2019届北师大版(文科数学) 向量数乘运算及其几何意义 单元测试

2019届北师大版（文科数学） 向量数乘运算及其几何意义 单元
测试
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．
第Ⅰ卷 基础检测
一、选择题
1．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →
＝( A ) A ．λ(AB →＋BC →
) λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →
) λ∈(0，22)
C ．λ(AB →－BC →
) λ∈(0,1)
D ．λ(AB →－BC →
) λ∈(0，22
)
[解析] 设P 是对角线AC 上的一点(不含A 、C )，过P 分别作BC 、AB 的平分线，设AP →
＝λAC →，则λ∈(0,1)，于是AP →＝λ(AB →＋BC →
)，λ∈(0,1)．
2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ等于( A )
A ．23
B ．1
3
C ．－13
D ．－23
[解析] (方法一)：由AD →＝2DB →
，
可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，
所以λ＝2
3
.故选A ．
(方法二)：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →
，所以λ＝23，故选
A ．
3．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →
，其中λ∈R ，则点P 一定在( B ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上
D ．BC 边所在的直线上 [解析] ∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →
． ∴CP →＝λP A →．
∴P 、A 、C 三点共线．
∴点P 一定在AC 边所在的直线上．
4．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →
等于( C ) A ．1
2a ＋b
B ．a ＋1
2b
C ．1
2
(a ＋b )
D ．a ＋b
[解析] DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →
， 所以OB →＝1
2
(a ＋b )，故选C ．
5．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A )
A ．A 、
B 、D B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、D
D ．A 、C 、D [解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB →
，所以，A 、B 、D 三点共线．
6．如图所示，向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →.设OA →
＝p ，OB →＝q ，OC →
＝r ，则以下等式中成立的是( A )
A ．r ＝－12p ＋3
2q
B ．r ＝－p ＋2q
C ．r ＝32p －1
2
q
D ．r ＝－q ＋2p
[解析] ∵OC →＝OB →＋BC →，AC →＝－3CB →＝3BC →
， ∴BC →＝13
AC →．
∴OC →＝OB →＋13AC →＝OB →＋13(OC →－OA →)．
∴r ＝q ＋1
3(r －p )．
∴r ＝－12p ＋3
2q ．
二、填空题
7．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝ 12 ；
y ＝ －1
6
．
[解析] 由题中条件得MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →
)＝12AB →－16AC →＝
xAB →＋yAC →
，所以x ＝12，y ＝－16
．
8．(2016·潍坊高一检测)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝1
2AB ，BE ＝
23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 12
．
[解析] 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →
＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →
， ∴λ1＝－16，λ2＝23，
从而λ1＋λ2＝1
2．
三、解答题
9．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC 、BD 交于点O ，用a 、b 表示OA →，BO →
． [解析] OA →＝12CA →＝12(CB →＋BA →)＝1
2
(－a －b )．
BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝1
2
(b －a )．
10．已知向量e 1、e 2是两个共线向量，若a ＝e 1－e 2，b ＝2e 1＋2e 2，求证：a ∥b ． [证明] 若e 1＝e 2＝0，则a ＝b ＝0， 所以a 与b 共线，即a ∥b ；
若e 1、e 2中至少有一个不为零向量，不妨设e 1≠0，则e 2＝λe 1(λ∈R )，且a ＝(1－λ)e 1， b ＝2(1＋λ)e 1，所以a ∥e 1，b ∥e 1． 因为e 1≠0，所以a ∥b ． 综上可知，a ∥b ．
第Ⅱ卷 能力测试
一、选择题
1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C )
A ．a 与－λa 的方向相反
B ．|－λa |≥|a |
C ．a 与λ2a 的方向相同
D ．|－λa |＝|λ|a
[解析] A 错误，因为λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的；B 错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D 错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C 正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．故选C ．
2．设e 1、e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2，与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线，当且仅当λ的值为( D )
A ．0
B ．－1
C ．－2
D ．－12
[解析] ∵向量a 与b 共线，∴存在唯一实数u ，使b ＝u a 成立．即e 1＋λe 2＝u (2e 1－e 2)
＝2u e 1－u e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＝2u ，λ＝－u .
解得λ＝－1
2．
3．在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝( D )
A ．14a ＋12b
B ．13a ＋23b
C ．12a ＋14
b
D ．23a ＋13
b
[解析] AF →＝AC →＋CF →
＝a ＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12BD →－12AC →)＝a ＋13(b －a )＝a
＋13(b －a )＝23a ＋1
3
b ． 4．在△ABC 中，点D 在BC 边所在直线上．若CD →＝4BD →＝sAB →－rAC →，则s ＋r 等于( C ) A ．0 B ．43
C ．83
D ．3
[解析] 由题意可得，CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC →＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →
)
－AC →
＝43AB →－43AC →， ∴s ＋r ＝83
．
二、填空题
5．若2(x －13a )－12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝ 4
21a
－17b ＋1
7
c ． [解析] ∵2x －23a －12b －12c ＋3
2x ＋b ＝0，
∴72x ＝23a －12b ＋12c .∴x ＝421a －17b ＋17
c ． 6．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝ 1
4
(b －a ) .(用a 、b 表示)．
[解析] MN →＝MB →＋BA →＋AN →
＝－12BC →＋BA →＋34
AC →
＝－12AD →－AB →＋34(AB →＋AD →)＝－12b －a ＋3
4(a ＋b )
＝14b －14a ＝1
4(b －a )． 三、解答题
7．如图，已知E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．
[证明] 在△BCD 中，
∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点， ∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →．
∴GF →＝CF →－CG →＝12CB →－12CD →
＝12DB →
． 同理HE →＝12
DB →．
∴GF →＝HE →，即GF →与HE →
共线．
又∵G 、F 、H 、E 四点不在同一条直线上， ∴GF ∥HE ，且GF ＝HE ． ∴四边形EFGH 是平行四边形．
8．设两个不共线的向量e 1、e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ、μ，使
向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？
[解析] ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k 使d ＝k ·c ，
即：(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2
＝2k e 2－9k e 2.由⎩
⎪⎨⎪⎧
2λ＋2μ＝2k ，
－3λ＋3μ＝－9k ，
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ， 只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．
能力拔高
过△OAB 的重心G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝h ·OA →，OQ →＝kOB →
，则1h ＋1
k
＝__3__． [解析] 延长OG 交边AB 于点M ，则M 为AB 边的中点， ∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(1h OP →＋1k OQ →
)＝12h OP →＋12k OQ →，
又OM →＝32OG →
，
∴OG →＝13h OP →＋13K OQ →．
∵P 、Q 、G 三点共线， 且OP →，OQ →
是不共线的向量， ∴13h ＋1
3k ＝1， 即1h ＋1
k
＝3．。