高考数学一轮复习第6章不等式3基本不等式课件理

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角度 3 寻求定值应用
典例
求 f(x)＝4x－2＋4x－1 5x<54的最大值．
配凑成积定的式子． 解 因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5
＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当 5－4x＝ 5－14x，即 x＝1 时，等号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最 大值为 1.
第6章 不等式
6．3 基本(jīběn)不等式
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基础知识过关(guò〃guān)
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[知识梳理] 1．基本不等式
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a＋b
设 a>0，b>0，则 a、b 的算术平均数为 2 ，几何
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∴y－9＋y－9 9＋10≥2 y－9·y－9 9＋10＝16. 当且仅当 y－9＝y－9 9，即 y＝12 时取等号． 又1x＋9y＝1，则 x＝4. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
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方法技巧 利用基本不等式求最值的方法
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(2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为
15 ___1_5____m，宽为___2_____m 时菜园面积最大．
解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30， 所以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝2225，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝125时取等号．
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1 (2)已知 x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则 xy 的最大值为___8____．
解析 ∵2xy≤2x＋ 2 y2＝14， ∴ xy≤ 18 当且仅当2x＝y，即x＝14，y＝12时取“＝”号 . ∴xy 的最大值为18.
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3．小题热身 (1)下列不等式一定成立的是( ) A．lg x2＋14>lg x(x>0) B．sinx＋si1nx≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.x2＋1 1>1(x∈R)
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解析 取 x＝12，则 lg x2＋14＝lg x，故排除 A；取 x ＝32π，则 sinx＝－1，故排除 B；取 x＝0，则x2＋1 1＝1，故 排除 D.应选 C.
1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但 应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直 接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的 条件．
3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式 的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替 换，构造不等式求解．见角度 4 典例．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
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解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
1 ba－b
≥a2
＋
1 b＋a－b2
＝
a2
＋
4 a2
≥2
2
a2·a42 ＝
4，当且仅当 b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即 a＝
2，b＝
2 2
时取等号．
∴a2＋ba1－b的最小值是 4.
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角度 2 变号应用 典例 求 f(x)＝lg x＋lg1x的值域．
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冲关针对训练
1．已知 a＞0＞b＞－1，且 a＋b＝1，则a2＋a 2＋b＋b21的
最小值为( )
31
31
A.24
B.12
3＋ 2 C. 2
3＋2 2 D. 2
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解析
a2＋2 a
＋
b2 b＋1
＝
a
＋
2 a
＋
b＋12－2b＋1＋1 b＋1
左边因式分别使用基本不等式．
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证明 因为 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1， 所以
1x－1＝1－x x＝y＋x z>2 xyz，① 1y－1＝1－y y＝x＋y z>2 yxz，② 1z－1＝1－z z＝x＋z y>2 zxy，③ 又 x，y，z 为正数，由①×②×③，得1x－11y－1·1z－1 >8.
当 0＜a＜b 时，0＜ ab＜a＋2 b＜ a2＋2 b2，∴Q＝f( ab) ＞P＝fa＋2 b＞R＝f a2＋2 b2.故选 D.
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角度 2 利用基本不等式证明不等式 典例 已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z ＝1，求证：1x－11y－11z－1>8.
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设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝m－2＋4m5，
y1y2＝m－2＋15，
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3．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)ba＋ab≥2(a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)．
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(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)， 2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)． (5)a2＋2 b2≥a＋4b2≥ab(a，b∈R)． (6) a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1＋2 1(a>0，b>0)．
经典(jīngdiǎn)题型冲关
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题型 1 利用基本不等式求最值
角度 1 直接应用
典例
(2018·沈阳模拟)已知 a＞b＞0，求 a2＋ba1－b
的最小值．
直接应用基本不等式．
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解 ∵a＞b＞0，∴a－b＞0.
∴
a2
＋
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角度 3 基本不等式中的恒成立问题 典例 (2018·太原模拟)正数 a，b 满足1a＋9b＝1，若不 等式 a＋b≥－x2＋4x＋18－m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
＝
a
＋2a＋b＋1－2＋b＋1 1，又 a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以
a＋2a＋b＋1－2＋b＋1 1＝2a＋b＋1 1＝2a＋b＋1 1·a2＋b＋2 1＝32
＋b＋a 1＋2ba＋1≥32＋2 b＋a 1·2ba＋1＝3＋22 2，当且仅
当b＋a 1＝2ba＋1，即 a＝4－2 2，b＝2 2－3 时取等号，
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角度 4 基本不等式与其他知识的综合问题
典例 已知直线 l：x＝my＋2(m∈R)与 x 轴的交点是 椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C 的左焦点 为 F1，是否存在 m 使得△ABF1 的面积最大？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由．
所以1a＋1b＝1.
所以 a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2 当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C.
ab·ba＝4，
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[条件探究] 将典例条件变为“x＞0，y＞0 且1x＋9y＝ 1”，求 x＋y 的最小值．
解 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9 且 x＝y－y 9. ∴x＋y＝y－y 9＋y＝y＋y－y－9＋9 9 ＝y＋y－9 9＋1＝(y－9)＋y－9 9＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0.
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角度 4 常量代换法求最值(多维探究)
典例
(2015·福建高考)若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)
过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
注意巧用 1 的代换．
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解析 因为直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，
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2．教材衍化
(1)(必修 A5P99 例 1(2))设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
解析 由基本不等式 18＝x＋y≥2 xy⇔9≥ xy⇔
xy≤81，当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 81，故选 C.
典例 已知函数 f(x)＝ln (x＋1)－x，若 0＜a＜b，P
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
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解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
所以a2＋a 2＋b＋b21的最小值为3＋22 2，故选 D. 12/8/2021
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2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
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用转化法．
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解析
a
＋
b
＝
(a
＋
b)
1a＋9b
＝
10
＋
b a
＋
9a b
≥16当且仅当ab＝ ＝41， 2
时取“＝”，故只需－x2＋4x＋18
－m≤16，得 x2－4x＋m－2≥0 恒成立，即 Δ＝16－4(m－
2)≤0，解得 m≥6.故选 D.
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注意分类讨论． 解 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 当 0＜x＜1 时，lg x＜0， ∴－f(x)＝－lg x＋－1lg x≥2 当且仅当x＝110时等号成立，即 f(x)≤－2.
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当 x＞1 时，lg x＞0， f(x)＝lg x＋lg1x≥2(当且仅当 x＝10 时等号成立)． 综上 f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
ab
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[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是 相同的．( × ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (3)函数 f(x)＝sinx＋si4nx的最小值为 2.( × ) (4)x＞0 且 y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件．( × )
平均数为 ab，基本不等式可叙述为 两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数．
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2．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有 最小 值是 2 p(简记： 积定和最小 )． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有 最大 值是p42(简记： 和定积最大 )． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、 三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
m1 ＋2n
(m
＋
n)
＝
n m
＋
2m n
＋
3≥2
mn ·2nm＋3＝3＋2
2，当且仅当mn ＝2nm， m＋n＝1，
即mn＝＝2－2－21， 时，取等号.
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题型 2 基本不等式的综合应用 角度 1 利用基本不等式比较大小