高考)在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知bsin A
(1) 求角B 的大小； ■- ：3 1 即 sin B = -^cosB + ?sin B , 所以 tan B = 3.
因为B € (0, n )所以B =n
3
⑵在△ ABC 中，由余弦定理及 a = 2, c = 3, B =；, 得 b 2= a 2+ c 2— 2accosB = 7,故 b = . 7.
(2)由正弦定理知, AB BC
sin C sin A
因为AB v BC ,所以C 为锐角,
因止匕 sin 2C = 2sin
=acos
(2) 设 a = 2, c = 3,求 b 和 sin(2A — B)的值. 解：⑴在厶ABC 中， 又因为 bsin A = acos
所以 asin B = aco
所以sin 2A= 2sin AcosA=
2 1
cos 2A = 2cosA —1 = 7.
所以sin(2A—B) = sin 2AcosB—cos 2Asin B
7. (2013 •苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至
C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索
道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速
步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后,
再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/ min，山路AC长为1 260 m ,
12 3
经测量，cosA^ —, cosC=.
13 5
(1)求索道AB的长;
⑵问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范
围内？
12 3
解：(1)在厶ABC中，因为cosA=— , cosC = 5 所以
13 5
5 4
sin A = 13, sin C = 5.
5 3 12 4 63 从而sin B = sin[ n—(A + C)] = sin(A+ C) = sin AcosC + cosAsin C = —X + —X
= .
13 5 13 5 65
由正弦定理sAC =益，得AB =益X sin C= ^X 5= 1 040(m).
65
所以索道AB的长为1 040 m.
⑵假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100 + 50t)m，乙距
离A处130t m，所以由余弦定理得
d2= (100 + 50t)2+ (130t)2—2X 130t X (100 + 50t) X 鷲=200(37t2—70t+ 50),
13
因0W t w 1040即0w t w 8,故当t= 35(min)时，甲、乙两游客距离最短.
⑶由正弦定理黑=黑，得BC =盏X sin A =詈X簷500(m)-
65
乙从B出发时，甲已走了50X (2 + 8 + 1)= 550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得-3＜警-守三3,解得平许v＜啓所以
v 50 43
14 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在625 14
位：m/min ）范围内.
命题点三三角综合问题
1. (2018全国卷I )已知函数f(x)= 2sin x + sin 2x ，则f(x)的最小值是 解析：f ' (x)= 2cosx + 2cos 2c = 2cosx + 2(2co£x — 1)
=2(2cosx + cosx — 1) = 2(2cos x — 1)(cos x + 1). ■/ cosx + 1 >0, 1
•
••当 cosx V 2 时，f ' (x)v 0, f(x)单调递减；
1
当 cosx > 2时，f ' (x)> 0, f(x)单调递增. 1
•
••当cosx = 2时，f(x)有最小值.
又 f(x) = 2sin x + sin 2x = 2sin x(1 + cosx), •••当sin x=^ —3时，f(x)有最小值，
答案：—兮 2. （2016浙江高考）在厶ABC 中，内角 A ,
B ,
C 所对的边分别为
a ,
b ,
c ,已知b + c
=2acosB.
(1)证明：A = 2B ;
2
a
⑵若△ ABC 的面积S = 4，求角A 的大小.
解：(1)证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin AcosB , 故 2sin AcosB = sin B + sin(A + B) =sin B + sin Acos B + cosAsin B , 于是 sin B = sin(A — B).
又 A , B € (0, n,故 0< A — B V n, 所以 B = n — (A — B)或 B = A — B , 因此A = n 舍去）或A = 2B ,所以 A = 2B.
故有 sin Bsin C = ^sin A = ? sin 2B = sin BcosB. 因为 sin B M 0，所以 sin C = cosB. 又 B , C € (0, n,所以 C =n ^ B.
⑵由S =
2
1
qabsin C =
当 B +C =n 寸，A =n 当 c -B =n 寸，A =n 综上，A =扌或A =n
3. （2016 北京高考）在厶 ABC 中，a 2+ c 2= b 2+ 2ac. （1）求/ B 的大小； ⑵求.2cosA + cosC 的最大值. 解：（1）由余弦定理及题设得， a 2 + c 2- b 2 迄ac V2
cosB
= 2ac =盂=亍
(2)由(1)知/ A +/ C = 3
n
\； 2cosA + cosC = ； 2cos A + cos 严一 A
= 2cosA -~22cosA ^22
sin A
因为 0 v/ A v 3^,
4
所以当/ A = n 寸，2cosA + cosC 取得最大值1.
1
解析：■/ sin a= cos 2a = 1 — 2sin 2 a= 1 — 2X
3
又因为0v/ B v n
所以/B =n
4
2 2
〒cosA + ^sin A =。