高中数学第四章圆与方程章末检测新人教A版必修2(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第四章圆与方程章末检测新人教A版必修2 编辑整理：
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1.1.1 集合的含义与表示
章末检测
时间：120分钟满分:150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．空间两点A（3，－2，5），B（6,0，－1）之间的距离为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：|AB|＝错误!＝错误!＝7。

答案：B
2．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是（）
A．k＜2 B．k＞2 C．k≥2 D．k≤2
解析：若方程表示圆，则(－4）2＋42－4(10－k)＞0,
解得k＞2。

答案：B
3．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析:因为圆心是(1,2），所以将圆心坐标代入各选项验证知选C。

答案：C
4．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个交点，则a应满足（）A．－3＜a＜7 B．－6＜a＜4
C．－7＜a＜3 D．－21＜a＜19
解析：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0，
配方得（x－a）2＋(y＋2）2＝16，
圆心为(a,－2），半径r＝4.
若直线与圆总有两个交点,
则错误!＜4，∴｜4a＋4|＜20，
∴｜a＋1｜＜5。

∴－6＜a＜4。

答案：B
5．已知直线l1：（k－3)x＋（4－k）y＋1＝0与l2：2（k－3）x－2y＋3＝0平行，则k的值是（)
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
解析：当k＝3时,两直线平行；当k≠3时,由两直线平行，斜率相等，得错误!＝k－3，解得k ＝5.
答案：C
6．直线l：y＝k错误!与圆C：x2＋y2＝1的位置关系为（)
A．相交或相切B．相交或相离
C．相切D．相交
解析：解法一因为直线y＝k错误!经过点错误!，
而点错误!在圆x2＋y2＝1内，所以直线和圆相交．
解法二圆C的圆心(0，0）到直线y＝k错误!的距离为d＝错误!,因为d2＝错误!〈错误!<1，所以直线与圆相交．
答案:D
7．当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3，0)连线的中点M的轨迹方程是( ) A．（x＋3）2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3）2＋4y2＝1 D．(2x＋3）2＋4y2＝1
解析：设M（x，y),则P（2x－3，2y）．
因为点P在圆x2＋y2＝1上，
故有（2x－3）2＋4y2＝1。

答案：C
8．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋（y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点）的面积为（)
A。

错误! B.错误! C．2错误! D.错误!
解析:该圆的圆心为A(2，－3)，半径长r＝3，圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!，弦长为2错误!＝29－5＝4。

因为原点到直线的距离为错误!＝错误!，
所以S＝错误!×4×错误!＝错误!。

答案:D
9．设A（1,1，－2),B(3,2,8)，C(0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A.错误! B。

错误! C.错误! D。

错误!
解析:利用中点公式，得P错误!，由两点间距离公式计算知｜PC｜＝错误!＝错误!＝错误!.
答案：D
10．若过定点M(－1,0）且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是( )
A．0＜k＜错误!B．－错误!＜k＜0
C．0＜k＜错误!D．0＜k＜5
解析：圆x2＋4x＋y2－5＝0可变形为（x＋2）2＋y2＝9,如图所示．
当x＝0时，y＝±错误!，结合图形可得A(0，错误!）,
∵k AM＝错误!＝错误!，
∴k∈（0，5）．
答案：A
11．动圆x2＋y2－(4m＋2）x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程是( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－1＝0（x≠1)
C．x－2y－1＝0(x≠1）D．x－2y－1＝0
解析：圆心为（2m＋1，m）,r＝|m｜(m≠0)．
不妨设圆心坐标为（x，y），
则x＝2m＋1，y＝m，∴x－2y－1＝0.
又∵m≠0，∴x≠1，故选C。

答案：C
12．过点P（2,3）向圆x2＋y2＝1作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线的方程为( ）A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为(x－1)2＋错误!2＝错误!。

显然这两个圆是相交的，由错误!
得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13．圆心为点(2，－3）,且被直线2x＋3y－8＝0截得的弦长为4错误!的圆的标准方程为____________．
解析:∵圆心(2,－3）到直线距离d＝错误!＝错误!＝错误!，∴R2＝d2＋(2错误!）2＝13＋12＝25，∴R＝5.
答案：（x－2)2＋(y＋3）2＝25
14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a〈3)相交于点A、B，弦AB的中点为(0,1），则直线l 的方程为____________．
解析：依题意得圆心坐标为（－1，2），且直线l与由圆心与点（0,1）确定的直线相互垂直,因此直线l的斜率等于1，又该直线l经过点（0, 1），所以直线的方程是y－1＝x，即x－y ＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
15．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2),B（1,－3,1），点M在y轴上，且M到A与到B 的距离相等，则M的坐标是________．
解析：设M(0，y，0），由1＋y2＋4＝1＋(－3－y）2＋1，可得y＝－1，故M（0,－1，0)．
答案：(0，－1，0）
16．点P为圆x2＋y2＝1上的动点,则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为________．解析:点P到直线3x－4y－10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．
d
＝错误!－1＝错误!－1＝1.
min
答案：1
三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)已知圆M:x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
解析：由圆M和圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．
两圆方程相减得直线AB的方程为
2（m＋1)x－2y－m2－1＝0.
∵A、B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，直线AB过点N(－1，－1）．
∴2(m＋1）×(－1）－2×（－1）－m2－1＝0。

解得m＝－1。

故圆M的圆心为M（－1，－2）．
18．（本小题满分12分)已知圆C：(x－1）2＋y2＝9内有一点P（2，2)，过点P作直线l交圆C于A,B两点．
（1)当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程．
解析：（1）已知圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1,0），因为直线l过点P，C,所以直线l 的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1），即2x－y－2＝0.
(2）当弦AB被点P平分时，直线l垂直于PC，直线l的方程为y－2＝－错误!(x－2），即x＋2y－6＝0。

19．(本小题满分12分）已知圆C：x2＋(y－1）2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R）．（1)判断直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
解析：（1)直线l可变形为y－1＝m（x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，又错误!＝1〈错误!，所以点D在圆C内,则直线l与圆C必相交．
（2）由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan 120°＝－错误!，即 m＝－错误!。

此时，圆心C(0,1)到直线l：错误!x＋y－错误!－1＝0的距离d＝错误!＝错误!，又圆C的半径r ＝错误!，
所以|AB｜＝2r2－d2＝2 错误!＝错误!。

20．(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2－4mx－2y＋8m－7＝0，（m∈R)．
（1)试求m的值，使圆C的面积最小；
(2)求与满足（1)中条件的圆C相切,且过点（4，－3)的直线方程．
解析：配方得圆的方程为(x－2m)2＋(y－1）2＝4（m－1）2＋4。

（1）当m＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．
（2)当m＝1时，圆的方程为(x－2)2＋（y－1）2＝4。

当斜率存在时设所求直线方程为y＋3＝k(x－4)，
即kx－y－4k－3＝0。

由直线与圆相切，所以错误!＝2,
解得k＝－错误!.所以切线方程为y＋3＝－错误!(x－4），即3x＋4y＝0。

又过(4，－3)点，且与x轴垂直的直线x＝4，也与圆相切．
所以所求直线方程为3x＋4y＝0及x＝4。

21。

（本小题满分13分)如图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1,|O1O2|＝4。

过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM,PN(M，N为切点），使得|PM｜＝
错误!｜PN｜。

试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解析:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则O1（－2,0），O
2
(2,0）．
由已知|PM|＝2|PN|,得|PM｜2＝2|PN|2。

因为两圆的半径长均为1,
所以|PO1|2－1＝2(|PO2｜2－1)．
设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2－1＝2［（x－2)2＋y2－1],
即（x－6)2＋y2＝33，
所以所求动点P的轨迹方程为(x－6）2＋y2＝33.
22．(本小题满分13分）已知：以点C错误!（t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y 轴交于点O、B，其中O为原点．
(1）求证：△OAB的面积为定值;
（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON,求圆C的方程．
解析:(1)证明：∵圆C过原点O，∴r2＝OC2＝t2＋错误!。

设圆C的方程是（x－t）2＋错误!2＝t2＋错误!。

令x＝0，得y1＝0，y2＝错误!；令y＝0,得x1＝0,x2＝2t。

∴S△OAB＝错误!OA×OB＝错误!×错误!×｜2t｜＝4,
即△OAB的面积为定值．
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.
∵k MN＝－2,∴k OC＝1
2。

∴直线OC的方程是y＝错误!x。

∴2
t
＝错误!t。

解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1)，OC＝错误!，
此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝错误!<错误!，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝错误!，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝错误! >错误!，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5。