第十章鸽笼原理

例：一个国际象棋选手为参加国际比赛，突击练 习77天，要求每天至少下一盘棋，每周至多下12 盘棋。证明:无论如何安排总可使他在这77天里有 连续几天共下了21盘棋。 证明 ：用 ai表 示 从 第 1天 到 第 i天下棋的总盘 数 (i=1,2,…,77)。 由于规定每天至少下一盘棋，且每周至多下12盘 棋，故有：1≤a1<a2<…<a77≤12×(77/7) =132 现构造一个新的序列:a1+21<a2+21<…<a77+21。 现有这样的序列: a1,…,a77,a1+21,…,a77+21， 如果要求证明无论如何安排总可使他在这77天里 有连续几天共下了22盘棋,怎样做?
推论10.1:若将n(r-1)+1个元素分成n个组， 则至少有一个组中含有r个或者更多的元 素(这里n、r皆为正整数)。
推 论 10.2: 若 n 个 正 整 数 m1,m2,…,mn 的 平 均数满足不等式:
(m1+m2+…+mn)/n>r-1 ， 则 m1,m2,…,mn 中至少有一个不小于r。
小盘上共有200段，故小盘上的所有段在旋转一周 后，与大盘对应段构成的同色组共有 20000个。
设转i格的同色组为mi(这里i=1,2,…,200)，
例 10.6 ： 设 a1,a2,…,an2+1 ， 是 n2+1 个 不 同 实数的序列，则必可从此序列中选出n+1 个数的子序列，使这子序列为递增序列 或递减序列。
10.2鸽笼原理的加强形式
定理10.3:设q1,q2,…,qn都是正整数，若把 q1+q2+…+qn-n+1 个 元 素 分 成 n 个 组 ， 则 必然发生: 或者第一组中至少有q1个元素； 或 者 第 二 组 中 至 少 有 q2 个 元 素 ； … ； 或 者第n组中至少有qn个元素。 证明:用反证法证明。
证明：因为任何正整数n都可表示成n=2a·b(这里 a=0,1,2,…，且b为奇数)。 设取出的n+1个数为k1,k2,…,kn&,a2,…,an为整数，则存在k和l(0k<ln),使 得ak+1+ak+2+…+al被n整除。 证明:构造Si=a1+a2+…+ai, 则有S1,S2,…,Sn, 余数有n个,但为0则表示被n整除,因此考虑分开 讨论
例10.5：两个同心圆盘的每个圆周均分为 200 段，从大盘上任选100段涂上红色，其余涂上 蓝色，而在小盘的每个小段上任意涂上红色或 蓝色。证明在旋转小盘时可以找到某个位置， 使得小盘上至少有100个小段与大盘上对应段 颜色相同。
证明：固定大盘，对小盘上任一段，每转一格， 因大盘不动，就与大盘某段组成一种颜色，旋转 一周200格，就与大盘上的所有段构成200种颜色 组合， 其中同色的有100组。
证明:若存在长度为n+1的递增序列，结 论成立。
若 不 存 在 长 度 为 n+1 的 递 增 序 列 ， 目 标 证明存在长度为n+1的递减序列。
首 先 要 找 到 一 个 长 度 为 n+1 的 子 序 列 ， 然后证明是递减序列
作业: P221 1,3,4,5,7 课件地址：
ftp://10.11.2.154 集合与图论
鸽笼原理是解决组合数学中一些存在性问题的 基本工具。
最早是由狄利克雷(Dirichlet)提出的，又称为 抽屉原理、鞋盒原理。
例：在n+1个小于或等于2n的互不相等的正整数 中，必存在两个互质的数。
证明：s=n+1,关键是如何构造鸽笼。
注意到这样的事实：任何相邻两数互质。
因 此 可 以 考 虑 把 1,2,…,2n 这 2n 个 数 分 成 n 个 组 : {{1,2},{3,4},…,{2n-1,2n}}， 例：在1,2,…,2n中任取n+1个互不相同的数中， 必存在两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
第十章鸽笼原理
组合数学一般可分为四个方面: 判定所提出问题的解是否存在的存在性问题、
确定有解问题其不同解的个数的计数问题、
对可解问题去把解构造出来的构造性算法
从问题的多种构造性算法中择优改进的优化问 题。
组合数学的内容是很丰富的，只涉及组合数学 中的存在性问题和计数问题，为以后学习和研 究计算机算法的设计和分析打下基础。