成都市第八中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》提高卷(培优)

一、选择题
1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM
AF =，表示
方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）
A ．线段BM
B ．线段AM
C ．线段AE
D ．线段EM B
解析：B
【分析】 设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，
则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12
， 在Rt △ABE 中，
∴AE 2＝AB 2+BE 2，
∴（x +12）2＝1+（12
）2， ∴x 2+x -1＝0，
∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4
B ．－1或－4
C ．－1或4
D ．1或－4D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．
【详解】
解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，
得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，
化简得：2+340a a -=，
解得：a=1或a=-4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．
3．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16B 解析：B
【分析】
设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.
【详解】
图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，
设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，
如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2
a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10， 如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．
故答案为：B ．
【点睛】
此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.
4．将4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a ＋b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝
53
S 2，则a ，b 满足（ ）
A ．2a ＝5b
B ．2a ＝3b
C ．a ＝3b
D ．3a ＝2b C
解析：C
【分析】
由题意可以得到关于a 、b 的方程，并进而变形为关于
a b 的方程，求出a b 的值即可得到a 、b 的关系式 ．
【详解】 解：由图可知21422S ab ab =
⨯=， ∵1253S S =，∴1255102333
S S ab ab ==⨯=， 又()222122S S a b a ab b +=+=++， ∴2210223ab ab a ab b +=++，即 22103
a b ab +=， ∴231030a a b b ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭
， ∴
133
a a
b b ==，（舍去）， ∴a=3b ，
故先C ．
【点睛】 本题考查正方形面积、三角形面积及一元二次方程的综合运用，熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算方法及一元二次方程的解法是解题关键．
5．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜－2
B ．a ＞－2
C ．－2＜a ＜0
D ．－2≤a ＜0C 解析：C
【分析】
由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12
＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭
，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-
=+> ⎪⎝⎭
， 解得：a >−2，
∵a <0，
∴−2<a <0．
故选C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键．
6．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．12
D ．12
-D 解析：D
【分析】
直接利用根与系数的关系解答．
【详解】
解：∵2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1•x 2＝
12
-＝﹣12． 故选：D ．
【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a
． 7．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．1-
D ．1或0A 解析：A
【分析】
由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．
【详解】
解：∵-1是方程x 2+mx=0的根，
∴1-m=0，
∴m=1，
故答案为：A.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键． 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．
【详解】
解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．
∵k 2≥0，
∴k 2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．
9．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人．
A ．40
B ．10
C ．9
D ．8D
解析：D
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则一轮传染后共有（1+x ）人被传染，两轮传染后共有[（1+x ）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
由题意，得：（1+x ）+x(1+x)=81，
即x 2+2x ﹣80=0，
解得：x 1=8，x 2=﹣10（不符合题意，舍去），
故每轮传染中平均一个人传染了8人，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
10．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）
A 31
B ．31
C 31或31
D ．无法确定C
解析：C
【分析】
先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】
由题意得：()2319x --=-，
()213x -=，
1-=x ，
1x =±
即1x =或1x =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键．
二、填空题
11．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）249
【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=
（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公
解析：49
814 92 【分析】
运用配方法的运算方法填写即可．
【详解】
解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2
故答案为：49；
（2）x 2-9x+
814=（x-92）2， 故答案为：
814，92． 【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．
12．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法
解析：3
【分析】
首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意，移项得223x x -=，
配方得：22131x x -+=+，即2
(1)4x -=，
∴1h =-，4k =
∴143h k +=-+=
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．
13．将方程2630x x +-=化为()2
x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数
解析：()2
312x +=
【分析】
将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
【详解】
∵2630x x +-=
∴263x x +=
∴26939x x+++=
∴()2312x+= 故答案为：()2
312x+=
【点睛】
考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．
14．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】
解析：2
【分析】
先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．
【详解】
解：一元二次方程()2
3112x -=整理为2230x x --=，
∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，
∴x 1+x 2=2．
故答案为：2．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a
-是解题的关键． 15．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两
解析：4-
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值．
【详解】
∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根，
∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=，
∵0n ≠，
∴4n m ++，即4m n +=-，
故答案为：4-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．已知关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．且【分析】根据题意一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式据此解一元一次不等式即可解题注意二次项系数不为零【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即且故答案为：且【点睛】本题考查一元二 解析：13a >-且0a ≠．
【分析】
根据题意，一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，可知根的判别式2=40b ac ∆->，据此解一元一次不等式即可解题，注意二次项系数不为零．
【详解】
关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，
2=40b ac ∴∆->
即2
24(3)0a -⨯->
4120a +>
13
a ∴>-且0a ≠ 故答案为：13
a >-且0a ≠． 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、一元一次不等式、一元二次方程的定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根从而可得等腰三角形的两边长再根据等腰三角形的定义三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长然后利用三角形的周长公式即可得【详解】因式分解得解得等腰三角 解析：22
【分析】
先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．
【详解】
213360x x -+=，
因式分解，得(4)(9)0x x --=，
解得124,9x x ==，
等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，
∴这个等腰三角形的两边长为4,9，
（1）当边长为4的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为4,4,9，
此时449+<，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
（2）当边长为9的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为4,9,9，
此时499+>，满足三角形的三边关系定理，
则这个等腰三角形的周长为49922++=；
综上，这个等腰三角形的周长为22，
故答案为：22．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
18．若关于x 的一元二次方程()2
1210k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．且【分析】根据题意结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式然后解不等式即可求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴∴的取值范围是且故答案为：且【点睛】本题考查了一元
二次
解析：0k >且1k ≠
【分析】
根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式，然后解不等式即可求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程()2
1210k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴21024(1)(1)0k k -≠⎧⎨∆=--⨯->⎩，10k k ≠⎧⎨>⎩
， ∴k 的取值范围是0k >且1k ≠，
故答案为：0k >且1k ≠．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．
19．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b
+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键
解析：3
【分析】
根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-
32
，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．
【详解】
解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32
a b ∴+=-，12ab =-， 3
112312
a b a b ab -
+∴+===-． 故答案为：3．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a
”是解题的关键． 20．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则
1
12
2
2020
2020
1
1
1
1
1
1
αβαβαβ+
+
+
++
+
的值为_____．【分析】由一元二次方程根与
系数的关系解题即【详解】解：∵x2+2x ﹣m2﹣m ＝0m ＝123…2020∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2α2β2＝﹣2×3；…α 解析：
4040
2021
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系解题，即+=-b c a a
αβαβ=，． 【详解】
解：∵x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0，m ＝1，2，3， (2020)
∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2020+β2020＝﹣2，α2020β2021＝﹣2020×2021；
∴原式＝
33
20202020
112211223320202020
++++++++
αβαβαβαβαβαβαβαβ
2222
=
++++
122334
20202021⨯⨯⨯⨯
11111
11=2(1)2233420202021
⨯-+-+-+
+
- 1=2(1)2021
⨯- 4040
=2021
故答案为：4040
2021． 【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
21．新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品．某商店销售一款口罩，每袋进价为12元，计划每袋售价大于12元但不超过20元，通过市场调查发现，这种口罩每袋售价为18元时，日均销售量为50袋，而当每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋． （1）在每袋售价为18元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是_________袋；（用含x 的代数式表示）
（2）经综合考察，要想使这种口罩每天赢利315元，该商场每袋口罩的销售价应定为多少元？
解析：（1）505x -；（2）19元． 【分析】
（1）销售量=原来销售量－下降销售量，据此列式即可；
（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据销售量×每袋利润=总利润列出方程求解即可． 【详解】
（1）∵每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋， ∴每天销量减少5x 袋，
∵售价为18元时，日均销售量为50袋，
∴将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是：505x -． 故答案为：505x -
（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元， 根据题意得：(1812)(505)315x x +--=， 化简得：2430x x -+=， 解得：121,3x x ==，
当11x =时，每袋售价是：18119+=（元）； 当23x =时，每袋售价是：18321+=（元）； ∵计划每袋售价大于12元但不超过20元， ∴23x =舍去．
∴当1x =时，每袋售价是19元． 答：该商场每袋口罩的售价应定为19元． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解． 22．（1）解方程2
9
0x （直接开平方法）
（2）若关于x 的一元二次方程()2
2
1534m x x m m +++-=的常数项为0，求m 的值． 解析：（1）13x =，23x =-；（2）4 【分析】
（1）利用直接开平方法求解可得答案；
（2）根据常数项为0得出关于m 的方程，解之求出m 的值，结合一元二次方程的定义可得答案． 【详解】 （1）解：2
9
0x （直接开平方法）
29x =，
∴3x =±， ∴13x =，23x =-．
（2）解：∵关于x 的一元二次方程()2
2
1534m x x m m +++-=的常数项为0，
∴210340m m m +≠⎧⎨--=⎩
，
解得4m =，1m =-（舍去）， ∴m 的值为4． 【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 23．回答下列问题． （1
（2
|1-． （3
）计算：1
02(1)-++．
（4）解方程：2
(1)90x +-=．
解析：（1
3；（2
1+；（3
）44）12x =，24x =-． 【分析】
（1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解． 【详解】 （1
33
=
+
3=
； （2
|1
1)=-
1=
1=
；
（3
）1
02(1)-++
121=+-
4=-
（4）2
(1)90x +-=，
移项得：2
(1)9x +=， ∴13x +=或13x +=-，
12x =，24x =-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
24．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式2
2
()(1)m m m m
--
+的值． 对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当x=n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式2x ，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0． (1)代数式22x -的不变值是________，A=________． (2)已知代数式231x bx -+，若A=0，求b 的值．
解析：（1）-1，2；3；（2
）11b =-+
21b =--【分析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求出x 的值，再作差后可求出A 的值；
（2）由A=0可得出方程2
3(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，进而可得出△=0，解答
即可得出结论． 【详解】
解：（1）根据题意得，220x x --=， 解得，11x =-，2
2x =
∴A=2-（1）=2+1=3， 故答案为：-1，2；3；
（2）根据题意得，2
3(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，
∴△=[- (b+1)]2-4×3×1=0
∴11b =-+
21b =--【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程
的解是解题的关键． 25．解方程： （1）2237x x +=； （2）x(2x+5)=2x+5． 解析：（1）112
x =，23x =；（2）11x =，252x =-
【分析】
（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法求解． 【详解】
解：（1）2x 2-7x+3=0， （2x-1）（x-3）=0， 2x-1=0或x-3=0， 所以x 1=
1
2
，x 2=3； （3）移项得，x （2x+5）-（2x+5）=0， 因式分解得，（2x+5）（x-1）=0， ∴x-1=0，2x+5=0， ∴11x =，252
x =-； 【点睛】
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
26．解下列方程： （1）2320x x +-= （2）()220x x x -+-=
解析：（1）1x =，2x =2）1
1x =-，22x =
【分析】
（1）直接应用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】
解：（1）2320x x +-=
1,2x =
=
∴1x =
，2x
（2）()220x x x -+-=
因式分解可得：()()120x x +-=， 即10x +=或20x -=， 解得11x =-，22x =．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．
27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？ 解析：30名 【分析】
首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解． 【详解】
解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．
因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人． 根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000． 解得x 1=45，x 2=30．
当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去； 当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去旅游． 【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月
底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：
解析：（1）25%；（2）35元
【分析】
（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
【详解】
解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2=400，
解得：x1=1
4
=25%，x2=
9
4
（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）由表可知：该商品每降价1元，销售量增加5件，
设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40-25-m）（400+5m）=4250，
解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去），
40-5=35元．
答：销售单价应定为35元，商品获利4250元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．。