相似三角形的期末复习4：相似与圆的综合

相似三角形的期末复习讲义3:圆与相似一．知识清单
1.圆的基本性质
2.相似三角形的性质和判定
3.圆与相似常见的模型
4.圆与相似常见的辅助线
2015秋•北塘区期末）如图，在AB=AC=10，以AB 为直径的BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠A ，tan ∠CBF=，则CF 的长为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC 于点E ，交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC=2CD ；③线段CD 是CE
与CO 的比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
4.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点G,点F 是CD 上一点,且满足CF:FD=3:7,连接AF 并延长交⊙O 于点E,连按AD 、DE,若CF=3,AF=3,给出下列结论:①FG=2；②
65tanE =；③
65
49=DEF S △.其中正确的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
5.在△ABC 中，AB=415，AC=5，BC=11则△ABC 的外接圆半径为_________。

6.如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点
F ，则EF:BF= .
7. 如图，矩形ABCD 的长为6，宽为4，以D 为圆心，DC 为半径的圆弧与以BC 为直径的半
圆O 相交于点F ，连接CF 并延长交BA 的延长线于点H ，FH•FC= ．
8.（2015秋•锡山区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP
并延长，交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接
EF ，则EF 的长为 ．
9.如图，已知△ABC.
（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
（2）若AB=8，AC=5，BC=7，求△ABC的外接圆半径R.
10．（2015秋•工业园区期末）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：AE=CE；
（2）若CE∥AB，求证：DE2=AE•AD．
11.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．
（1）求圆O的半径；
（2）求证：△ADG∽△AFD；
（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．
13.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD=34，
（1）求∠C的度数；
（2）连结AC交BD于E，必有△ABE∽△CDE，若E为AC的中点，且AB=2AE，请再图中找到一个不同于△CDE的三角形，使它与△ABE相似，并证明你的结论。

（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积。

变式训练：
一．选择题
1.如图，点A的坐标为A（8，0），点B在y轴正半轴上，且AB=10，点P是△AOB外接圆上一点，且∠BOP=45°，则点P的坐标为（）
A.（7，7）
B.（72，72）
C.（52，52）
D.（5，5）
2.（2017秋•宁海县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（不与A、B重合），∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，则下列结论不正确的是（）
A.AB2=2BD2
B.AC•BC=CE•CD
C.BD2=DE•DC
D.AC•BC+BD2=AB2
3.（2017秋•杭州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=120°，AC平分∠BAD，AC 与BD相交于E点，下列结论错误的是（）
A.△BDC为等边三角形
B.∠AED=∠ABC
C.△ABE∽△DBA
D.BC2=CE•CA
4.如图，AB是⊙O的直径且AB=43，点C是OA的中点，过点C作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AF•AE的值为（）
A.83
B.12
C.63
D.93
5.如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD2的值为（）
A.14
B.15
C.18
D.12
6.如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 交AB 于点D ，E 是OB 上的一点，直线CE 与⊙O 交于点F ，连结AF 交直线CD 于点G ，AC=22
,则AG AF 是( )
A.10
B.12
C.16
D.8
7.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ．点F 是CD 上一点，且满足=，连接AF
并延长交⊙0于点E ．连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3．给出下列结论： ①△ADF ∽△AED ；
②FG=2；③tan ∠E=
；④S △DEF =4,其中正确的是（ ） A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
8.（2015秋•丹江口市期末）如图，D 是正△ABC 的外接圆⊙O 上弧AB 上一点，给出下列结
论：①∠BDC=∠ADC=60°；②AE•BE=CE•ED ；③CA 2=CE•CD ；④CD=BD+AD ．其中正确的个
数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
9.（2017秋•柯桥区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，点D 在半径OA 上，过
点D 的弦FG ⊥AB ，点F 在上，射线CD 交⊙O 于点E ，若CF ∥BE ，则在①∠FBA=∠CBF+∠ABE ，
②△BCF ∽△BDE ，③FG=FB ，④S △BCF +S △BDE =S △BCD ，这四个结论中，正确的是（ ）
A.①③
B.②④
C.②③④
D.①②③④
10.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°．AB=BC ．点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B
作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，
给出以下四个结论：①AG ：AB=AF ：FC ；②若点D 是AB 的中点，则3AF=2AB ；③当B 、
C 、F 、
D 四点在同一个圆上时，DF=DB ；④若DB ：AD=1：2 ，则S △ABC =9S △BDF ，其中正确
的结论序号是（ ）
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
二．填空题
1.已知△ABC 是⊙
O
的内接三角形，
AD
是BC 边上的高，AC=3，AB=5，AD=2，此圆的直径等
于．
2.如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂
4.如图，▱ABCD的A、B、D三点在弧BD上，过A的直线PA交CB的延长线于P，若∠PAB=∠DBC，BC=2AB，▱ABCD的面积为8，则△APB的面积为．
5.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE AB．其中正确结论的序号是．
6.如图，将弧BC 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是．
7.如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为G，F是CD延长线上的一点，AF交⊙O
于点E，连接CE．若CF=10，AC:AF=4:5，则CE的长为．
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB=2，BC=4，E是BC的中点，AE的延长线交⊙O 于点F，则EF的长是．
9.（2017秋•越城区期末）如图，圆内接六边形ABCDEF中AB=CD=EF，且三条对角线AD、BE、CF交于点P，CE与AD交于点Q，已知AC=26，CE=39，那么CQ•QE=．
10.如图，已知点C是以AB为直径的半圆上的动点，AB=10；连结BC、AC，并延长AC至点D，使DC=AC，过D作DE⊥AB于E，ED交BC于点F.
（1）当∠ABC=27°时，弧AC的长为；
（2）当DE=7时，线段EF的长为.
三．解答题
1.如图所示，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E,且C为弧BD的中点，若EC=2,tan∠CEB=2,
（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；
（2）求⊙O的面积．
2.如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G．
（1）求证：AE•BE=EF•EG；
（2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长．
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF：FD =1：3 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
4.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE=3，ED=6，求AB的长．
5.如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，弦CD⊥AB于点E,G是弧AC上的一动点（与点A,C 不重合），AG，DC的延长线交于点F。

（1）求证：∠FGC=∠AGD;
（2）若DG过圆心，OE=1，求△CGF与△ADF的周长比。

6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点．
（1）过A、B、D三点作⊙O，交线段AC于点E（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若DE=DB，求证：AB是⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若AB=5，BC=6，求AE的长．
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，过O 作AC的垂线交AC于点E，恰好垂足E在⊙O上，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=2，cosB=3
5，求⊙O的半径．
8.如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE 交直线AB于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD2=AC•AE；
（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明．
9.如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦CD⊥AB于点E,G是一动点，连结AD，AG，GD，BC．（1）若BE=2，求弦CD的长；
（2）若G是弧AC上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由；
（3）若G是⊙O及⊙O内的任意一动点，请在图中画出使△ADG和△CEB相似的所有点G．
10.如图，AB是半圆O的直径，D是弧BC的中点，四边形ABCD的对角线AD、BC交于点E，AC、BD的延长线交于点F
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）若AB=25，AD=4，求CF的长．
11.如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．
（1）求证：△CAB∽△EPB；
（2）若AB=10，AC=6，BP=5，求CP的长．
12.（2017秋•昌江区校级期末）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE=AB求证：
（1）∠CBE=∠CAD；
（2）AC2=BC•CD+AB2．
13.（2017秋•常熟市期末）如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ．
（1）求证：∠ACE=∠DCE ；
（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数；
（3）若AC=4，，求CF 的长．
14.（2017秋•海珠区期末）如图，已知CE 是圆O 的直径，点B 在圆O 上由点E 顺时针向点C 运动（点B 不与点E 、C 重合），弦BD 交CE 于点F ，且BD=BC ，过点B 作弦CD 的平行线与CE 的延长线交于点A ．
（1）若圆O 的半径为2，且点D 为弧EC 的中点时，求圆心O 到弦CD 的距离；
（2）在（1）的条件下，当DF•DB=CD 2时，求∠CBD 的大小；
（3）若AB=2AE ，且CD=12，求△BCD 的面积．
15.（2012•江干区一模）如图，半圆的直径AB=2，点C 从点A 向点B 运动沿着半圆运动，速度为每秒6
，运动时间为t(秒)，D 是弧BC 的中点，连结AD ，BC 相交于点E ，连结BD.
（1）如果OC ∥BD ，求t 的值及AE BD 的值； （2）当t=3时，求AE BD
的值.
16.AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。

（1）求证：△AHD ∽△CBD
（2）若CD=AB=2，求HD+HO的值。

17.请完成以下问题：
（1）如图1，弧CD=弧BD
，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．
11。