广东省深圳市2020-2021学年第一学期高一数学期末考前热身押题密卷

广东省深圳市2020-2021学年第一学期数学期末考前热身押题密卷
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）． 1．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|1}B x y x ==−，则（ ） A ．A B ⊆
B ．A B A ⋃=
C ．A B =∅
D ．()I A B ⋂≠∅
2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知正数x 、y 满足1x y +=，则14
1x y ++的最小值为（ ）
A ．2
B ．
92
C ．
143
D ．5
4．若,,a b c 满足223,log 5,32a c
b ===，则
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
5．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)−上是增函数，且(2)()f x f x +=−，则有（ ）
A ．13
()()(1)32
f f f <<
B ．31
(1)()()23f f f <<
C ．
13
(1)()()32
f f f << D ．31()(1)()23
f f f << 6．函数x x
x x e e y e e
−−+=−的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知 π()0,α∈
，且3cos28cos 5αα−=，则sin α=（ ）
A ．
3
B ．23
C ．13
D ．
9
8．已知函数12 ,?0()21,0
x e x f x x x x −⎧>⎪=⎨−−+≤⎪⎩，若方程()()2
20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b
的取值范围
A ．()4,2−−
B ．(4,−−
C ．()3,2−−
D ．(3,−−
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）． 9．下列结论正确的是（ ）
A ．
x R ∀∈，12x x
+≥ B ．若0a b <<，则3
3
11a b ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．若()20x x −<，则()2log 0,1x ∈
D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104
ab <≤
10．给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）
A ．函数21
12x y −+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的最大值为
12
B ．已知函数()log 2a y ax =−（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2
C ．在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称
D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-?内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为2021
11．已知函数()sin 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）
A ．()g x 的图象关于直线3
x π
=
对称
B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫
−− ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．()g x 在区间70,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个零点 12．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()4f x f x =−，()()22f x f x +=−，当02x ≤≤时，
()2f x x x =−，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 的最小正周期为4
C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为1
2−
D ．方程()3log f x x =有10个根
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）．
13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 14．计算1
2
5
log 25ln (0.64)+−=__________．
15．已知:64p x −≤，:11q a x a −<<+，a R ∈，且p 是q 成立的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．
16．已知函数()2lg ,02,0x x f x x x x ⎧>=⎨−−≤⎩，若函数[]2
2()3()1y f x mf x =++有6个不同的零点，则
实数m 的范围是_______.
四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算下列各式的值：
（1）3
5log 229814log 3log 5log 4
−−+ （2）2
1
0.75013
110.02781369−−−⎛⎫
−−++− ⎪⎝⎭
（）.
18．已知m ∈R ,命题p :对[]0,1x ∀∈,不等式2223x m m −≥−恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈−，使得
m ax ≤成立.
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）当1a =时，若p q ∧假，p q ∨为真，求m 的取值范围.
19．已知函数()2sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为
π，且图像关于3
x π
=
对称.
（1） 求()y f x =的解析式；
（2） 先将函数()f x 的图象向左平移6
π个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，
得到函数()g x 的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥x 取值范围.
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2
1200800002
y x x =−+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
21．已知函数()()log 1x
a f x a =−（0a >，1a ≠）
（1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；
（3）当2a =时，若不等式()()2log 12x
f x m −+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取
值范围.
22．定义在(1,1)−上的函数()y f x =满足：对任意的x ，(1,1)y ∈−都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫
++= ⎪+⎝⎭．
（1）求(0)f 的值；
（2）若当(1,0)x ∈−时，有()0f x >，求证：()f x 在(1,1)−上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：11021f x f x ⎛
⎫⎛⎫
++
> ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭
．
参考答案与解析
1．A
∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，
由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅， 2．A
求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 3．B
1x y +=，所以，(1)2x y ++=，
则141441412()[(1)]()52591111x y x x y x y x y y x y ++
=+++=+++=++++，
所以，14
9
12
x y
++， 当且仅当4111
x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当23
13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
因此，141x y ++的最小值为92， 4．A
因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>. 又323c =<，故1c <. 综上，b a c >>，故选A . 5．A 解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴−=−，
又
(2)()f x f x +=−
11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫
∴=−−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
3112222f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=−+=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 又11
11023
−−<−
<−≤，且函数在区间[1,0)−上是增函数，
11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴−<−<−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫
∴−−>−−>−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫
∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
6．A
x x
x x e e y e e −−+=−2211x
e =+−为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)−∞+∞是减函数， 7．A
3cos28cos 5αα−=，得26cos 8cos 80αα−−=，
即23cos 4cos 40αα−−=，解得2
cos 3
α=−或cos 2α=（舍去），
又(0,),sin 3
απα∈∴==. 8．
D
设()t f x =，则原方程化为220t bt ++=，
∵方程()()2
20f x bf x ++=有8个相异实根，
∴关于t 的方程220t bt ++=在(1,2)上有两个不等实根． 令2()2g t t bt =++，(1,2)t ∈．
则28012
2
(1)30(2)260b b g b g b ⎧∆=−>⎪
⎪<−<⎪⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩
，解得3b −<<−． 9．BD 当0x <时，1
x x
+
为负数，所以A 不正确；
若0a b <<，则11
0b a
<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，
所以11
()()f f a b
>，即3311()()a b >，所以B 正确；
若()20x x −<，则02x <<，2log (,1)x ∈−∞，所以C 不正确；
若0a >，0b >，1a b +≤21
,0()224
a b a b ab ++≤<≤= 所以D 正确. 10．AB
1、函数21
12x y −+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
中，若令2
1(,1]t x =−+∈−∞，即有
11()[,)22
t y =∈+∞，故A 错误； 2、函数()log 2a y ax =−（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，知：2
1a x
<<
，即有(1,2]a ∈，故B 错误； 3、函数2x y =与2log y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故C 正确；
4、定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-?内有1010个零点，由函数的对称性可知()f x 在()0,+?内有
1010个零点，即函数()f x 的零点个数为2021，故D 正确； 11．CD
2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，所以A 选项错误； ()sin 0336g πππ⎛⎫
=+≠ ⎪⎝⎭
，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫
⎛⎫∈−−+∈− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，
所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫
−− ⎪⎝⎭
上单调递增，所以C 选项正确；
令()sin 203g x x π⎛
⎫=+= ⎪
⎝
⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=−∈， 所以在区间70,
6
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个零点，所以D 选项正确. 12．ABD
【详解】()f x 是定义域为R 的函数，
由()()22f x f x +=−，则()()4f x f x =−，即()()4f x f x =−， 又()()4f x f x =−，所以()()44f x f x −=−，即()()44f x f x −−=−⎡⎤⎣⎦， 所以()()f x f x −=， 所以函数()f x 是偶函数，故A 正确；
由()()4f x f x =−，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B 正确；
当02x ≤≤时，()2
f x x x =−，函数的最小值为1111242
4f ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，
由()()22f x f x +=−，所以2x =为对称轴，
所以当
04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为1
4
−，故C 不正确； 作出0x >时()y f x =与3log y x =的图像，由图像可知0x >时，函数有5个交点， 又()y f x =与3log y x =为偶函数，由对称性可知方程()3log f x x =有10个根， 故D 正确.
故选：ABD 13．5
1335,0,0,155x y xy x y y x
+=>>∴
+=，
()13133121334345555555x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
31255x y
y x =，即21x y ==时取等号． 14．
1710
. 解：1
2
5
log 25(0.64)+
11
2
252
64log ln ()0
510e =+−
182120
=+− 1710
=
15．[]3,9
解不等式64x −≤，即464x −≤−≤，得210x ≤≤，:210p x ∴≤≤. 由于p 是q 成立的必要不充分条件，则()
[]1,12,10a a −+，所以12
110a a −≥⎧⎨+≤⎩
，
解得39a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]3,9，故答案为[]3,9. 16．1m <−
解：令t ＝f （x ），则原函数等价为y ＝2t 2+3mt +1． 做出函数f （x ）的图象如图，
图象可知
当t ＜0时，函数t ＝f （x ）有一个零点． 当t ＝0时，函数t ＝f （x ）有三个零点． 当0＜t ＜1时，函数t ＝f （x ）有四个零点． 当t ＝1时，函数t ＝f （x ）有三个零点． 当t ＞1时，函数t ＝f （x ）有两个零点．
要使关于x 的函数y ＝2f 2（x ）+3mf （x ）+1有6个不同的零点， 则函数y ＝2t 2+3mt +1有两个根t 1，t 2， 且0＜t 1＜1，t 2＞1或t 1＝0，t 2＝1，
令g （t ）＝2t 2+3mt +1，则由根的分布可得， 将t ＝1，代入得：m ＝﹣1，
此时g （t ）＝2t 2﹣3t +1的另一个根为t ＝
1
2
，不满足t 1＝0，t 2＝1， 若0＜t 1＜1，t 2＞1，则()()2=980133000m g m g ⎧∆−>⎪
=+<⎨⎪>⎩
，
17．（1）3
4
−；（2）5−．
（1）原式=42413log 338144⎛⎫
⨯−+=− ⎪
⎝
⎭. （2）原式=
101
3627133
−++− =-5 . 18．（1）[]1,2；（2）()(],11,2−∞.
（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m −≥−恒成立，
()2min 223x m m ∴−≥−，即232m m −≤−，即2320m m −+≤，解得12m ≤≤， 因此，若p 为真命题时，实数m 的取值范围是[]1,2；
（2）1a =，且存在[]1,1x ∈−，使得m ax ≤成立，m x ∴≤，命题q 为真时，1m £. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p 、q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则12
1m m ≤≤⎧⎨>⎩
，解得12m <≤；
当p 假q 真时，12
1m m m ⎧⎨
≤⎩
或，即1m <.
综上所述，m 的取值范围为()(],11,2−∞.
19．
（1）由已知可得T π=,
2π
πω
=，∴2ω=
又()f x 的图象关于3
x π
=对称，
∴23
2
k π
π
ϕπ⋅+=+，∴6
k π
ϕπ=−
，k Z ∈
∵2
2
π
π
ϕ−
<<
，∴6
π
ϕ=−
.
所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=− ⎪⎝
⎭ （2）由（1）可得()2sin 26f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴()2sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 由22262k x k π
π
π
ππ−≤+≤+得，22233
k x k ππππ−≤≤+， ()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈.
∵2sin 6x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
sin 6x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴222363k x k πππππ+≤+≤+， ∴22,62x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
. 20．
（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002
y x x x =−+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为
1800002002y x x x =+−，
由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x
=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；
（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=−−+=−+−=−−− ⎪⎝⎭
， 400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，
当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==−.
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.
21．（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=− ⎪⎝
⎭，故：1102x −>，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0−∞； （2）由题意知，()()log 1x a f x a =−（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()
0,x ∈+∞
上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩
，∴()0,1x ∈. （3）设()()()2221log 12
log 21x x x g x f x ⎛⎫−=−+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t −==−++，[]1,3x ∈， 故[]213,9x +∈，2171,2139x t ⎡⎤=−∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又∵()()2log 12x f x m −+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，
故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
. 22．（1）令0x y ==，
则()()()0000010f f f f +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭
， ∴()00f =．
（2）令y x =−，则()()()2001x x f x f x f f x −⎛⎫+−=== ⎪−⎝⎭
， ∴()()f x f x =−−，
∴()
f x 是奇函数． 设()12,1,1x x ∈−，且12x x <，
则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫−−=+−= ⎪−⋅⎝
⎭． ∵()12
1,1x x <∈−， ∴21
0x x −>， ∴21
0x x −>，1211x x −<<， ∴1212
0 1?x x x x −<−⋅， ∴ 121201x x f x x ⎛⎫−> ⎪−⋅⎝
⎭， ∴ ()()12f x f x >．
∴ ()f x 在()1,1−上是单调递减函数．
（3）不等式11021f x f x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭可化为111211f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>−= ⎪ ⎪ ⎪−−⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
． ∵ ()f x 在()1,1−上是减函数， ∴1
11
2111111
21
x x x x ⎧−<+<⎪⎪⎪−<<⎨−⎪⎪+<⎪−⎩，解得312x −<<
−， ∴原不等式的解集为312x x ⎧⎫
−<<−⎨⎬⎩⎭．。