2021届山西长治二中等五校高三上学期联考一数学(文)试卷

2021年山西长治二中等五校高三上学期联考一数学（文）试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集为R ，集合{|2A x x =<-或}3x >，{}2,0,2,4B =-，则R ()C A B =
（ ）
A ．{}2,0,2-
B ．{}4,2,2-
C ．{}3,0,2-
D ．{}4,2,0
2．已知复数34i z =-+（i 是虚数单位），则复数
1i
z
+的虚部为（ ） A ．21-
B ．1i 2
C ．21
D ．1i 2
-
3．从1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（ ） A ．
110 B ．3
10
C ．35
D ．710
4．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
364 D ．3
32 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A ．x sin
B ．x sin -
C ．x cos
D ．x cos -
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008100710080,0a a a >+<，则满足01<+n n S S 的正整数n 为（ ）
A ．2013
B ．2014
C ．2015
D ．2016 7．下列说法中错误的个数是（ ） ①命题“有
”的否定是
“
有
”；
①若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题； ①已知
，
，若命题
为真命题，则的取值范围
是(,3)(1,2)[3,)-∞-⋃⋃+∞； ①“”是“
”成立的充分条件． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知函数()sin cos f x x a x =+（a ∈R ）图象的一条对称轴是4
x π
=
，则函数
()sin ()g x x f x =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．3
C 5
D 3
9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足：(2)()f x f x +=，在区间)1,1[-上，
2
24,10()log ,01
x a x f x x x x ⎧+-≤≤=⎨-<<⎩，若0)29
()25(=--f f ，则=)4(a f （ ） A ．1 B ．1- C ．
21 D ．2
1
-
10．已知直线ax y =与圆0222:2
2=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且CAB ∆为
等边三角形，则圆C 的面积为（ ） A ．49π B ．36π C ．π7 D ．π6
11．已知抛物线x y C 4:2
=的焦点为F ，定点)2,0(-A ，若射线FA 与抛物线C 交于
点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则FN MN :的值是（ ） A ．5:)25(- B ．5:2 C ．52:1 D
(1
12．已知函数⎩
⎨⎧>+-≤-=0,0,
2)(2x x x x x x f ，若函数a x f x g -=)()(恰有三个互不相同的
零点321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是（ ） A ．)0,321(-
B ．)0,16
1(- C ．)321,0( D ．)161
,0(
二、填空题
13．已知点)1,2(),3,1(),2,1(C B A -，则=+⋅)2( ．
14．若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≥-03002y x y x y x ，则y x z +=3的最小值为 ．
15．已知ABC ∆的面积为S ，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若2
2
2
4c b a S +=+，则)4
π
cos(sin +
-B C 取最大值时C = ． 16．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，等边三角形2
1F PF 与双曲线交于N M ,两点，若N M ,分别为线段21,PF PF 的中点，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题
17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(n n a S n =+∈N *
）．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列21n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，
PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点．
（1）证明：直线//MN 平面PCD ；
（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，
3PA =，1AB =，求三棱锥A QCD -的
体积．
19．学业水平考试（满分为100分）中，成绩在[]
80,100为A 等，在[)60,80为B 等，在[)40,60为C 等，不到40分为D 等．某校高二年级共有1200名学生，其中男生720名，女生480名，该校组织了一次物理学业水平模拟考试．为研究这次物理考试成绩为A 等是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取100名学生的成绩，
按从低到高分成 [)[)[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校高二年级学生在物理学业水平考试中，成绩为D 等的人数； （2）请你根据已知条件将下列22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中物理成绩为A 等与性别有关”？
物理成绩为A 等
物理成绩不为A 等 合计
男生 14a = b = 女生 c = d =
合计
100n =
2
2
(),
()()(
)()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 附：
20．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为22，且过点(2,1)P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若12,A A 分别是椭圆的左、右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆C 于不同于1A 的点R ，求证：OR OM ⋅为定值．
21．已知函数∈+=a a x x f x
(e )(R ）．
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）当1,0≤<a x 时，证明：)()1(2
x f x x a x '>++．
22．如图，已知AB 为圆O 的直径，D C ,是圆O 上的两个点，C 是劣弧BD 的中点,
AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ，交CE 于F .
（I ）求证：FG CF =
（II ）求证：CE AG AC DG ⋅=⋅.
23．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (2
2222
1⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2()P K k ≥
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
θρsin 4=.
（I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB . 24．已知函数12)(-++=x x x f （I ）求不等式5)(>x f 的解集；
（II ）若对于任意的实数x 恒有1)(-≥a x f 成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】 试题分析：
{{}R ()|23}
2,0,2,4{2,0,2}C A B x x =-≤≤-=-，选A.
考点：集合的运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2．A 【解析】
试题分析：3471i
1i 2z i i
----==++，所以虚部为21-，选A. 考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、
对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3．D 【解析】
试题分析：从1，2，3，4，5中任取两个数共有10种不同取法，其中两个数的乘积为偶数
包含1+23=7⨯种取法，因此所求概率为7
10，选D.
考点：古典概型概率
【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.
（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与
“无序”区别的题目，常采用树状图法.
（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 4．B 【解析】
试题分析：几何体为一个三棱柱，底面为腰为4的等腰直角三角形，三棱柱高为4，因此体
积为1
444=32.2⨯⨯⨯选B.
考点：三视图 【名师点睛】
1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 5．C 【解析】
试题分析：第一次循环：11,()(cos )sin i f x x x
'===-；第二次循环：
22,()cos i f x x
==-；
第三次循环：33,()sin i f x x ==；第四次循环：
404,()cos ()
i f x x f x ===；因此周期为
4，
201602016,()()cos i f x f x x
===，选C.
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6．B 【解析】 试题分析：由
1008100710080,0
a a a >+<得
10070
a <，所以
1007100810081008201420152014()2015()
=
0,=022a a a a S S ++<>，因此满足01<+n n S S 的正整数n
为2014，选B.
考点：等差数列性质
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 7．C 【解析】 试题分析：命题“有
”的否定是
“1,212,,x x M x x ∀∈≠有
”； ①错；若一个命题的逆命题为真
命题，则它的否命题与逆命题互为逆否，所以也一定为真命题；①对；因为
2:23013p x x x x +->⇒><-或，
1
:1233q x x
>⇒<<-，而命题为真命题，
则13{
32
x x x x ><-≥≤或或，即的取值范围是(,3)[3,)-∞-⋃+∞；①错；“
”是“
”成立
的必要条件，①错，因此选C. 考点：命题真假 8．C 【解析】
试题分析：由题意得(0)()1
2f f a π
=⇒=，因此
()2sin cos g x x x =+≤，选C. 考点：三角函数性质 9．A 【解析】
试题分析：(2)()T 2,f x f x +=⇒=由0)29()25(=--f f 得
11
()()
22f f -=，1
2
2113
4
log 424a a -+=
-⇒=，因此13(4)(3)(1)414f a f f -==-=+=，选A.
考点：分段函数求值
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要
注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 10．D
【解析】
试题分析：
2
2
2
:2
2=
+
-
-
+y
ax
y
x
C222
()(1)1
x a y a
⇒-+-=-，因此C到直线
ax y=
距离为
2
27
a
=⇒=
，圆C
的面积为
26.
ππ
=选D.
考点：直线与圆位置关系11．D
【解析】
试题分析：射线
:22(1)
FA y x x
=-<与x
y
C4
:2=
联立解得
x=
，所以:1):(11)
MN FN=++==
D.
考点：直线与抛物线位置关系
12．A
【解析】
试题分析：不妨设123
x x x
<<，由图像得
2
12323122
11
01,1,2
82
x x x x x x x x
-<<<<<<+=-=-+
，所以3
2
1
x
x
x
222
2222
22
()
(1)
22
x x x x
x x
--
=⋅⋅-=-
，当2
1
2
x
<<
时
2
22
1
(,0)
4
x x
-∈-
，所以3
2
1
x
x
x
的取值范围是
)0,
32
1
(-
，选A.
考点：函数零点
【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
13．-14
【解析】
试题分析：
=
+
⋅)
2(BC
AC
AB(2,1)[(2,2)(3,2)](2,1)(5,4)10414.
-⋅-+-=-⋅-=--=-
考点：向量坐标运算
【思路点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 14．5
【解析】
试题分析：可行域为一个开放区域，如图，其中
33
(,),(1,2)
22
B C
，直线
y
x
z+
=3过点C时
取最小值5
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15．4π
【解析】
试题分析：2
2
2
4c
b a S +=+14bcsinA 2cos tan 124b
c A A A π⇒⨯=⇒=⇒=
,ππππ
sin cos()sin(A )cos()sin()cos()4444C B B B B B B -+=+-+=+-+=,当且
仅当
,2
4B C π
π
=
=
时取等号
考点：余弦定理，三角形面积公式
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 16
【解析】
试题分析：
由题意得
1221c,21)1c MF MF a MF MF c a =⇒=-=⇒
=，
考点：双曲线定义
【思路点睛】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.（2）注意数形结合，画出合理草图.
17．（1）2n
n a =（2）
1311
()2212n T n n =--++ 【解析】
试题分析：（1）由n
S 求
n
a ，注意分类讨论：当1=n 时,
11122
S a a ==-，得
1
a =2，当2
≥n 时,
1
n n n a S S -=-得
12n n a a -=（2n ≥）．所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，
最后由等比数列通项公式得2n n a =（2）因为n b n =，21111
()
22
n n b b n n +=-+，所以利用
裂项相消法求和，本题是各项相消，注意规律，前面有两项，后面也有两项 试题解析：解：（1）由22
n n a S =+得，
-1-122
n n a S =+（2n ≥），两式相减得
1
2n n a a -=（2n ≥）． 当n=1时，
1
a =2，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，则
2n
n a =．
（2）由（1）知，n b n =，所以2
1111
()
22n n b b n n +=-+．
则数列21n n b b
+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和 111111111311
[(1)()()()]()232435
22212n T n n n n =-+-+-+
+-=--+++．
考点：由
n
S 求
n
a ，裂项相消法求和
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）
的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如
1(2)(1)(1)n n n ≥-+或1
(2)
n n +
18．（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往利用平几知识，如本题利用三角形中位线性质及平行四边形性质，取PD 中点R ，由三角形中位线性质得//MR AD ，1
2
MR AD =
，因此//,MR NC MR NC =，故四边形MNCR 为平行四边形，即得//MN RC （2）求三棱锥体
积，关键确定高，可利用等体积法转化易求高的三棱锥：由于PA ⊥平面ABCD ，所以
111
328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==⨯⨯=
【解析】
试题分析：（1）设PD 中点为R ，连结MR ，RC ，先利用中位线定理证明//MR AD ，结合已知可得四边形MNCR 为平行四边形，进而//MN RC ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用等积变换得A QCD Q ACD V V --=，再利用棱锥体积公式可得结果. 试题解析：（1）证明：取PD 中点R ，连结MR ，RC ， ①//MR AD ，//NC AD ，1
2
MR NC AD ==， ①//MR NC ，MR AC =， ①四边形MNCR 为平行四边形，
①//MN RC ，又①RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ①//MN 平面PCD ．
（2）由已知条件得1AC AD CD ===
，所以4
ACD S ∆=， 所以111328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==
⨯⨯=．
考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式. 19．（1）24（2）没有 【解析】
试题分析：（1）频率分布直方图中小长方形面积表示概率，所以抽取的100名学生中，本次
考试成绩为D 等对应概率为110(0.0080.0120.0120.0160.024+0.026=-⨯++++）
0.02，对应人数为1000.022⨯=按分层抽样得成绩为D 等的人数为2
1200=24
100⨯（2
）抽取的
100名学生中，男生共有720
100=60
1200⨯，所以601446b =-=，抽取的100名学生中，
本次考试成绩为A 等对应概率为10(0.0080.012)0.2⨯+=，对应人数为1000.220⨯=，所以20146c =-=，进而可得10060634d =--=，最后根据卡方公式得
22
100(1434646)25 1.042 2.706
2080604024K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，作出结论没有90%的把握
试题解析：解：（1）设抽取的100名学生中，本次考试成绩为D 等的有x 人，根据题意得：
100[110(0.0080.0120.0120.0160.024+0.026]=2x =⨯-⨯++++），据此估计该校高二
年级
学生在物理学业水平考试中，成绩为D 等的人数为2
1200=24100⨯（人）．
（2）根据已知条件得列联表如下：
因为
22
100(1434646)25
1.042
2.706
2080604024K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．所以，没有90%的把握认为
“该校高二年级学生在本次考试中物理成绩为A 等与性别有关” 考点：分层抽样，频率分布直方图，卡方公式
20．（1）22142x y +=（2）4OR OM ⋅=
【解析】
试题分析：（1）由离心率为2得2c
e a ==
=，再由椭圆过点P 得
2221
+=1a b ，解方程组得
224,2a b ==（2）解析几何中证明定值问题，一般方法为以算代证，即计算数量积OR OM ⋅的值，设
011(2,),(,)
M y R x y ，则
101=2OR OM x y y ⋅+，由
1M A R 、、三点关系得
01
1=4+2y y x ，所以
22211111011114244=2222y x x y OR OM x y y x x x ++⋅+=+=++，又222211111+2=4
42x y x y +=⇒，
所以
1
184=
=42x OR OM x +⋅+，也可利用直线与椭圆位置关系结合韦达定理化简.
试题解析：解：（1）由题得:2221
+=1a b ,
因为c e a ===，解得
224,2a b ==． 所以椭圆C 的方程为22
1
42x y +=（2）由（1）知12(2,0),(2,0)A A -，由题意设011(2,),(,)
M y R x y ，
易知直线1MA 的方程为：0042y y y x =+，代入椭圆22
142x y +=，得
222
2000(1)40
822y y y x x +++-=．
所以201204(8)(2)8y x y --⨯=+，解得2012
02(8)
8y x y --=+，从而
012088y y y =+， 所以222
00000222
200002(8)84(8)8(,)(2,)48888y y y y OR OM y y y y y ----⋅=⋅=+=++++，
即OR OM ⋅为定值．
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（1）见解析（2）详见解析 【解析】
试题分析：（1）先求导数()1x
f x ae '=+，再根据导函数零点分类讨论：当0a ≥时，导函
数无零点，即函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；当0a <时，导函数一个零点1ln()
a -，即在1-ln())a ∞-（，上为增函数，在1
(ln(),)
a -+∞上为减函数．（2）先化简所证不等式：
e 0x x a a +-<，再利用导数研究函数=)(x H x a a x e -+单调性：在)0,(-∞上为增函数，
进而得证0)0()(=<H x H
试题解析：（1）解：由()x f x x ae =+可得()1x
f x ae '=+．
当0a ≥时，()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．
当0a <时，由()0f x '>可得
1ln()x a <-，由()0f x '<可得1
ln()
x a >-； 则函数()f x 在1-ln())a ∞-（，上为增函数，在1(ln(),)
a -+∞上为减函数
（2）证明：令
2
()(1)()F x x a x xf x '=++-． 则
x ax ax x x f x x a x x F e )()1()(22-+='-++=)e (x
a a x x -+= 令=)(x H x
a a x e -+，则=')(x H x
a e 1-．
1e 0,0<<∴<x x ，又1≤a ，0e 1e 1>-≥-∴x x a ．
)(x H ∴在)0,(-∞上为增函数，则0)0()(=<H x H ，即0e <-+x a a x ．
由0<x 可得0)e ()(>-+=x a a x x x F ，所以)()1(2
x f x x a x '>++
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数证明不等式
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解. 22．（I ）详见解析（II ）详见解析 【解析】
试题分析：（I ）在同一三角形中证明线段相等，一般利用对应两角相等，而等弧对应角相等，即DAC CAB ∠=∠，其余角也相等即DGA ACE ∠=∠，又CGF DGA ∠=∠，所以
CGF ACE ∠=∠，即FG CF =（II ）证明线段成比例，一般利用三角形相似，易得
ADG RT ∆∽AEC RT ∆，所以AC CE
AG DG =
,即CE AG AC DG ⋅=⋅
试题解析：（I ）C 是劣弧BD 的中点CAB DAC ∠=∠∴ 在AEC RT ADG RT ∆∆与中，
90=∠=∠AEC ADB
ACE DGA ∠=∠∴,又CGF DGA ∠=∠,所以CGF ACE ∠=∠.从而，在CGF ∆中，FG CF =.
（II ）在AEC RT ADG RT ∆∆与中，,CAB DAC ∠=∠因此，ADG RT ∆∽AEC RT ∆，由
此可得AC CE
AG DG =
,即CE AG AC DG ⋅=⋅
考点：三角形相似
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
23．（I ）01=+-y x ，
4)2(2
2=-+y x （II ）14=AB 【解析】
试题分析：（I ）由代入消元或加减消元，将直线l 的参数方程化为普通方程01=+-y x ，
由222sin ,x x y ρθρ==+将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程
4)2(2
2=-+y x （II ）
求直线被圆所截得的弦长，一般利用垂径定理，即
AB =离公式得
22
=
d ，代入可得14=AB
试题解析：（I ）直线l 的普通方程为01=+-y x ,曲线2C 的直角坐标方程为
4)2(22=-+y x ;（II ）解法一、曲线2C ：4)2(22=-+y x 是以点（0,2）为圆心，2为
半径的圆，圆心（0,2）到直线01=+-y x 的距离
22
=
d ，则14
2142=-=AB .
解法二、由⎩
⎨⎧=-+=+-040
122y y x y x 可解得A,B 两点的坐标为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB .
解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为
B A t t ,
将为参数）t t y t x (222221⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=
代入
042
2=-+y y x 并化简整理可得 0322
=-+t t ，从而⎩⎨
⎧-=-=+3
2
B A B A t t t t 因此，
14
4)(2=-+=B A B A t t t t AB .
考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆位置关系 24．（I ）
{}23>-<x x x 或（II ）42≤≤-a
【解析】
试题分析：（I ）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，求它们的并集得解集（II ）根据绝对值三角不等式求函数1
2)(-++=x x x f 最小值3，再解不等式
3
1≤-a ，即得
结论
试题解析：（Ⅰ）不等式5)(>x f 即为512>-++x x ，等价于⎩⎨⎧
>+----<5122x x x 或⎩⎨⎧>+-+≤≤-51212x x x 或⎩
⎨⎧
>-++>5121x x x ，解得23>-<x x 或.因此，原不等式的解集为{}23>-<x x x 或.（Ⅱ）3)1()2(12)(=--+≥-++=x x x x x f
要使
1
)
(-
≥a
x
f
对任意实数R
x∈成立，须使3
1≤
-
a
，解得4
2≤
≤
-a.考点：绝对值
定义，绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。