高中数学-数列的递推公式

。
（2）这个数列{an }的通项公式是
。
解法二: Q an = an- 1 + 3 \ an - an- 1 = 3(n ? 2)
\ a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 3, a4 - a3 = 3,鬃鬃鬃, an - an- 1 = 3
若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得：
即an - a1 = 3(n - 1)(n ? 2)
+ 4 + 鬃鬃鬃+ 4 + 鬃鬃鬃+ n)
n +
a1
即:an = (2 + 3+ 4 + 鬃鬃鬃+ n) + 5
\
an =
(2 + n)(n2
1) + 5 =
n2 + n2
2+ 5=
1 n2 + 2
1 n + 4(n ? 2
2)
又 Q n = 1时, a1 = 5满足上式 \
an =
1 n2 + 2
an = 1+
1 an- 1
给出，写出这个数列的前5项.
分析：题中已给出｛an｝的第1项即a1=1，递推关系：
an
=
1+
1 an- 1
1
1
解：据题意可知：a1=1,
a2
=
1+
a1
=
1+
= 1
2,
a3 = 1+
1 = 1+ a2
1= 2
3, 2
a4 3;
2= 3
5, 3
a5
=
1+
1 a4
第1层钢管数为4:即 4＝1+3
第2层钢管数为5:即 5＝2+3
第3层钢管数为6:即 6＝3+3
第4层钢管数为7:即 7＝4+3
第5层钢管数为8:即 8＝5+3
第6层钢管数为9:即 9＝6+3 第7层钢管数为10:即 10＝7+3
若用 an 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管 数为一数列.且 an = n + 3(1＃n 7)
。 。。
2
O 12 3456 7
n
已知数列 {an} 的前5项为5，7，10，14，19
试猜想这个数列的通项公式 an
解：设:an = an2 + bn + c,
则
:
ìïïï镲 眄 镲 镲 镲 ïî 94aaa+++
b+ c= 5 2b + c = 7 3b + c = 10
解之得
ìïïïïïïï ïïïïïî
a= b= c=
1 2 1 2 4
\
猜想:an =
1 n2 + 2
1 2
n+
4, 经检验:n=4,n=5时,an
=
1 n2 + 2
1 n + 4.成立 2
3．已知数列 {an}满足：a1=5,an=an－1+n（n≥2）
（1）写出这个数列{an }的前五项为
。
（2）试猜想这个数列 {an }的通项式
1 n + 4(n ? 1) 2
\ a1 = 5, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 14, a5 = 19
五、课时小结：
这节课我们主要学习了数列的另一种表示方法：递 推法——用递推公式表示。应注意理解并注意它与通 项公式的区别在于：
1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推 公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。
2．已知数列{an }满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）
（1）写出数列{an }的前五项为
。
（2）这个数列{an }的通项公式是
。
解法二：由an =
2an- 1(n ?
2), 得 an an- 1
2(n ? 2), 且a1
2
则: a2 = 2, a3 = 2, a4 = 2,鬃鬃鬃, an- 1 = 2, an = 2
例3：已知数列{an} 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2） （1）写出这个数列{an}的前五项为 5，8，11，14，17 。 （2）这个数列 {an}的通项公式是 an=3n+2（n≥1） 。
例3：已知数列{an }满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）
（1）写出这个数列{an }的前五项为
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 比上一层钢管数多1。即:
a1 4
a2 5 4 1 a1 1
a3 6 5 1 a2 1
依此类推：
an = an- 1 + 1(2 ＃n 7)
三、递推公式：
如 且果任已一项知数a列n与a它n 的的前第一1项项（a或n（前1 或n项前）n项，）
。
解法二：Q an = an- 1 + n \ an - an- 1 = n(n ? 2)
\ a2 - a1 = 2, a3 - a2 = 3, a4 - a3 = 4,鬃鬃鬃, an - an- 1 = n
若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得：
\
an an
a1 = = (2
2+ 3 + 3+
=
1+
3= 5
8. 5
\
{an
}的前5项是1,2,3 2
,
5 3
,
8 5
.
例2：已知数列｛an｝中，a1=1,a2=2,an=3an－1+an－2（n≥3)， 试写出数列 {an}的前4项.
解：由已知得a1=1,a2=2，a3=3a2+a1=7，a4=3a3+a2=23 \ {an}的前4项是1,2,7,23.
间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。
●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
ìïïíïïî
初始条件 递推关系
{a如n }上可述表数示列成：ìïïíïïî
an
a1 =
= an-
4 1+
(2 1
＃n
7)
例1：已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项由公式
3．已知数列{an }满足：a1=5,an=an－1+n（n≥2） （1）写出这个数列{an}的前五项为 5，7，10，14，19 。
（2）试猜想这个数列 {an}的一个通项式
。
an
已14知，数19列试猜{a想n }这的个前数5列项的为通5，项7公，式10a，n
20
。
18
16 14
。
12
10
。
8 6 4
1 (n ³ an- 1
2)
5 29 941
写出这个数列{an} 的前五项为
1, 2, , , 2 10 290
。
2．已知数列{an }满足：a1=2,an=2an－1（n≥2） （1）写出这个数列{an}的前五项为 2，4，8，16，32。 （2）这个数列{an}的通项公式是 an 2n (n N ) 。
若将上述na1-1个式a子2 左右两a3 边分别相乘an，- 2 便可得an：- 1 aa1n = 2n- 1
即: an = 2n (n 砛2), 又由a1 = 2满足上式 an = 2n (n ? 1)
\ a2 = 22 = 4, a3 = 23 = 8, a4 = 24 = 16, a5 = 25 = 32
2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2， 3…即可得到相应的项。
3.而递推公式则要已知首项（或前n项),依据递推关 系才可求得其他的项。 六、课后作业：
1.《课课练》P103 课时练习 1，4，7，8 2．预习：课本P110——113 等差数列。
\ an = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2(n ? 2)
又 Q n = 1时, a1 = 5满足上式 \ an = 3n + 2(n ? 1)
\ 这个数列的前5项为:5,8,11,14,17.
四、课堂练习：
1已知数列{an}满足：ìïïïíïïïïî an
=
a1 = 1 an- 1 +
一、请回答下列概念： 1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式.
3.数列的图像：都是一群孤立的点.
4.数列表示形式： 列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来 解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律， 建立数学模型 模型一：自上而下：