人教A版 高中数学必修2 第四章 《4.3空间直角坐标系》培优复习讲义

人教A 版 高中数学必修2 第四章 《4.3空间直角坐标系》培优复习讲义
一、本节主要知识点
知识点一：空间直角坐
（1）空间直角坐标系
如图，C B A D OABC '''-是单位正方体。

以O 为原点，分别以射线OA,OC,OD 的方向为正方向，以线段OA,OC,OD 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴。

这时我们说建立了一个空间直角作系Oxyz,其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面。

（2）右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）：沿x 轴正方向（0>x 时）或负方向（0<x 时）移动||x 个单位，再沿y 轴正方向（0>y 时）或负方向（0<y 时）移动||y 个单位，最后沿x 轴正方向（0>z 时）或负方向（0<z 时）移动||z 个单位，即可作出点
③已知点的位置求坐标的方法：过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于C B A ,,，点C B A ,,在x 轴、
y 轴、z 轴的坐标分别是c b a ,,，则),,(c b a 就是点P 的坐标
（3）空间直角坐标系中点的坐标
设点M 为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点P 、Q 、R 设点P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点M 对应惟一确定的有序实数组（x ，y ，z ），有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 的坐标，记作M(x ，y ，z)，这样就确定了M 点的空间坐标了，其中x 、y 、z 分别叫做点M 的横坐标、纵坐标、竖坐标。

在坐标轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ，
在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(c b c a b a ;
点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --； 点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --； 点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --； 点),,(c b a P 关于坐标平面xOy 的对称点为),,(c b a -； 点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为),,(c b a -； 点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为),,(c b a -； 点),,(c b a P 关于原点的对称点),,(c b a ---。

(4) 已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ，则线段PQ 的中点坐标为)2
,2,2(2
12121z z y y x x +++ 知识点二：空间中两点间的距离公式
(1) 已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ，则两点的距离为2
21221221)()()(||z z y y x x PQ -+-+-= ，
特殊地,点),,(z y x A 到原点O 的距离为222||z y x AO ++=
;
(2)以),,(000z y x C 为球心,r 为半径的球面方程为2
202020)()()(r z z y y x x =-+-+- 特殊地,以原点为
球心,r 为半径的球面方程为2
222r z y x =++ 二、典型例题精选
1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 例题1：点),,(c b a P 到y 轴的距离为
2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系
例题2：对于任意实数,,x y z +的最小值
3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题
(1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 (3)得到一些简单的空间轨迹方程
★热点考点题型探析★
考点1: 空间直角坐标系 题型1: 认识空间直角坐标系
例题1（1）在空间直角坐标系中，y a =表示 （ ）
A ．y 轴上的点
B ．过y 轴的平面
C ．垂直于y 轴的平面
D ．平行于y 轴的直线
（2）在空间直角坐标系中，方程x y =表示（ ）
A ．在坐标平面xOy 中，1，3象限的平分线
B ．平行于z 轴的一条直线
C ．经过z 轴的一个平面
D ．平行于z 轴的一个平面
题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题
例题2 点),,(c b a P 关于z 轴的对称点为1P ，点1P 关于平面xOy 的对称点为2P ，则2P 的坐标为
【针对性练习】
1．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B D ，1(0,0,5)A ，则1C 的坐标为 。

2．平行四边形ABCD 的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(--B A ，对角线的交点为)4,0,1(M ，则顶点C 的坐标为 , 顶点D 的坐标为
3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>
考点2：空间两点间的距离公式
题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题
例题3 如图：已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得
PA AB ⊥恒成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，说明理由。

【针对性练习】
4．已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-，当,A B 两点间距离取得最小值时，x 的值为 （ ） A ．19 B ．87- C ．87 D ．1914
5．已知球面2
2
2
(1)(2)(3)9x y z -+++-=，与点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是 。

6．已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)A B C a --，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

基础巩固训练
1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x 轴与
y 轴，x 轴与z 轴所成的角画成（ ）
A ．0
90 B ．0135 C ．045 D ．0
75
2. 点(3,4,5)P 在
yoz 平面上的投影点1P 的坐标是（ ）
A ．(3,0,0)
B ．(0,4,5)
C ．(3,0,5)
D ．(3,4,0)
3. 三棱锥ABC O -，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(C B A O 此三棱锥的体积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 6
4．设点B 是点A(2,-3,5)关于平面xOy 的对称点，则|AB|等于( )
A ．10
B ．10
C ．
38 D ．38
5．点)3,2,1(P 关于y 轴的对称点为1P ， P 关于平面xOz 的
对称点为2P ，则||21P P =
6．正方体不在同一表面上的两顶点P （-1，2，-1），Q （3，-2，3），则正方体的体积是__________
综合提高训练
7．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy ，xOz ，yOz 的距
离分别为2，2，3的点有( ) A.1个 B.2个 C.4个 D.8个 8．三角形
ABC
的三个顶点的坐标为
)4,1,6(),3,2,4(),11,2,1(--C B A ，则A B C
∆的形状为（ ）
A ．正三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
9．已知空间直角坐标系xyz O -中有一点)2,1,1(--A ，
点B 是平面xOy 内的直线1=+y x 上的动点，
则B A ,两点的最短距离是（ ）
A ．6
B ．
2
34
C ．3
D ．
2
17
10．如图，以棱长为a 的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直
角坐标系O xyz -，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在
正方体的棱CD 上。

（1）当点P 为对角线
AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，
探究PQ 的最小值； （2）当点P 在对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点时，
探究PQ 的最小值；。