2020-2021高中必修一数学上期末第一次模拟试题(附答案)

2020-2021高中必修一数学上期末第一次模拟试题(附答案)
一、选择题
1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）
A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1,2
2．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫
-= ⎪+⎝⎭
的图象大致为()n n A ．
B ．
C ．
D ．
3．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
4．已知函数()2log 14
x f x x ⎧+=⎨+⎩ 0
0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}
D ．{1,4,16,64}
6．若函数y x a a -a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 48
5＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知01a <<，则方程log x
a a x =根的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．1个或2个或3根
8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线
nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有
4
a
升，则m 的值为（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
9．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]
1,0x ∈-时，()cos 12
x
f x π=-，若函数
()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()3,5
B ．
()2,4
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭
10．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]
0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3
B ．()1,1-
C ．()()1,01,3-U
D ．()()1,00,1-U
11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()1
52
x -三个值中的最小值，则()f x （ ）
A ．无最大值，无最小值
B ．有最大值2，最小值1
C ．有最大值1，无最小值
D ．有最大值2，无最小值
二、填空题
13．通过研究函数()42
21021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数
()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个
14．函数2
2log (56)y x x =--单调递减区间是 ．
15．已知函数
12
()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的1
1[,2]4
x ∈，总存在
2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．
16．
函数{}
()min 2f x x =-，其中{},min ,{
,a a b
a b b a b
≤=>，若动直线y m =与函数
()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.
17．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________
18．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)
x x <>则1111
()()66f f -+为_____
19．若函数()22x
x
e a x e
f x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.
20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.
三、解答题
21．已知函数22
()21
x x
a f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;
(2)求解不等式()4f x ≥;
(3)当(1,3]x ∈时，()2
(1)0f tx
f x +->恒成立，求实数t 的取值范围.
22．已知函数()()
sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2
π
ϕ<)，在同一个周期内，
当6
x π
=
时，()f x 取得最大值
2
，当23x π=时，()f x 取得最小值2-
. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.
(2)将函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，再向下平移
2
个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.
23．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足
()8f x =+1
()124
g x x =
+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）
（Ⅰ）求(8)F 的值.
（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.
24．计算或化简：
（1）1
12
3
20412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2）6log 332log log 2log 36⋅--
25．已知全集U=R ，集合{}
12A x x x =-或 ，{}
213U B x x p x p 或=-+ð． （1）若1
2
p =
，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．
26．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示：
（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；
（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；
（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由已知得{}|21B x x =-<<，
因为21,01,2A =--｛，，｝，
所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．
2．C
解析：C 【解析】
函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，
1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。

3．B
解析：B
【解析】 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1
个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛
⎤∴∈-∞ ⎥⎝
⎦，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y f
f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设
()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，
进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y f
f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，
设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，21
4
t =
，34t =，
则()1f x =- 有一个解，()1
4
f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3f
f x =有5个解.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
方程()()2
0mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】
设关于()f x 的方程()()2
0mf
x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.
而()2f x ax bx c =++的图象关于2b
x a
=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中416164
22
++≠.故选D .
【点睛】
对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得
到方程组()()0
f t
g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征
取决于两个函数的图像特征.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，
y ＝x a a -在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)＝1a -＝1，f (1)＝0， 所以a ＝2，
所log a
56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
在同一平面直角坐标系中作出()x
f x a =与()lo
g a g x x =的图象，图象的交点数目即为
方程log x
a a x =根的个数. 【详解】
作出()x
f x a =，()lo
g a g x x =图象如下图：
由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log x
a a x =根的个数为2.
故选：B . 【点睛】
本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.
(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；
(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围
等问题.
8．D
解析：D 【解析】
由题设可得方程组()552{4n m n ae a
a ae +==
，由55122n n
ae a e =⇒=，代入
(5)1
14
2
m n mn ae a e +=
⇒=，联立两个等式可得512{12
mn n e e =
=
，由此解得5m =，应选答案D 。

9．D
解析：D 【解析】
试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数
()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只
有3个交点.由数形结合分析可知，01
11
{log 31,53
log 51
a a a a <<>-⇒
<<<-，故D 正确. 考点：函数零点
【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
10．C
解析：C 【解析】
若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函
数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），
即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
，（），， ，作出函数f x （）在[1
3]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xf
x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）
故选C.
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
11．B
解析：B 【解析】
因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2
(22)2a a -+-=7.
选B.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】
画出()f x 的图像，如图（实线部分），由
()11
52y x y x =+⎧⎪
⎨=-⎪⎩
得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D
【点睛】
本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．
二、填空题
13．3【解析】【分析】令（为奇数）作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示：由图象可知与
的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的
解析：3 【解析】 【分析】
令()2n s x x =（n 为奇数，3n >），()2
1021h x x x =-++，作出()s x 、()h x 两个函数的
图象后可判断()g x 零点的个数. 【详解】
由题意，令()*2,,5n s x x n N n =∈≥，()2
1021h x x x =-++，则()()()g x s x h x =-，
()g x 零点的个数就是()(),s x h x 图象交点的个数，
如图所示：
由图象可知，()s x 与()h x 的图象在第一象限有一个交点，在第三象限有一个交点， 因为当n 为正奇数时()2n
s x x =的变化速度远大于()h x 的变化速度，故在第三象限内，
()s x 、()h x 的图象还有一个交点，故()(),s x h x 图象交点的个数为3，
所以()g x 零点的个数为3. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.
14．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-
【解析】 【分析】
先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】
由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数2
2log (56)y x x =--的定义域为
(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，
在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数
22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.
【点睛】
复合函数法：复合函数[]
()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与
()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则
[]()y f g x =必为减函数．
15．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本 解析：[0,1]
【解析】
分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，
当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，
所以11
23a a -+≥-⎧⎨
+≤⎩
，解得01a ≤≤，故填：[]0,1.
点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意
1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考
查转化与化归的能力.
16．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝
解析：02m <<
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b
≤=>可知{}
()min 2f x x =-是求两个函数中较小的
一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由2x ≥-可得x 2﹣
8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+
当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2| 当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x ∵f （4﹣23）＝232-
其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点 故答案为0232m -＜＜
考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.
点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.
17．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系
解析：6 【解析】 【分析】
根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解. 【详解】
由题：函数()()g x f x x =-是偶函数， (2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，
解得：(2)6f =. 故答案为：6 【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数
18．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题
解析：0 【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式，代入求值即可求解. 【详解】
因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩
(0)
(0)x x <>
则11111
()sin()sin 6662
f ππ-
=-==, 11511()()()sin()66662
f f f π==-=-=-, 所以1111
()()066
f f -+=.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.
19．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合
解析：2 【解析】 【分析】
利用复合函数单调性得()f x 的单调性，得最小值，由最小值为0可求出a ． 【详解】
由题意()22
122x
x
x x e e
x a e x a e
f x -=++-=+
+-是偶函数， 由勾形函数的性质知0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x ≤时，()f x 递减． ∴min ()(0)f x f =，
因为()f x 只有一个零点，所以(0)20f a =-=，2a =． 故答案为：2. 【点睛】
本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．
20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题
【解析】 【分析】
由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】
cos x πππ-≤≤Q ,
()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，
当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有
3,22
ππ
， cos 1x =-的解有π，
cos 1x =的解有0,2π,
故共有30,
,,
,22
2
π
π
ππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.
三、解答题
21．(1)2a =;(2)}{
20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫
∈-∞-
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
(1)由奇函数的性质得出a 的值；
(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32
021x
x -≥-，解不等式即可得出答案；
(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()
2
(1)0f tx f x +->化为
21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.
【详解】
(1)根据题意，函数222222
()()211212x x x x x x
a a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=---
∴2a =.
(2)222()421x x
f x ⋅+=≥-，即21
221
x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()
32210210
x x
x ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.
(3)22222244
()2212121
x x x x x
f x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数
2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-
即21tx x <-，2
211111
24
t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭
又(1,3]x ∈，
11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <- 综上1,4t ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.
22．(1)(
)26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；
(2)2a ∈⎣
【解析】 【分析】
（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式； （2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,
]2
π
上的单调性，而()g x a =有两个
解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得． 【详解】
(1)
由题意知,2
2A B A B ⎧+=
⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩
解得A =
，2
B =
. 又
22362
T πππ=-=，可得2ω=.
由63f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 解得6
π
=
ϕ.
所以()262f x x π⎛
⎫=++
⎪⎝⎭
， 由2222
62
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，
解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k ∈Z .
又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾
犏犏臌
.
(2)函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，再向下平移
2
个单位长度，得到函数()
g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,
]12π是递增，在[,]122
ππ
上递减，
要使得()g x a =在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有2个不同的实数解， 即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，
所以a ∈⎣. 【点睛】
本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．
23．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】
（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.
（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】
（Ⅰ）由题意知11
()8(20)122544
F a a a =+-+=-+，
所以1
(8)825394
F =-
⨯+=（万元）.
（Ⅱ）依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨
-⎩…
剟…
.
故1
()25(218)4
F a a a =-+剟
.
令t =
t ∈
，22
11()25(5744
G t t t =-++=--+，
显然在上()G t 单调递增，
所以当t =18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.
所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】
本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.
24．（1）99；（2）3-. 【解析】 【分析】
（1）直接根据指数与对数的性质运算即可； （2）直接利用对数运算性质即可得出. 【详解】
（1）原式211
23
3
2
5249131log 216104-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
735
1001442
=
++-- 99=.
（2
）原式3
23
log 313=---
31422
=
-- 3=-.
【点睛】
本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 25．（1）722⎛
⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342
p p -或． 【解析】 【分析】
由题意可得{}
213B x p x p =-≤≤+,
（1）当1
2
p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.
【详解】
因为{}
213U B x x p x p =-+，或ð， 所以(
){}213U
U
B B x p x p ==-≤≤+痧,
（1）当12p =
时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤
⋂ ⎥⎝⎦
，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.
当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；
当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213
212p p p -≤+⎧⎨
->⎩
解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或4
3
2p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩
； 即4p <-或3
42p <≤. 综上，实数p 的取值范围3
42
p p -或． 【点睛】
本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
26．（Ⅰ）1
2,0205
18,203010
t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最
大，最大值为125万元． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式； （Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；
（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得． 【详解】
（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得112
15b k =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
所以1
2,0205
18,203010
t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．
（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1
40k b =-⎧⎨=⎩
，
所以40Q t =-+．
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1
(2)(40),0205
1(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩
即2
21680,0205
112320,203010
t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，
当020t <≤时，22
11
680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，
当20t 30<≤时，2211
12320(60)401010
y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数， 所以21
(2060)4012010
y <
⨯--=． 综上，第15天交易额最大，最大值为125万元． 【点睛】
本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．。