陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年
高二下学期期中考试（理）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.集合{}1,0,1,3A =-，集合{}
2
20,B x x x x N =--≤∈，全集
{}
14,U x x x Z =-≤∈，则=B C A U ( )
A.{}3
B.{}3,1-
C.{}3,0,1-
D.{}3,1,1- 2.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )
A.
163π B.203π
C.403π
D.5π
3.下列命题中正确的个数是( )
①命题“任意(0,),21x
x ∈+∞>”的否定是“任意(0,),21x
x ∉+∞≤； ②命题“若cos cos x y =，则y x =”的逆否命题是真命题： ③若命题p 为真，命题q ⌝为真，则命题p 且q 为真. ④命题”若3=x ，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则
2230x x --≠”；
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.如图，当
5.8,9,621===p x x 时，=3x ( ) A.7 B.8 C.10 D.11
5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生 的体重情况，将所得的数据整理后，画出了
频率分布直方图（如图），已知图中从左到 右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第 1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是( )
A.36
B.40
C.48
D.50
6.已知1
17
17a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 7.给出命题：若,a b 是正常数，且a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则
222()a b a b x y x y ++≥
+(当且仅当a b
x y
=时等号成立)．根据上面命题，可 以得到函数29
()12f x x x
=+
-（1(0,)2x ∈）的最小值及取最小值时的x 值分别为( )
A.11+13
2
B.11+15
C.25，
13
2
D.25，15
8.设等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，则{}n S 是递减数列的充要条件是( ) A.100d a <<且 B.100d a ><且 C.200d a <<且 D.200d a ><且
9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有( )
A.36种
B.30种
C.24种
D.6种
10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲
线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为( )
A B C.
D ．2
11. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，[0,1]x ∈
()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59
[,]22
-上的所有零点
的和为( )
A ．6
B ．7
C ．13
D ．14
12.已知函数32
1()232
x f x ax bx c =
+++的两个极值点分别为21,x x .若 )2,1(),1,2(21∈-∈x x ，则b a -2的取值范围是( )
A.()-7,3
B.()-5,2
C.()2+∞，
D.()-3∞， 二．填空题（本题共4小题,每题5分,共20分） 13.设曲线1
1
x y x +=
-在点(3
2)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =_______. 14.设α是第二象限角，()4,x P 为其终边上的一点，且5
cos x =
α，则=α2tan ___________. 15.若直线2+=kx y 与圆0422
2
=+-+my y x 恒有公共点，则m 的取值范围是_______. 16．已知函数31
()2e e
x x f x x x =-+-
，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤） 17.（本小题满分10分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量
()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
（1）求角A ； （2）若a =2b =求C ∆AB 的面积．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，
90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，
2PA PD AD ===，1BC =，CD =．
（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，试确定 t 的值．
19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润 500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率 分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x(单
位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内
经销该农产品的利润.
（1）将T 表示为x 的函数；
（2）根据直方图估计利润T ，不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，
需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x [
)100,110∈）则 取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[
)100,110的频率），求T 的数学期望.
20.（本小题满分12分）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n
2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．
（1）求椭圆C 的方程； （2）求证：
2
22||2
||1||1OM OB OA ++为定值．
22. （本小题满分12分） 设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．
（1若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；
（2）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．
参考答案
一、选择题：
1-12、BABBC ADCBD AA
二、填空题： 13、-2； 14、24/7； 15、（2,+∞） 16、1-12⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
， 三、解答题：
17、解：（Ⅰ）因为//m n ，所以sin 3cos 0a B b A ，
由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0
又sin 0B ≠，从而tan 3A
，由于0A π<<，所以3
A π
=
（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A
而7b
2,a 3
π
A =
得27
42c c ，即2230c c 因为0c ，所以3c ．
故C ∆AB 的面积为1
33
bcsinA 22
． 18、
19、
20、(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n
， 得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n
2n －1＋1＝b n ＋1.
∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.
∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －
1.
∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －
1， 两边同时乘以2得：
2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －
1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.
21．（1）将)1,1(与
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 解得32=a ，2
3
2=
b ．…………（5分） 所以椭圆C 的方程为13
232
2=+y x ．…………（5分） （2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上， 由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．
①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时
211
2211||2||1||122
222222=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ． 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时
211
2211||2||1||122222222=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=++b a b a a OM OB OA ． ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x k
y 1
-
=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+
=1323
22y x kx y ，解得2
2
1213k x +=， 22
21213k k y +=， 所以2
221
2
1
2
2
21)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得222
2)1(3||k k OM ++=，
2)
1(3)
2(2)1(321)1(321||2||1||12
22222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA 所以2
22||2
||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（12分）
22.。