【精品】2015年河南省郑州市星源外国语学校高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年河南省郑州市星源外国语学校高一（上）期中数
学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∪B）=（）
A．{1，2}B．{1，2，3，4}C．∅D．{φ}
2．（5分）化简的结果是（）
A．a B．C．a2D．
3．（5分）下列函数是幂函数的是（）
A．y=2x2B．y=x3+x C．y=3x D．y=
4．（5分）如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（）
A．（﹣2，6）B．[﹣2，6]C．{﹣2，6}D．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）5．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（x+2）的定义域为（）A．[0，1]B．[﹣2，﹣1]C．[2，3]D．无法确定
6．（5分）若函数则f（log43）=（）
A．B．3 C．D．4
7．（5分）已知函数f（x）=x2﹣kx+4在（﹣∞，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则k等于（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
8．（5分）函数f（x）=|log2x|的图象是（）
A．B．C．
D．
9．（5分）函数f（x）=（x∈R）的值域是（）
A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1]
10．（5分）设A={（x，y）||x+1|+（y﹣2）2=0}，B={﹣1，0，1，2}，则A、B 两个集合的关系是（）
A．A⊇B B．A⊆B C．A∈B D．以上都不对
11．（5分）函数f（x）=log2的图象（）
A．关于原点对称B．关于直线y=﹣x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称
12．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={4，5，6}，f：A→B为集合A到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）种．
A．6 B．7 C．8 D．27
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围是．
14．（5分）①附中高一年级聪明的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的正整数；
④的近似值；
考察以上能组成一个集合的是．
15．（5分）已知2x=5y=10，则+=．
16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f（x）=﹣1，f（﹣1）=2，则f（2008）=．
三．解答题（共70分）
17．（10分）已知：集合，集合B={y|y=x2﹣2x+1，x∈（0，3）}，求A∪B．
18．（12分）（1）
（2）已知．求的值．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1．求：
（1）f（x）；
（2）解不等式f（x）＜1．
20．（12分）函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2+3x+2
（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最值．
21．（12分）商店出售茶壶和茶杯，茶壶单价为每个20元，茶杯单价为每个5元，该店推出两种促销优惠办法：
（1）买1个茶壶赠送1个茶杯；（2）按总价打9.2折付款．
某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个，（不少于4个），若以购买茶杯数为x个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？
22．（12分）已知函数f（x）=x+
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（3）利用函数f（x）的性质，求函数f（x）在[﹣6，﹣3]上的值域．
2014-2015学年河南省郑州市星源外国语学校高一（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∪B）=（）
A．{1，2}B．{1，2，3，4}C．∅D．{φ}
【解答】解：∵A={1，3，4}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）=∅．
故选：C．
2．（5分）化简的结果是（）
A．a B．C．a2D．
【解答】解：．
故选：B．
3．（5分）下列函数是幂函数的是（）
A．y=2x2B．y=x3+x C．y=3x D．y=
【解答】解：由函数的定义知：
A是二次函数，
B是三次函数，
C是指数函数，指数函数系数必须是1，；
D是幂函数，幂函数x前面的系数必须为1．
故选：D．
4．（5分）如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（）
A．（﹣2，6）B．[﹣2，6]C．{﹣2，6}D．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）【解答】解：∵二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不同的零点
∴△＞0
即m2﹣4（m+3）＞0
解之得：m∈（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）
故选：D．
5．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（x+2）的定义域为（）A．[0，1]B．[﹣2，﹣1]C．[2，3]D．无法确定
【解答】解：∵原函数的定义域为[0，1]，
∴0≤x+2≤1，解得﹣2≤x≤﹣1
∴函数fx+2）的定义域为[﹣2，﹣1]．
故选：B．
6．（5分）若函数则f（log43）=（）
A．B．3 C．D．4
【解答】解：∵0＜log43＜1，∴f（log43）=4log43=3
故选：B．
7．（5分）已知函数f（x）=x2﹣kx+4在（﹣∞，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则k等于（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣kx+4在（﹣∞，1）上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数
∴函数的对称轴为直线x=1
即=1
解得k=2
故选：B．
8．（5分）函数f（x）=|log2x|的图象是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：∵f（x）=
则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在Y轴右侧；值域为：（0，+∞）即函数图象只出现在X轴上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的曲线．分析A、B、C、D四个答案，只有A满足要求
故选：A．
9．（5分）函数f（x）=（x∈R）的值域是（）A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1]
【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R），
∴1+x2≥1，
所以原函数的值域是（0，1]，
故选：B．
10．（5分）设A={（x，y）||x+1|+（y﹣2）2=0}，B={﹣1，0，1，2}，则A、B 两个集合的关系是（）
A．A⊇B B．A⊆B C．A∈B D．以上都不对
【解答】解：由于A={（x，y）||x+1|+（y﹣2）2=0}，则集合A为数对（﹣1，2）组成的集合
而集合B={﹣1，0，1，2}的元素为实数，故A、B两个集合无任何关系．
故选：D．
11．（5分）函数f（x）=log2的图象（）
A．关于原点对称B．关于直线y=﹣x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称
【解答】解：∵函数f（x）=log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．
再根据f（﹣x）=log=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，
故选：A．
12．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={4，5，6}，f：A→B为集合A到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）种．
A．6 B．7 C．8 D．27
【解答】解：由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究
若函数的是三对一的对应，则值域为{4}、{5}、{6}三种情况
若函数是二对一的对应，{4，5}、{5，6}、{4，6}三种情况
若函数是一对一的对应，则值域为{4，5，6}共一种情况
综上知，函数的值域C的不同情况有7种
故选：B．
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围是
．
【解答】解：a=0时，ax2﹣3x+2=0即x=，A=，符合要求；
a≠0时，ax2﹣3x+2=0至多有一个解，△=9﹣8a≤0，
综上，a的取值范围为
故答案为：
14．（5分）①附中高一年级聪明的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的正整数；
④的近似值；
考察以上能组成一个集合的是②③．
【解答】解：因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的，所以②能构成集合；
不小于3的正整数是确定的，所以③能构成集合；
附中高一年级聪明的学生，不是确定的，原因是没法界定什么样的学生为聪明的，所以①不能构成集合；
的近似值没说明精确到哪一位，所以是不确定的，故④不能构成集合．
15．（5分）已知2x=5y=10，则+=1．
【解答】解：因为2x=5y=10，
故x=log210，y=log510
=1
故答案为：1．
16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f（x）=﹣1，f（﹣1）
=2，则f（2008）=．
【解答】解：∵f（x+3）•f（x）=﹣1，f（﹣1）=2
∴f（﹣1+3）•f（﹣1）=﹣1，f（2）=﹣
由f（x+3）=﹣，可得：f（x+6）=﹣=f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，
∴f（2008）=f（6×334+4）=f（4）=f（﹣2）=﹣f（2）=．
三．解答题（共70分）
17．（10分）已知：集合，集合B={y|y=x2﹣2x+1，x∈（0，3）}，求A∪B．
【解答】解：∵集合={x|﹣3≤x≤1}
集合B={y|y=x2﹣2x+1，x∈（0，3）}={x|0≤x＜4}
∴A∪B=[﹣3，4）．
18．（12分）（1）
（2）已知．求的值．
【解答】解：（1）
=
=
=；
（2）由得：﹣1＜x＜1．所以f（x）的定义域为：（﹣1，1），
又=，
所以f（x）为奇函数，所以=0．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1．求：
（1）f（x）；
（2）解不等式f（x）＜1．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴对于任意实数x，有f（x）=﹣f（﹣x），且f（0）=0，
设x＜0，则﹣x＞0，于是f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x﹣1）=，
综上可知：f（x）=
（2）当x＞0时，由2x﹣1＜1，解得x＜1，∴0＜x＜1；
当x=0时，f（0）=0＜1，∴x=0适合；
当x＜0时，f（x）=＜1，∴x＜0皆适合．
综上可知：不等式f（x）＜1的解集是{x|x＜1}．
20．（12分）函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2+3x+2
（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最值．
【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，由题意可得f（﹣x）=（﹣x）2+3（﹣x）+2=x2﹣3x+2=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2+3x﹣2．
再根据f（x）为奇函数，f（0）=0，可得f（x）=．
（2）当x∈[1，3]时，由于二次函数f（x）在[1，]上单调递增，在[，3]上单调递减，
故当x=时，f（x）取得最大值为，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．
21．（12分）商店出售茶壶和茶杯，茶壶单价为每个20元，茶杯单价为每个5元，该店推出两种促销优惠办法：
（1）买1个茶壶赠送1个茶杯；（2）按总价打9.2折付款．
某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个，（不少于4个），若以购买茶杯数为x个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论
该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？
【解答】解：由题意，（1）买1个茶壶赠送1个茶杯，y1=20×4+5（x﹣4）=5x+60，（x≥4）；
（2）按总价打9.2折付款．y2=（20×4+5x）×9.2=4.6x+73.6，（x≥4）；
由y1=y2，即5x+60=4.6x+73.6，得x=34．
∴当x=34时，两种办法付款相同
由y1＜y2，即5x+60＜4.6x+73.6，得4≤x＜34
∴当4≤x＜34时，按优惠办法（1）更省钱；
由y1＞y2，即5x+60＞4.6x+73.6，得x＞34
∴当x＞34时，按优惠办法（2）更省钱．
22．（12分）已知函数f（x）=x+
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（3）利用函数f（x）的性质，求函数f（x）在[﹣6，﹣3]上的值域．
【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），
则函数为减函数；
（2）设3≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）•（），
∵3≤x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞3，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在区间[3，+∞）上是单调增函数；
（3）∵函数f（x）是奇函数，且在区间[3，+∞）上是单调增函数，
∴函数f（x）在[﹣6，﹣3]上也为增函数，
∴f（﹣6）≤f（x）≤f（﹣3），
即≤f （x ）≤﹣6，
故函数f （x ）在[﹣6，﹣3]上的值域为[
，﹣6]．
赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】
几何最值模型：
图形特征： P
A B
l
运用举例：
1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为 M F
E
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

A
3.在Rt △POQ 中，OP =OQ =4．M 是PQ 中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B 。

（1）求证：MA =MB ；
（2）连接AB ．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，
求出最小值；若不存在，请说明理由．
A
B M
P
O
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

B
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.。