2018-2019学年福建省福州市师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷(答案+解析)

福建省福州市师范大学附属中学2018—2019学年
高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（）A．B．C．D．
2．下列函数中与函数相等的函数是（）
A．B．C．D．
3．若是集合A到B的函数，且值域，则满足条件的A有（）A．4个B．3个C．2个D．1个
4．设，则（）
A．B．C．D．
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）
A．B．
C．D．
6．设函数则（）
A．B．C．D．
7．若函数的图象如图所示,其中a，b为常数，则函数的图象大致是（）
A．B．C．D．
8．若对于任意实数都有，则= （）
A．B．C．D．
9．已知是定义在R上的奇函数，在区间上单调递减,则使得
成立的的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．已知函数在R上单调递减，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．已知函数，若互不相同，且满足
，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
12．已知函数，，则下列四个结论中正确的是（）
①图象可由图象平移得到；
②函数的图象关于直线对称；
③函数的图象关于点对称；
④不等式的解集是.
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
13．已知函数，且那么其图象经过的定点坐标是_______.
14．函数的定义域为___________.
15．已知函数，,则_________.
16．已知是奇函数，当时，；则当时，_________. 17．设函数，则实数a的取值范围是_________．
18．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．
三、解答题
19．已知集合=,集合,全集为.
(1) 设时，求；
(2) 若,求实数的取值范围.
20．设函数．
(1) 求不等式的解集；
(2) 若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知定义域为的函数
是奇函数.
(1) 求实数的值；
(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性； (3) 若方程在
内有解，求实数的取值范围．
22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝
16
1,048{ ,1
5,4102
x x x x -≤≤--<≤ 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在
相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据
: 1.4)．
【参考答案】
一、单选题
1．B
【解析】因为合，
集合，
所以，故选B.
2．C
【解析】对于，定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于，与的定义域不同，不是同一函数；
对于，与的定义域相同，值域相同，对应关系也相同，
是同一函数；
对于，与的定义域不同，不是同一函数，故选C.
3．B
【解析】因为是集合到的函数，且值域，
由可得，由可得，
所以函数的定义域可能是：，
所以，满足条件的有3个，故选B.
4．C
【解析】，是增函数，，
，
，
，故选C.
5．A
【解析】对于，令，定义域关于轴对称，
，则函数为偶函数，在恒成立，
则函数在上单调递增，故正确；
对于，函数是奇函数，不合题意；
对于，定义域不对称，不是偶函数也不是奇函数，不合题意；
对应，定义域不对称，不是偶函数也不是奇函数，不合题意，故选A.
6．A
【解析】函数，
，
，
，故选A.
7．D
【解析】由于函数图像的单调性底数a小于1，则函数也是单调递减，则排除A,B，然后因为的定义域x>-1,则说明b=1,从而过点（0,2），排除C，故选D.
8．D
【解析】对于任意实数恒有，
用代替式中可得，
联立两式可得，
，故选D.
9．A
【解析】因为是定义在上的奇函数，在区间上单调递减, 所以在上单调递减,
可得，
由此可得，
由可得，
可得，
由单调性可得，,,
即使得成立的的取值范围是，故选A.
10．A
【解析】函数在上单调递减，
所以对数函数单调递减函数、二次函数单调递减，
，解得，故选A.
11．C
【解析】先画出的图象如图，
互不相同，不妨设，
且，
，
即由二次函数的对称性可得，
故，由图象可知，，
由二次函数的知识可知，
即，
的范围为，故选C.
12．C
【解析】对于①，若的图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象向右平移个单位后得到的图象，所以①正确；
对于②，设，则，
，，关于对称，所以②正确；
对于③，设，，
，
，关于对称，所以③正确；
对于④，由得，化为，
，若，
若，所以④错误，故选C.
二、填空题
13．
【解析】令，求得，且，
即时，总有，
所以的图象恒过定点坐标为，故答案为. 14．
【解析】要使有意义，则根号下大于或等于零，真数大于零，
可得，解得，
函数的定义域为，
故答案为.
15．1
【解析】因为，，
所以可得，
所以，故答案为1.
16．
【解析】设，则，
又当时，，
故，
又函数为奇函数，故
，故答案为.
17．
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立；当时，成立，
当时，，由，
得，解得，
综上可得，的取值范围为，故答案为.
18．
【解析】，
当且仅当
①
②
③
对③由求根公式得，
，④
或．
(ⅰ)当时，由③得，
所以，同为负根．
又由④知，
所以原方程有一个解．
(ⅱ)当时，原方程有一个解．
(ⅲ)当时，由③得
所以，同为正根，且，不合题意，舍去．
综上可得或为所求．
三、解答题
19．解：，
(1) 当时，＝；
(2) 由知，,
①当时，，若，则；
②当时，，满足.
综上，实数的取值范围是.
20．解：(1)函数可化为,
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，不等式的解集为．
(2)关于x的不等式恒成立等价于，由(1)可知，
即，解得．
21．解：(1)依题意得，，故，此时，对任意均有，
所以是奇函数，所以.
(2)在上是减函数，证明如下：任取，则
，
所以该函数在定义域上是减函数．
(3)由函数为奇函数知，
， 又函数是单调递减函数，从而， 即方程在内有解， 令，只要，
，且，∴ ∴当时，原方程在内有解．
22．解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度()644044{ 8202410x f x y x
x x -≤≤==--<≤，，，．
则当04x ≤≤时，由64448x
-≥-，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤. 当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．
综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天，
浓度()()()1161616251101442861414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=-+-=-+--⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎢⎥⎣
⎦. 因为[]1448x -∈，，而14a ≤≤，
所以[]48，
，故当且仅当14x -=时，y
有最小值为4a -.
令44a -≥
，解得244a -≤，所以a
的最小值为24 1.6-≈．。