人教版高中数学必修1学案《集合的含义与表示》(附答案)

1.1.1 集合的含义与表示(二)
自主学习
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
3．不等式x －7<3的解集为{x |x <10}．
4．所有偶数的集合可表示为{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }。

5．方程(x ＋1)(x －3)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,3}
对点讲练
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |61＋x ∈Z ，求M ； (2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2x －y ＝0的解集； (3)由|a |a ＋b |b |
(a ，b ∈R )所确定的实数集合． 分析 解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．
解 (1)∵x ∈N ，且61＋x
∈Z ， ∴1＋x ＝1,2,3,6，
∴x ＝0,1,2,5，∴M ＝{0,1,2,5}．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝1，
故方程组的解集为{(1,1)}．
(3)要分a >0且b >0，a >0且b <0，a <0且b >0，a <0且b <0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．
规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然．
变式迁移1 用列举法表示下列集合：
(1)A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }； (2)B ＝{x |(x －1)2(x －2)＝0}；
(3)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}；
(4)已知集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N ，求C . 解 (1)∵|x |≤2，x ∈Z ，
∴－2≤x ≤2，x ∈Z ，
∴x ＝－2，－1,0,1,2.
∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)∵1和2是方程(x －1)2(x －2)＝0的根，
∴B ＝{1,2}．
(3)∵x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1. ∴M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4)结合例1(1)知，61＋x
＝6,3,2,1， ∴C ＝{6,3,2,1}．
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x 2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x －6<5的解集； (4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集．
解 (1)文字描述法：{x |x 是正偶数}．
符号描述法：{x |x ＝2n ，n ∈N *}．
(2){x |x 2＋2＝0，x ∈R }．
(3){x |4x －6<5，x ∈R }．
(4){(x ，y )|y ＝2x ＋3，x ∈R ，y ∈R }．
规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有
的性质．
变式迁移2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x －3>2的解集．
解 (1){(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．
(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝4. (3){x ∈R |x －3>2}．
列举法和描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数； (2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；
(3)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合．
分析 对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为
(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}．
规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合；
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(4)二元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x y ＝x 2的解集． 解 (1)列举法：{3,5,7}．
(2)描述法：{周长为10 cm 的三角形}．
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}．
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
(1)元素间用“，”分隔；
(2)元素不重复；
(3)不考虑元素顺序；
(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法 但是须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
2．使用描述法时应注意以下四点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；
(2)说明该集合中元素的特征；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)用于描述的语句力求简明、确切．
课时作业
一、选择题
1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )
A ．{x |x 是不大于9的非负奇数}
B ．{x |x ≤9，x ∈N }
C ．{x |1≤x ≤9，x ∈N }
D ．{x |0≤x ≤9，x ∈Z }
答案 A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )
A ．{(x ，y )|x ＝0，y ≠0}
B ．{(x ，y )|x ≠0，y ＝0}
C ．{(x ，y )|xy ＝0}
D ．{(x ，y )|x ＝0，y ＝0}
答案 C
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x －1)2(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．
正确的是( )
A ．只有①和④
B ．只有②和③
C ．只有②
D ．以上语句都不对 答案 C
4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪
65－a ∈N *，则A 为( )
A ．{2,3}
B ．{1,2,3,4}
C ．{1,2,3,6}
D ．{－1,2,3,4}
答案 D
解析 由65－a
∈N *可知，5－a 为6的正因数，所以5－a 可以等于1,2,3,6，相应的a 分别等于4,3,2，－1，即A ＝{－1,2,3,4}．
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}
B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}
C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}
D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 B
二、填空题
6．下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)． (1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}； (3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}；
(5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}； (6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}．
答案 (3)(5)(6)
7．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________．
答案 0,1,2
解析 ∵(2,1)∈A 且(1，－4) ∉A ，
∴2a －1≤3且a ＋4>3，
∴－1<a ≤2，又a ∈Z ，
∴a 的取值为0,1,2.
8．已知集合M ＝{x ∈N |8－x ∈N }，则M 中的元素最多有________个．
答案 9
三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}； (2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }； (4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；
(5){－3，－1,1,3,5}．
解 (1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)∵x ＝|x |，∴x ≥0，又∵x ∈Z 且x <5，
∴x ＝0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(5){x |x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z }．
10．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．
解 用描述法表示为(即用符号语言表示)：
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0. 【探究驿站】
11．对于a ，b ∈N ＋，现规定：
a *
b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b (a 与b 的奇偶性相同)a ×b (a 与b 的奇偶性不同). 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}
(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；
(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？
解 (1)当a ，b 奇偶性不同时，a *b ＝a ×b ＝36，
则满足条件的(a ，b )有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M 可表示为： M ＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a 与b 的奇偶性相同时a *b ＝a ＋b ＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1， 所以当a ，b 奇偶性相同时这样的元素共有35个．。