2024届浙江省宁波市镇海中学数学高三上期末学业水平测试试题含解析

2024届浙江省宁波市镇海中学数学高三上期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：2
14
y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )
A ．
409
B ．40
C ．16
D ．
163
2．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i
B ．6i -
C ．6-
D ．6
3．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x
=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)
(3,)e +∞ B ．[)0,e
C ．(
)
2
,e +∞
D ．(,){3}e -∞
4．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x x
D ．{|56}-<x x
5．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223
F PF π
∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）
A ．2212
314e e += B ．
22
1241433
e e += C ．2
2
12134e e += D ．2
2
1234e e +=
6．抛物线的焦点是双曲线
的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准
线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线
的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()2
121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．
12
B ．1-
C ．±1
D ．12
±
8．设双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．231,3⎛⎤
⎥ ⎝⎦
C ．)
3,⎡+∞⎣
D ．(
1,3⎤⎦
9．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李
B ．小王
C ．小董
D ．小李
10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则
y x -的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．23
-
C ．13
-
D ．1-
11．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）
A ．1S ≥
B ．2S >
C ．lg99S >
D ．lg98S ≥
12．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）
A ．
19
4
B ．
114
C ．
32
D ．
74
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆
盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.
14．已知函数22,0,()2,0,
x x x f x x -⎧-≥=⎨<⎩，则11
(lg )(lg )(lg 2)(lg5)52f f f f +++的值为 ____
15．函数()cos f x x x =在[0,)+∞的零点个数为_________.
16．若1
sin 23
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则cos α=________，cos2cos αα+=________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2
12
x
e x
f x x =-+
.
（1）若12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
； （2）若x ∈R 时，恒有()2
12
f x x ax b ≥
++，求ab b +的最大值. 18．（12分）设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且32a =，954S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：
1231001111
133333
a a a a +++⋅⋅⋅+>++++. 19．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为93,
x t y t
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
216
13sin ρθ
=+．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离． 20．（12分）已知函数(
)
()(1)1x
f x x e =+-. （Ⅰ）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）已知()f x ax ≥在R 上恒成立，求a 的值.
（Ⅲ）若方程()f x b =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：2111
eb
x x b e -≤++
-. 21．（12分）如图，EFGH 是矩形，ABC ∆的顶点C 在边FG 上，点A ，B 分别是EF ，GH 上的动点（EF 的长度满足需求）.设BAC α∠=，ABC β∠=，ACB γ∠=，且满足sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+.
（1）求γ；
（2）若5FC =，3CG =，求
53
AC BC
+的最大值. 22．（10分）设函数()f x x a x b =++-，
（1）当1a =，2b =，求不等式()6f x ≥的解集； （2）已知0a >，0b >，()f x 的最小值为1，求证：
149
21214
a b +≥++. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆和FPM BPD ∆∆，联立方程组计算得
到答案. 【题目详解】
如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .
2PA AF =，则2433
AC FM =
=， 根据APC BPD ∆∆得到：AP AC
BP BD =，即
4
343
AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆得到：AF FM BP BD =，即42343
AP BD AP BD +
=++，
解得83AP =，4BD =，故16
3
AB AF BF AC BD =+=+=
. 故选：D .
【题目点拨】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2、A 【解题分析】
由复数的运算法则计算． 【题目详解】
因为()()5z i i --=，所以5
6z i i i
=+=- 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查复数的运算．属于简单题． 3、A 【解题分析】 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =
-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x
-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为
(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由
此可根据方程解的个数得出a 的范围． 【题目详解】 由题意得
3ln 30ln x a x a x x
-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x
g x x =，则上述方程转化为
3(()3)10()g x a g x ⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
，
即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．
因为2ln 1
()(ln )
x g x x '
-=
，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；
所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故
3ln ()3ln x a x f x a x x
=
-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力． 4、C 【解题分析】
根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【题目详解】
因为集合{|15}=-B x x ，所以{|51}=--B x x ， 则*{|61}=-<A B x x ，所以*(*){|110}=-<B A B x x . 故选:C. 【题目点拨】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 5、A 【解题分析】
设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ，解得112
2
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()2
2
212121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅，化简求解. 【题目详解】
设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，
由椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ， 解得1122
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π
=∠=F F c F PF ，
在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()2
2
2
12121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，
即
22
12314e e +=. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6、A 【解题分析】
先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率.
【题目详解】 由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点
，双曲线半焦距
，设点
是以点为直角顶点
的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以
抛物线的准线，从而
轴，所以
，
即
故双曲线的离心率为
故选A 【题目点拨】
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题. 7、C 【解题分析】
设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()
()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案.
【题目详解】
设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()2
2
1g x x ax
h x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩
， 则()()()()()()()()()()
()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪
=++-=⎨
<⎪⎩，
由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，
结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题. 8、A 【解题分析】
依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【题目详解】
解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++
112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=
()12242PF a b a c ∴=+>+
所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >
所以22
24
3
c e a =>
所以23
3e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
故选：A
【题目点拨】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题. 9、D 【解题分析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【题目详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”， 而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾； 若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”， 否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”， 所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查推理证明的实际应用. 10、D 【解题分析】
使用不同方法用表示出AF ，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【题目详解】 解：1
3
AF AD DF AB AD =+=
+， 又11
()()()()2
2
AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=+
+- 1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得59
49x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，所以1y x -=- 故选：D 【题目点拨】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题． 11、C 【解题分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【题目详解】 运行该程序：
第一次，1i =，lg 2S =；
第二次，2i =，3
lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4
lg3lg lg 43
S =+=，
…；
第九十八次，98i =，99
lg98lg
lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100
lg99lg lg100299
S =+==，
此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 12、A 【解题分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-,利用22
||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可. 【题目详解】
因为11131
()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-
+=-⨯++=-, 所以
22
229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311
112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
， 所以19||4
EB =， 故选：A
【题目点拨】
本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、11 【解题分析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数. 【题目详解】
（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个：5!
1
5!
=，
3个，2个：4!
4 3!
=，
1个，4个：3!
3 2!
=，
（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：
3个：3!
1 3!
=，
1个，2个：2!2
=，
综上，一共有1431211
++++=（种）.
故答案为：11.
【题目点拨】
本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
14、4
【解题分析】
根据
11
lg,lg,lg2,lg5
52
的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.
【题目详解】
解：
11
(lg)(lg)(lg2)(lg5) 52
f f f f
+++
11lg
lg
lg2lg5lg5lg2lg2lg55
2
2
2
22222222224--+++=++--+=-=-.
故答案为：4. 【题目点拨】
本题考查分段函数函数值的求解，是基础题. 15、1 【解题分析】
本问题转化为曲线cos ,y x y x ==
([0,))x ∈+∞交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数
cos ,y x y x ==([0,))x ∈+∞的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【题目详解】
问题函数()cos f x x x =-
在[0,)+∞的零点个数，可以转化为曲线cos ,y x y x ==([0,))x ∈+∞交点个数问题.
在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y x ==
([0,))x ∈+∞的图象，如下图所示：
由图象可知：当[0,)x ∈+∞时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 【题目点拨】
本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想. 16、
13
4
9-
【解题分析】
根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案. 【题目详解】
1sin cos 23παα⎛⎫
+== ⎪⎝⎭
，故24cos 2cos 2cos 1cos 9αααα+=-+=-.
故答案为：
13
；49-.
【题目点拨】
本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）2
e
. 【解题分析】
（1）利用导数分析函数()y f x =的单调性，并设12x x <，则10x <，20x >，将不等式1202x x f +⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
等价转化为证明120x x +<，构造函数()()()h x f x f x =--，利用导数分析函数()y h x =在区间(),0-∞上的单调性，通过推导出()10h x <来证得结论；
（2）构造函数()x
G x e x ax =--，对实数a 分1a <-、1a =-、1a >-，利用导数分析函数()y G x =的单调性，
求出函数()y G x =的最小值，再通过构造新函数()2
2
ln t t t t ϕ=-，利用导数求出函数()y t ϕ=的最大值，可得出
ab b +的最大值.
【题目详解】
（1）()1x
f x e x '=-+，()10x
f x e ''=+>，所以，函数()y f x '=单调递增，
所以，当0x <时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减； 当0x >时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增. 要证1202x x f +⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
，即证120x x +<. 不妨设12x x <，则10x <，20x >，
下证21x x <-，即证()()()121f x f x f x =<-， 构造函数()()()()22112022x
x x x h x f x f x e x x e x x e e x x --⎛⎫
=--=-+
-++=--< ⎪⎝
⎭，
()220x x h x e e -'=+->=，所以，函数()y h x =在区间(),0-∞上单调递增，
10x <，()10h x ∴<，即()()110f x f x --<，即()()()211f x f x f x =<-，
20x >，10x ->且函数()y f x =在区间()0,∞+上单调递增，
所以21x x <-，即120x x +<，故结论成立； （2）由()2
12
f x x ax b ≥
++恒成立，得x e x ax b -≥+恒成立， 令()x
G x e x ax =--，则()1x
G x e a '=--.
①当1a <-时，对任意的x ∈R ，()0G x '
>，函数()y G x =在R 上单调递增，
当x →-∞时，()G x →-∞，不符合题意； ②当1a =-时，0ab b +=；
③当1a >-时，令()0G x '
>，得()ln 1x a >+，此时，函数()y G x =单调递增；
令()0G x '
<，得()ln 1x a <+，此时，函数()y G x =单调递减.
()()()()()()min ln 111ln 1G x G a a a a ∴=+=+-++.
()()()()2
2
111ln 1a b a a a ∴+≤+-++.
令10t a =+>，设()2
2
ln t t t t ϕ=-，则()()12ln t t t ϕ'=-.
当0t <<
()0t ϕ'>，此时函数()y t ϕ=单调递增；
当t >()0t ϕ'<，此时函数()y t ϕ=单调递减.
所以，函数()y t ϕ=在t =处取得最大值，即()max 2
e
t ϕϕ==
. 因此，()1a b +的最大值为2
e . 【题目点拨】
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.
18、（1）24n a n =-（2）见解析 【解题分析】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由95954S a ==，得到56a =，再结合题干所给数据得到公差d ，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1
= 【题目详解】
解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵95954S a ==，∴56a =， ∴53
253
a a d -=
=-，∴3(3)24n a a n d n =+-=-. （2
=>=
1001
a
+
+
1)>++⋅⋅⋅+
114
113=>
-=，
1001
13a +
>+.
【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
19、（1）221164
x y
+=．90x --=．
（2）最大距离为92+． 【解题分析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案. （2）曲线C 的参数方程为4cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨=⎩，设()4cos ,2sin P αα，计算点到直线的距离公式得到答案.
【题目详解】 （1）由2
2
1613sin ρθ
=
+，得222
3sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为2
2
416+
=x y ，即22
1164
x y +=．
直线l 的直角坐标方程为90x --=．
（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数），
设()4cos ,2sin P
αα，[)0,2απ∈，
则()2cos ,sin M αα
到直线:90l x
--=
的距离为
92
d +=
=
≤
所以线段OP 的中点M 到直线l 【题目点拨】
本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力. 20、（Ⅰ）()11e
y x e
-=+；
（Ⅱ）1a =；（Ⅲ）证明见解析 【解题分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数()()h x f x ax =-根据单调性分析可得()h x 只能在0x =处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知()()11e f x x e -≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立,再分别设()11e
b x e
-=+ b x =的解为3x 、4x .再根据不等式的性质证明即可. 【题目详解】
（Ⅰ）由题()'()11x x
f x e e x =-++,故1
'(1)11
1e
f e -=
=---.且(1)0f -=. 故()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为()11e
y x e
-=
+. （Ⅱ）设()()()()
110x
h x f x ax x e ax =-=+--≥恒成立,故()()'21x
h x x e a =+--.
设函数()()2x
x x e ϕ=+则()()'3x
x x e ϕ=+,故()()2x
x x e ϕ=+在(),3-∞-上单调递减且()0x ϕ<,又()x ϕ在
()3,-+∞上单调递增.
又()02ϕ=,即()'01h a =-且()00h =,故()h x 只能在0x =处取得最小值, 当1a =时，此时()()'22x
h x x e =+-,且在(),0-∞上()'0h x <,()h x 单调递减.
在()0,∞+上()'0h x >,()h x 单调递增.故()()00h x h ≥=,满足题意；
当1a >时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解00x >,且()h x 在()00,x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾； 当1a <时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解030x -<<,且()h x 在()0,0x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
故1a =
（Ⅲ）()()'()2111x x x e x f x x e e ++=-+=-.由（Ⅰ）,()2'()1x
x f x e +=-在(),3-∞-上单调递减且'()0f x <,
又
'()f x 在()3,-+∞上单调递增,故'()0f x =最多一根.
又因为()1
1
1'(1110)2f e e ---+=-=--<,()0
02'(010)1f e =-+=>, 故设'()0f x =的解为x t =,因为()()'1'00f f -⋅<,故()1,0t ∈-. 所以()f x 在(),t -∞递减,在(),t +∞递增.
因为方程()f x b =有两个实数根12,x x ,故()b f t > . 结合（Ⅰ）（Ⅱ）有()()11e
f x x e
-≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立. 设()11e
b x e
-=
+ 的解为3x ,则31x x ≤；设b x =的解为4x ,则42x x ≥. 故311eb
x e
=
--,4x b =. 故214311
eb
x x x x b e -≤-≤++-,得证. 【题目点拨】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.
21、（1）2
π
γ=
（2）
【解题分析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+，根据勾股定理逆定理求得γ. （2）设CAF θ∠=，由此求得53
,AC BC 的表达式，利用三角函数最值的求法，求得53AC BC
+的最大值. 【题目详解】
（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+，
根据正弦定理和余弦定理得22222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫
+-+-+=+ ⎪⎝⎭
.
化简整理得222+=a b c .由勾股定理逆定理得2
π
γ=
.
（2）设CAF θ∠=，02
π
θ<<
，由（1）的结论知BCG θ∠=.
在Rt ACF ∆中，sin AC FC θ⋅=，由5FC =，所以
5
sin AC θ=. 在Rt BCG ∆中，cos BC CG θ⋅=，由3CG =，所以
3
cos BC
θ=.
所以
53sin cos 4AC BC πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭， 由
34
4
4
π
π
π
θ<+
<
， 所以当4
2
π
π
θ+
=
，即4
π
θ=
时，
53AC BC
+
. 【题目点拨】
本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识. 22、（1）5|2x x ⎧
≤-⎨⎩或72x ⎫≥⎬⎭
；（2）证明见解析 【解题分析】
（1）将()f x 化简，分类讨论即可； （2）由（1）得1a b +=，14114[(21)(21)]212142121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
，展开后再利用基本不等式即可. 【题目详解】
（1）当1a =时，21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≥⎩
，
所以1()6216x f x x ≤-⎧≥⇔⎨
-+≥⎩或1236x -<<⎧⎨≥⎩或2
216
x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解得52x ≤-
或72
x ≥， 因此不等式()6f x ≥的解集的5{|2x x ≤-
或7
}2
x ≥ （2）()|||||()()|1f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+=
根据()()21214a b +++=
14114[(21)(21)]2121
42121a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 1214(21)542121b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭ 19
(544≥+=，当且仅当15,66
a b ==时，等式成立. 【题目点拨】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.。