第二课合式公式真值表等价置换定理
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• 界限 (4) 当且仅当能够有限次应用(1) 、 (2) 、 (3)所得到的包 含命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。 例1. 合式公式((P (Q R))∧((P Q) ∧(P R)))的生成 过程： P Q R (Q R) (P Q) (P R) (P (Q R) ) ((P Q) ∧(P R))
2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身ห้องสมุดไป่ตู้个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
(P P Q
Q)
P仅当 Q :
除非P，否则Q： P Q 定义一般翻译为双条件 作业 :P12. (5), (6), (7)
第4节：真值表与等价公式 （P12定义）
1、真值表 定义1 真值表 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确 定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题 公式的真值表。 P Q PQ PQ 例1： 构造（P Q）和 T T T T （ P ∨ Q）的真值表 （P Q） （ P ∨ Q） 定义2 命题公式A、B等价 T F F F T F F T T F T T
对应于所有可能的真值指派，命题公式A的真值都 为T。我们称命题公式A为永真式。记为：A T 定义4 永假式（矛盾式） 对应于所有可能的真值指派，命题公式A的真值都 为F。我们称命题公式A为永假式。记为：A F
2、等价定理与常用等价式 定理：A和B是两个命题公式，A B当且仅当A 证明： （1）由A B 知，在所有可能的真值指派下，A、B的真值总是 相同的，从而，A ⇄ B是一个重言式。 （2）由A ⇄ B为重言式， 可知：在所有可能的真值指派下，A、 B的真值总是相同的，所以A B。 注意： “ 当且仅当 ” 注意： “ 当且仅当 ” 的证明需要分为 的证明需要分为 “ 当 ” 和 “ 仅当 ” 两个 “ 当 ” 和 “ 仅当 ” 两个 部分 部分 B是一个重言式。
例5、求证：Q ∨ (( P Q) ∧ P) T 证明： Q ∨ (( P Q) ∧ P) Q ∨ (( P ∨ Q) ∧ P) Q ∨ (( P ∧ P) ∨( Q ∧ P)) Q ∨ ( F ∨( Q ∧ P)) Q ∨ ( Q ∧ P) Q ∨( Q ∨ P ) (Q ∨ Q )∨ P T ∨ P T
例6、证明P (Q R) Q (P R) 证明： P (Q R) P ∨ (Q R) P ∨ ( Q ∨ R) Q ∨ ( P ∨ R) Q ( P ∨ R) Q (P R) 例7、证明( P Q )(Q ∨ R) P ∨ Q ∨ R 证明： ( P Q )(Q ∨ R) ( P ∨ Q ) ∨(Q ∨ R) (P ∧ Q ) ∨(Q ∨ R) (P ∨Q ∨ R) ∧ ( Q ∨Q ∨ R) (P ∨Q ∨ R) ∧ T 作业：P19. （7）a, b, c, g P ∨Q ∨ R (8)、 (9)
第3节 命题公式与翻译
由第2节的内容，我们知道，若P、Q是任意两个命题， 则 P，P ∨ Q，(P ∨ Q) (P ⇄ Q)等等都是复合命题。 1. 命题公式的定义 当P、Q是命题变元时，则上述各式为命题公式。 注意： • • 命题公式没有真假值； 并不是所有的由命题变元、联结词、和一些括号组成的字符 串都能成为命题公式。 例如： P ∨ （P Q）不是合法的命题公式 仅有举例说明是不够的，需要给出命题公式的规格化定义
例4：用等价置换定理来化简下列命题公式 1. 证明：Q （P ∨(P ∧ Q)） Q P 因为：P P ∨(P ∧ Q) 所以，由等价置换定理可得 Q （P ∨(P ∧ Q)）Q P
等价置换例题
2. (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P 证明：由分配律知： (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P ∧ (Q ∨ Q) 又由否定律知： (Q ∨ Q) T 所以： P ∧(Q ∨ Q) P ∧ T 由同一律知： P ∧ T P 于是有：(P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P
1 ∧ 2 ∧ 3 T 变换为（ ∧…… ∧ ） ∨ （ ∧…… ∧ ） 的形式 排除（ ∧…… ∧ ） 中Pi ∧ Pj的可能即可。A2, C1, D3, B4
真值表与翻译
例5：M：张三或李四中一个人去了。 设 P：张三去了。 Q：李四去了。 P T T F F Q T F T F M F T T F 可见：M的真值和 (P ⇄ Q)的完全相反。 所以：M 可翻译为： (P ⇄ Q ）
例6、 1、如果我上街，我就去书店，除非我很累。 2、李四生于1980或1981年，他是计算机学院的学生，而 且是优秀学生干部。 1、解：P：我上街 Q：我去书店 R：我很累 R （P Q） 2、解：P：李四生于1980年 Q：李四生于1981年 R：李四是计算机学院学生 S：李四是优秀学生干部 ((P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)) ∧ R ∧ S
例4： 1、只有你主修计算机科学或者不是新生，才能从校园 内访问因特网。 解：设P：你能从校园内访问因特网；Q：你是新生； R：你主修计算机科学。则原题译为： P (R ∨ Q) 2、除非你已满16周岁，否则只要你身高不足4英尺就不 能乘公园滑行铁道。 解：设P：你已满16周岁；Q：你身高不足4英尺； R：你能乘公园滑行铁道。 则原题译为： P (Q R )
3. 常用的等价式 （P15表1-4.8） 双重否定律： AA B A A B 蕴涵等值式： 等幂律： AAA ⇄ B A A A B)(BA) 等价等值式： (A 交换律：AB BA A B B) B (A (A B A) 结合律：(AB)C A(BC) 分配律：A(BC) (AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德·摩根律： (AB) A B (AB) A B 吸收律：A(AB) A A(AB) A (AB)C A(BC)
4. 子公式与等价置换定理 子公式定义：如果X是合式公式 A的一部分，而且，X本身也是 一个合式公式，则称X为公式A 的子公式 等价置换定理：设X是合式公式A 的子公式，若：X Y，如果将 A中的X用Y来置换，所得到公式 B与公式A等价，即A B。
(P ∨ Q) ∧(R S) P、Q、R、S A：(P ∨ Q)， ∧ (R S) S) (R B：( P Q) ∧(R S) 等都是该公式的子公式。 因为： (P ∨ Q) ( P Q) 所以：AB
兴趣题：用等价演算来解决下列问题
A、B、C、D四个进行百米赛跑，观众甲乙丙三人猜比赛名次， 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 说明这三个命 题公式都是永 结果是甲乙丙三人各猜对了一半，请您根据这些信息推断出 真式 ABCD四人的名次。 1. ( C1 ∧ B2)∨( C1 ∧ B2） 甲：C1 ∧ B2 2. ( C2 ∧ D3)∨( C2 ∧ D3） 乙：C2 ∧ D3 猜对一半 丙：A第二，D第四。 丙：A2 ∧ D4 3. ( A2 ∧ D4)∨ (A2 ∧ D4）
2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身ห้องสมุดไป่ตู้个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
(P P Q
Q)
P仅当 Q :
除非P，否则Q： P Q 定义一般翻译为双条件 作业 :P12. (5), (6), (7)
第4节：真值表与等价公式 （P12定义）
1、真值表 定义1 真值表 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确 定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题 公式的真值表。 P Q PQ PQ 例1： 构造（P Q）和 T T T T （ P ∨ Q）的真值表 （P Q） （ P ∨ Q） 定义2 命题公式A、B等价 T F F F T F F T T F T T
对应于所有可能的真值指派，命题公式A的真值都 为T。我们称命题公式A为永真式。记为：A T 定义4 永假式（矛盾式） 对应于所有可能的真值指派，命题公式A的真值都 为F。我们称命题公式A为永假式。记为：A F
2、等价定理与常用等价式 定理：A和B是两个命题公式，A B当且仅当A 证明： （1）由A B 知，在所有可能的真值指派下，A、B的真值总是 相同的，从而，A ⇄ B是一个重言式。 （2）由A ⇄ B为重言式， 可知：在所有可能的真值指派下，A、 B的真值总是相同的，所以A B。 注意： “ 当且仅当 ” 注意： “ 当且仅当 ” 的证明需要分为 的证明需要分为 “ 当 ” 和 “ 仅当 ” 两个 “ 当 ” 和 “ 仅当 ” 两个 部分 部分 B是一个重言式。
例5、求证：Q ∨ (( P Q) ∧ P) T 证明： Q ∨ (( P Q) ∧ P) Q ∨ (( P ∨ Q) ∧ P) Q ∨ (( P ∧ P) ∨( Q ∧ P)) Q ∨ ( F ∨( Q ∧ P)) Q ∨ ( Q ∧ P) Q ∨( Q ∨ P ) (Q ∨ Q )∨ P T ∨ P T
例6、证明P (Q R) Q (P R) 证明： P (Q R) P ∨ (Q R) P ∨ ( Q ∨ R) Q ∨ ( P ∨ R) Q ( P ∨ R) Q (P R) 例7、证明( P Q )(Q ∨ R) P ∨ Q ∨ R 证明： ( P Q )(Q ∨ R) ( P ∨ Q ) ∨(Q ∨ R) (P ∧ Q ) ∨(Q ∨ R) (P ∨Q ∨ R) ∧ ( Q ∨Q ∨ R) (P ∨Q ∨ R) ∧ T 作业：P19. （7）a, b, c, g P ∨Q ∨ R (8)、 (9)
第3节 命题公式与翻译
由第2节的内容，我们知道，若P、Q是任意两个命题， 则 P，P ∨ Q，(P ∨ Q) (P ⇄ Q)等等都是复合命题。 1. 命题公式的定义 当P、Q是命题变元时，则上述各式为命题公式。 注意： • • 命题公式没有真假值； 并不是所有的由命题变元、联结词、和一些括号组成的字符 串都能成为命题公式。 例如： P ∨ （P Q）不是合法的命题公式 仅有举例说明是不够的，需要给出命题公式的规格化定义
例4：用等价置换定理来化简下列命题公式 1. 证明：Q （P ∨(P ∧ Q)） Q P 因为：P P ∨(P ∧ Q) 所以，由等价置换定理可得 Q （P ∨(P ∧ Q)）Q P
等价置换例题
2. (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P 证明：由分配律知： (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P ∧ (Q ∨ Q) 又由否定律知： (Q ∨ Q) T 所以： P ∧(Q ∨ Q) P ∧ T 由同一律知： P ∧ T P 于是有：(P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P
1 ∧ 2 ∧ 3 T 变换为（ ∧…… ∧ ） ∨ （ ∧…… ∧ ） 的形式 排除（ ∧…… ∧ ） 中Pi ∧ Pj的可能即可。A2, C1, D3, B4
真值表与翻译
例5：M：张三或李四中一个人去了。 设 P：张三去了。 Q：李四去了。 P T T F F Q T F T F M F T T F 可见：M的真值和 (P ⇄ Q)的完全相反。 所以：M 可翻译为： (P ⇄ Q ）
例6、 1、如果我上街，我就去书店，除非我很累。 2、李四生于1980或1981年，他是计算机学院的学生，而 且是优秀学生干部。 1、解：P：我上街 Q：我去书店 R：我很累 R （P Q） 2、解：P：李四生于1980年 Q：李四生于1981年 R：李四是计算机学院学生 S：李四是优秀学生干部 ((P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)) ∧ R ∧ S
例4： 1、只有你主修计算机科学或者不是新生，才能从校园 内访问因特网。 解：设P：你能从校园内访问因特网；Q：你是新生； R：你主修计算机科学。则原题译为： P (R ∨ Q) 2、除非你已满16周岁，否则只要你身高不足4英尺就不 能乘公园滑行铁道。 解：设P：你已满16周岁；Q：你身高不足4英尺； R：你能乘公园滑行铁道。 则原题译为： P (Q R )
3. 常用的等价式 （P15表1-4.8） 双重否定律： AA B A A B 蕴涵等值式： 等幂律： AAA ⇄ B A A A B)(BA) 等价等值式： (A 交换律：AB BA A B B) B (A (A B A) 结合律：(AB)C A(BC) 分配律：A(BC) (AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德·摩根律： (AB) A B (AB) A B 吸收律：A(AB) A A(AB) A (AB)C A(BC)
4. 子公式与等价置换定理 子公式定义：如果X是合式公式 A的一部分，而且，X本身也是 一个合式公式，则称X为公式A 的子公式 等价置换定理：设X是合式公式A 的子公式，若：X Y，如果将 A中的X用Y来置换，所得到公式 B与公式A等价，即A B。
(P ∨ Q) ∧(R S) P、Q、R、S A：(P ∨ Q)， ∧ (R S) S) (R B：( P Q) ∧(R S) 等都是该公式的子公式。 因为： (P ∨ Q) ( P Q) 所以：AB
兴趣题：用等价演算来解决下列问题
A、B、C、D四个进行百米赛跑，观众甲乙丙三人猜比赛名次， 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 说明这三个命 题公式都是永 结果是甲乙丙三人各猜对了一半，请您根据这些信息推断出 真式 ABCD四人的名次。 1. ( C1 ∧ B2)∨( C1 ∧ B2） 甲：C1 ∧ B2 2. ( C2 ∧ D3)∨( C2 ∧ D3） 乙：C2 ∧ D3 猜对一半 丙：A第二，D第四。 丙：A2 ∧ D4 3. ( A2 ∧ D4)∨ (A2 ∧ D4）