浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题20

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题20
考试设计说明
本试卷设计是在认真研读《2019年考试说明》的基础上精心编制而成，以下从三方面加以说明。

一、在选题上：
（1）遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。

（2）试卷保持相对稳定，适度创新，逐步形成“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特色。

二、命题原则：
（1）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题．
（2）注重通性通法，强调考查数学思想方法．
（3）注重基础的同时强调以能力立意，突出对能力的全面考查．
（4）考查数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则．
（5）结合运动、开放、探究类试题考查探究精神和创新意识．
（6）体现多角度，多层次的考查，合理控制试卷难度。

2019年高考模拟试卷数学卷
本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：
球的表面积公式：24πS R =，其中R 表示球的半径； 球的体积公式：34
π3
V R =，其中R 表示球的半径；
棱柱体积公式：V Sh =，其中S 为棱柱的底面面积，h 为棱柱的高； 棱锥体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 为棱柱的底面面积，h 为棱柱的高；
台体的体积公式：()
121
3
V h S S = 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.(原创) 设集合}11{ 2,{ 22x
A x N x
B x ⎛⎫⎫
=∈≤=≤⎬ ⎪⎝⎭⎭
，则A∩B =（ ）
A. }{ 1x x ≥
B. }{0 ,1
C. }{1 ,2
D. }{ 1x x ≤ 2.(改编)已知R b a ∈,“0>>b a ”是“11->-b a ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3.(摘录)设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四
象限
4.(改编) 若直线l 不平行于平面
a ，且a l ⊄则
（ ）
A.a 内所有直线与l 异面
B.a 内只存在有限条直线与l 共面
C.a 内存在唯一的直线与l 平行
D.a 内存在无数条直线与l 相交
5．(改编) 已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()f x （ ） A ．有极小值，但无极大值 B ．既有极小值，也有极大值 C ．有极大值，但无极小值 D ．既无极小值，也无极大值
6. （改编）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2
()97a f x x x
=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）.
A ．0a ≤
B ．85a ≥
3 C ．8875a a ≤-≥或 D ．87
a ≤- 7．（改编2017高考）已知随机变量i ξ（i=1,2）的分布列如下表所示：
若0<p 1<
1
2<p 2<23
，则（ ） A ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ
D ．1()
E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ
8.（改编）．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且02
π
θ<<，已知对任意实数()1,1t ∈-，b ta +无最小值，
则以下说法正确的是（ ）
A ．若θ和b 确定，则a 唯一确定
B ．若θ和b 确定，则a 由最大值
C ．若θ确定，则
a b
≥ D ．若θ不确定，则
a
和
b
的大小关系不确定
9.（改编）已知函数()2
22,0,
e e ,0,
x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪
⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ）（）（+∞
⋃,e 1,02
B.）（+∞,e
C.）（）（+∞⋃,e 1,0
D.）
（1,0 10.如图1，在平面四边形ABCD 中，1AB =，
BC =，AC CD ⊥，CD =，当ABC ∠变化时，当对角线BD 取最大值时，如图2，将ABC ∆沿AC 折起，在将ABC ∆开始折起到与平面ACD 重合的过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是 （ ）
A
B C
D
图1 图2
A ．]6426
,
0[+
B ． ]1,6
426[
+ C ．]1,6
426[
- D ．]6
426,
0[-
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上． 11．(原创) 若正项等比数列{}n a 满足243a a +=，351a a =，则公比
q = ，n a = ．
12．(原创) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 表面积是 ．
13．（摘录）已知实数x ，y 满足条件1,
4,20,-≥-⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
x y x y x y 若存在实数a 使得函
数
)0(<+=a y ax z 取到最大值)(a z 的解有无数个，则=a ，)(a z = ．
14．（原创）多项式51
(2)(2)x
x ++的展开式中，含2x 的系数是 ．常数项是 ．
15．(原创) 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是 ．
16.（改编）倾斜角为的直线l 经过双曲线的左焦点，交双曲线于A 、B 两点，线段
AB 的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为 ．
17.（摘录）设x ∈R ，(){}{}22max ,22min 1,33f x x x x x x =++++-，则函数()f x 在R 上的最小值
为 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（原创）（本题满分14分）
1. 已知，为钝角且
，．
求的值；
求
的值．
19．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，
2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠=o
，
120ADP ∠=o ，点E 为PA 的中点．
（1）求证：//BE 平面PCD ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线BE 与平面PAC 所成角
的正弦值．
20．（本小题满分15分） （摘录）已知数列满足
，
．
（1）证明
是等比数列，并求
的通项公式；
（2）证明：
．
21．（本小题满分15分） （改编）. 已知椭圆的方程为，离心率，且短轴长为4．
求椭圆的方程； 已知
，
，若直线l 与圆相切，且交椭圆E 于C 、D 两点，记的面积为，记
的面积为，求
的最大值
22.（本题满分15分）已知函数()(),,,R.x f x e g x ax b a b ==+∈
(1) 若存在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使得不等式f (x )>x 2
＋m 成立，求实数m 的取值范围；
(2) 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在()0,+∞上总有零点，求实数b 的取值范围.
P
E
C
D
A
2019年高考模拟试卷数学卷参考答案与解题提示
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1．C 【命题意图】 本题考查集合的运算，∵{}{}0,1,2,|1A B x x ==≥，∴{}1,2A B ⋂=.故选C. 点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解不等式.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.属于容易题．
2．D 【命题意图】 本题考查绝对值的概念，属于容易题． 3．D 【命题立意】本题主要考查复数的定义，属于容易题．
4.D 【命题意图】本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于容易题 命题意图空间中直线与平面的位置关系
5．A ．【命题意图】本题考查函数导数性质等基础知识，意在考查学生的学生读图能力，观察分析，解决问题的能力． 6．D 8
7
a ≤-
【命题意图】函数奇偶性，不等式恒成立 试题分析：因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时，()0f x =；当0x >时，
22()()[97]97a a f x f x x x x x =--=--++=+--，因此01a ≥+且2
971a x a x
+-≥+对一切0x >成立所
以1a ≤-且8716717
a a a a ≥+⇒--≥+⇒≤-，即8
7a ≤-.
7．A 【命题意图】 本题考查两点分布数学期望与方差属于中档题
【解题思路】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确． 8．B 9. A
10. D
点睛：本题主要考查二面角的平面角和直线与平面所成的角，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.属于难题
二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共36分．
11
，222n
-
试题分析：因为2
3541a a a ==，40a >，所以41a =，因为243a a +=，所以22a =，因为2421
2
a q a =
=，0q >，
所以2
q =
，所以2
22
2
222
n n
n n a a q
--
-==⨯=⎝⎭
，所以答案应填：2
，222n
-．
【命题立意】本题考查：1、等比数列的性质；2、等比数列的通项公式．基本量运算，属于容易题． 12．5，
试题分析：
试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分，如图．根据三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，3，所以几何体的体积5163112
1
312312=-=⨯⨯⨯⨯⨯
-⨯⨯=V
，表面积111
2323212312=14222
S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯．
【命题意图】本题考查三视图及棱柱、棱锥的体积公式．属于容易题 13．1-；1
【命题意图】本题考查：线性规划的基本问题；属于容易题． 14. 200 144
【命题意图】 本题考查二项式展开式的计算．属于容易题． 15．7
4
【命题立意】本题考查：1、古典概型；2、概率的计算公式；
试题分析： 先由组合数公式计算从8个小球中取出3个的取法3
8C ，要满足条件，可以有分步原理3个球是
同一个颜色342C ，也可以是不同的颜色1221
4342,C C C C ,则取出的编号互不相同的概率是324567
P =
= 16．由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定义，求得
，结合勾
股定理，可得a ，c 的关系，进而得到a ，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程。

【详解】解：如图为线段AB 的垂直平分线，
可得，且
，
可得
，
， 由双曲线的定义可得，
，
即有，
即有
，
，
，
由，可得，
可得
，即
，
，则渐近线方程为
．
【命题立意】本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直
平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题。

17．1 【命题立意】本题考查函数最值的求法，考查运算能力，属于难题。

三、解答题：本大题共5小题，共74分． 18．【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得
的值．
利用二倍角公式求得
、
的值，再利用两角和的余弦公式求得
的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的余弦公式的应用，属于中档题． 【答案】解：
，为钝角，
，
． -------------6分
，为钝角，且
，
． -------------8分
，
，
，
，
，
． -------------11分
．-----------14分
19解法一：（Ⅰ）取PD 中点F ，连结,CF EF ． 因为点E 为PA 的中点，所以//EF AD 且1
=2
EF AD ， 又因为//BC AD 且1
=
2
BC AD ，所以//EF BC 且=EF BC ， 所以四边形BCFE 为平行四边形， 所以//BE CF ，
又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD ．---------6分 （Ⅱ）在平面ABCD 中，过D 作DG AD ⊥，在平面PAD 中，过D 作DH AD ⊥．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，所以DG ⊥平面PAD ，
所以DG DH ⊥，所以,,DA DG DH 两两互相垂直.---------8分
以D 为原点，向量DA ，DG ，DH 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz - （如图），则()4,0,0A
，B
，C
，(P -
，(E ， 所
以(3,0)AC =-
，(AP =-
，
(EB =，
设(),,x y z =n 是平面ACP 的一个法向量，
则0,0,AC AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即30,60,
x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =
，得=n ．---------12分 设直线BE 与平面PAC 所成角为θ．
则sin cos ,EB θ==
=
n ，所以直线
BE 与平面PAC ．-----15
分
20．（本小题满分15分）
【详解】（I）由得。

又，所以是首项为，公比为的等比数列
，因此的通项公式为. -----------7分
（Ⅱ）由（I）知-----------10分
于是
-----------13分
. -----------15分
21．（本小题满分15分）
【详解】解：设椭圆的焦距为，椭圆的短轴长为，则，
由题意可得，解得，-----------3分
因此，椭圆的方程为； -----------6分
由题意知，直线l的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l的方程为，设点、，由于直线l与圆，则有，所以，．---------------8分
点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，--------10分
将直线l的方程与椭圆E的方程联立，消去y并整理得．
由韦达定理可得，．---------------10分
由弦长公式可得
．---------------12分 所以，，
．---------------14分 当且仅当时，即当时，等号成立．---------------15分 因此，的最大值为12． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及直线与圆的位置关系，同时也考查了韦达定理法在椭圆综合题中的应用，属于中等题。

22．.解析：(1) 由题意得m<e x －x 2，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e e x ,1
成立， ……2分 令m(x)＝e x －x 2，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e e x ,1
，则m′(x)＝e x －2x ，再令n(x)＝m′(x)＝e x －2x ， 则n′(x)＝e x －2，故当⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2ln ,1
e x 时，n ′(x)<0，n(x)单调递减； 当()e x ,2ln ∈时，n ′(x)>0，n(x)单调递增， …………5分
从而n(x)在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈e e x ,1
上有最小值n(ln 2)＝2－2ln 2>0， 所以m(x)在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛e e ,1上单调递增， …………6分 所以)(e m m <，即e e m <-e 2 …………8分
(2) 若a<0，F(x)＝f(x)－g(x)＝e x
－ax －b 在(0，＋∞)上单调递增，
故F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1，…10分
以下证明当b>1时，F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点．
①若a<0，
由于F(0)＝1－b<0，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b a ＝e －b a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a －b ＝e －b a >0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，
故F(x)在⎝
⎛⎭⎪⎫0，－b a 上必有零点；…………………………………………………12分 ②若a≥0，F(0)＝1－b<0，
由(2)知e x >x 2＋1>x 2在x∈(0，＋∞)上恒成立，
取x 0＝a ＋b ，则F(x 0)＝F(a ＋b)＝e a ＋b －a(a ＋b)－b>(a ＋b)2－a 2
－ab －b ＝ab ＋b(b －1)>0， 由于F(0)＝1－b<0，F(a ＋b)>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，
故F(x)在(0，a ＋b)上必有零点，
综上得，实数b 的取值范围是(1，＋∞)． ………………15分。