备战2019中考初中数学导练学案50讲—第33讲投影与视图(讲练版)

备战2019中考初中数学导练学案50讲
第33讲投影与视图
【疑难点拨】
1.判断(画)几何体的三视图：掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案
2. 立体图形的展开与折叠常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．
3.画“三视图”原则：(1)正视图和俯视图要长对正；正视图和左视图要高平齐；左视图和俯视图要宽相等；(2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
4. 几何体的综合运用：由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决
问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图
形的转化．
【基础篇】
一、选择题：
1.（2018•江西•3分）如图所示的几何体的左视图为
A B C D
2.（2018•北京•2分）下列几何体中，是圆柱的为
A．B． C．D．
3.（2018•江苏扬州•3分）如图所示的几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
4.（2018·湖北省宜昌·3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（）
A．B．C．D．
5.（2018年江苏省泰州市•3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A． B． C． D．
正方体四棱锥圆柱球
二、填空题：
6.（2018·辽宁大连·3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 .
7.（2018•青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种．
8.（2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为cm．
三、解答与计算题：
9.由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方形的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．
10.如图所示，观察左图，并在右边的三视图中标出几何体中的相应字母的位置．
【能力篇】
一、选择题：
11.（2018·湖北省武汉·3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
12.（2018·湖南省常德·3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）
A．B．C．D．
13.（2018·山东临沂·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（）
A．12cm2B．（12+π）cm2C．6πcm2D．8πcm2
二、填空题：
14.（2018·山东青岛·3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种．
15.（2018·湖北省孝感·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为cm2．
三、解答与计算题：
16.如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
17.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC ＝3 m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
(2)请你计算DE的长．
18.一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
【探究篇】
19.如图，在一座大厦(图中BC所示)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(图中EF所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的D处时停下．
(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子；
(2)请你求出此时小亮的影长．
20.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．
第33讲投影与视图
【疑难点拨】
1.判断(画)几何体的三视图：掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案
2. 立体图形的展开与折叠常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．
3.画“三视图”原则：(1)正视图和俯视图要长对正；正视图和左视图要高平齐；左视图和俯视图要宽相等；(2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
4. 几何体的综合运用：由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决
问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图
形的转化．
【基础篇】
一、选择题：
1.（2018•江西•3分）如图所示的几何体的左视图为
A B C D
【解析】本题考察三视图，容易，但注意错误的选项B和C.
2.（2018•北京•2分）下列几何体中，是圆柱的为
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．
【考点】立体图形的认识
3.（2018•江苏扬州•3分）如图所示的几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.（2018·湖北省宜昌·3分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（）
A． B． C.
D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：该几何体的主视图为：；左视图为；俯视
图为；
故选：C．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
5.（2018年江苏省泰州市•3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A． B． C． D．
正方体四棱锥圆柱球
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
二、填空题：
6.（2018·辽宁大连·3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 .
解：由三视图知这个几何体是三棱柱． C．
7.（2018•青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有10 种．
【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．
【解答】解：设俯视图有9个位置分别为：
由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；
②一定有2个2，其余有5个1；
③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：
故答案为：10．
8.（2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为4cm．
【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EF=8cm，∠EFG=45°，
∴EQ=AB=×8=4（cm）．
故答案为：4．
三、解答与计算题：
9.由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方形的个数，请画出该几何体的主视图和左视图．
解：如图所示：
10.如图所示，观察左图，并在右边的三视图中标出几何体中的相应字母的位置．
解：根据题意如图：
【能力篇】
一、选择题：
11.（2018·湖北省武汉·3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．
所以图中的小正方体最多5块．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，
12.（2018·湖南省常德·3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
13.（2018·山东临沂·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（）
A．12cm2B．（12+π）cm2C．6πcm2D．8πcm2
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．
所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
二、填空题：
14.（2018·山东青岛·3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 4 种．
【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．
【解答】解：这个几何体的搭法共有4种：如下图所示：
故答案为：4．
【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的主视图、左视图及小立方块的个数，可知俯视图的列数和行数中的最大数字．
15.（2018·湖北省孝感·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为16πcm2．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．
故答案为：16π．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
三、解答与计算题：
16. 如图，花丛中有一路灯杆AB ，在灯光下，大华在点D 处的影长DE ＝3米，他沿BD 方向行走到点G ，DG ＝5米，这时他的影长GH ＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB 的高度．
解：∵CD ∥AB ，∴△ECD ∽△EAB ，
∴CD AB ＝DE BE ，即2AB ＝33＋BD
①. ∵FG ∥AB ，∴△HFG ∽△HAB ，
∴FG AB ＝HG HB
，即2AB ＝5
BD ＋5＋5
②.
由①②得33＋BD ＝5
BD ＋5＋5，
解得BD ＝7.5，∴2
AB
＝
3
7.5＋3
，解得AB ＝7. 答：路灯杆AB 的高度为7 m.
17. 如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5 m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC ＝3 m ，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6 m . (1)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影； (2)请你计算DE 的长．
[解析] (1)根据平行投影的性质可先连接AC ，再过点D 作DF ∥AC 交地面于点F ，EF 即为所求．
(2)根据平行线的性质可知△ABC ∽△DEF ，利用相似三角形的对应边成比例即可求出DE 的长． 解：(1)DE 在阳光下的投影是EF ，如图所示．
(2)∵△ABC ∽△DEF ，AB ＝5 m ，BC ＝3 m ，EF ＝6 m ，
∴AB DE ＝BC EF ，即5DE ＝3
6
，解得DE ＝10， ∴DE 的长为10 m.
18. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
解：该几何体如图所示．(4分)表面积为2×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫822
＋8π×10＋5×8－π×82×5＝(92π
＋40)(mm 2
)；(8分)体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫822×10－12π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫822
×5＝120π(mm 3
)．(12分)
【探究篇】
19. 如图，在一座大厦(图中BC 所示)前面30m 的地面上，有一盏地灯A 照射大厦，身高为1.6m 的小亮(图中EF 所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m 的D 处时停下．
(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC 上的影子； (2)请你求出此时小亮的影长．
解：(1)如图，DG 为小亮的位置，BH 为他在地灯照射下投在大厦BC 上的影子； (2)设此时小亮的影长BH 为x m.依题意得GD ⊥AB ，CB ⊥AB ， ∴∠ADG ＝∠ABH ＝90°.
又∵∠DAG ＝∠BAH ，∴△ADG ∽△ABH ，∴DG BH ＝AD AB
. 由题意得AB ＝30m ，DG ＝1.6m ，BD ＝5m ，
∴AD ＝AB －BD ＝25m ， ∴BH ＝
DG ·AB AD ＝1.6×30
25
＝1.92(m)． 答：小亮此时的影长是1.92m.
20. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的A 点(距N 点5块地砖长)时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B 点(距N 点9块地砖长)时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6米，MN ⊥NQ ，
AC ⊥NQ ，BE ⊥NQ .请你根据以上信息，求出小军身高BE 的长(结果精确到0.01米)．
解：∵AC ⊥NQ ，MN ⊥NQ ，∴∠CAD ＝∠MND ＝90°. 又∵∠CDA ＝∠MDN ，∴△CAD ∽△MND ，
∴CA MN ＝AD ND
，∴1.6
MN ＝1×0.8
（5＋1）×0.8
，∴MN ＝9.6米．
∵BE ⊥NQ ，∴∠EBF ＝∠MNF ＝90°.又∵∠EFB ＝∠MFN ， ∴△EFB ∽△MFN ，∴EB MN ＝BF NF
，
∴EB 9.6＝2×0.8（2＋9）×0.8
， ∴BE ≈1.75米．
答：小军身高BE 的长约为1.75米．。