高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.1.1 合情推理 情境互动课型

分析：数列的通项公式表示的是数列{an}的第n 项an与序号n之间的对应关系.为此，我们先根据 已知的递推公式，算出数列的前几项.
解:当n=1时，a1=1;
11 当n=2时， a2 1 1 2 ;
1
当n=3时，
a3
a2 a2 1
2
1 2
1
1 3
;
1
当n=4时，
a4
a3 a3 1
3
1 3
1
（2）把第3个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面两个金属片从2号针移到3号针； 其中（1）和（3）都需要借助中间针.用符号表示为： （13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13） 共移动了7次. 当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动顺 序是： （1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；
一天，财主要邀请一位姓 万的朋友，叫儿子写张请帖.
财主的儿子怎么写的?
1.结合数学实例，了解归纳推理的含义，掌握归纳推 理、类比推理的方法技巧.(重点) 2.能利用归纳方法进行简单的推理，掌握归纳法的步 骤，体会归纳推理、类比推理在数学发现中的作用． (难点)
探究点1 归纳推理
1742年哥德巴赫(Goldbach ,1690～1764, 是德国 一位中学教师,也是一位著名的数学家, 1725年当 选为俄国彼得堡科学院院士)观察到:
B.8n-2
C.6n+2
D.8n+2
【解题关键】先计算各个图形中的火柴棒,然后从中探寻规律, 并进行归纳.
1.下列说法中,正确的是( D )
A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程
2.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( B )
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：类比推理的过程（步骤）
地球
存在类 似特征
火星
观察、比较
地球上有生命存在
联想、类推
猜想新结论 猜测火星上也可能有生命存在
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理.
(3)类比的结果具有猜测性.
【即时训练】
下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的
是( C )
A.三角形
B.梯形
C.平行四边形
D.矩形
例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算， 都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和 “1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此，我 们可以从上述4个方面来类比这两种运算. 解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所 得的结果仍然是一个实数.
6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5,
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11,
......
1000 = 29 + 971, 1002 = 139 + 863,
......
猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之 和.
哥德巴赫猜想
任何一个不小于6的偶 数都等于两个奇质数之和.
1,3,7,15. 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
1 21 1,3 2 2 1,7 2 3 1,1 5 2 4 1 .
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号 针，最少需要移动an次，则数列{an}的通项公式为：
思考：把n个金属片从1号针移到3号针, 怎样移动 才能达到最少的移动次数呢?
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；
乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积
都等于原来的数.即
a0a
a •1 a
【变式训练】 你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体 的类比对象？
【解答】三角形
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间
中四面体性质的猜想．
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们
设S1,S2,S3和S分别表示ΔPDF,ΔPDE,ΔEDF 和ΔPEF的面积，相应于图（1）中直角三角形的 两条直角边a,b和一条斜边c，图（2）中的四面体
有三个“直角面”S1 ,S2 ,S3和一个“斜面”S.
类比勾股定理的结构，我们猜想
成立.
S2Biblioteka S12S22S
2 3
【总结提升】
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础, 推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立
归纳推理 由某类事物的 部分对象 具有某些特征,推出
该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出一般结论 的推理,称为归纳推理（简 称归纳）.
特点：部分→ 整体，个别→ 一般.
➢铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:所有金属都导电.
➢又如
2 3
2 3
1 1
,
2 3
2 3
2 2
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们 可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动 n个金属片时，可分为下列3个步骤：
（1）把上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针； （2）把第n个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.
这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务. 而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属 片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金 属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n2）个金属片……如此继续.直到转化为移动1个金属片 的情形.根据这个过程，可得递推公式
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
猜座位
从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先 生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一” 字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个 “三”字.学到这里，儿子就告诉父亲说： “我已经学会了写字，不 用先生再教了.”于是， 财主就把教书先生给辞退了.
,
2 3
2 3
3 3
,
猜想:
b a
b a
m m
(a , b, m均 为 正 整 数 ).
【即时训练】
数列2,5,11,20,x,47…中的x等于( B )
A.28
B.32
C.33
D.27
例1.已知数列{an}的第
1
项a1=1,且
an1
an an
1
(n=1, 2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式.
A.26
B.31
C.32
D.36
例4 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金
属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另
一根针上.
2
1
3
1.每次只能移动1个金属片； 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需 要移动多少次?
分析：我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探究 其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次 数.
可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角
形的类比对象.
P Ｂ
a
c
s2 D s1 s3
Ｃ
b
(1)
Ａ
E
(2)
F
解：如上图，在Rt△ABC中，∠C=90°.设a,b,c分别 表示三条边的长度，由勾股定理，得
c2 a2 b2.
类似地，在四面体P - DEF中，∠PDF =
∠PDE = ∠EDF = 90o.
述规律,第五个等式为
.
【解析】由前3个式子可看出,等式的左边为自然
数的立方和,而右边正好等于各个自然数和的平方,
即13+23+33+…+n3
=(1+2+…+n)2.故第五个等式为
13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2.即
13+23+33+43+53+63=212.
答案：13+23+33+43+53+63=212
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
…
A.1 111 110
B.1 111 111
C.1 111 112
D.1 111 113
3.观察下列等式：
13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象, 我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则 是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.
类比推理的特点
(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在 研究中的事物的属性,它以已有知识为基础,类比出 新的结论. (2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊 属性.
4.正方形的面积为边长的平方,则在空间中,与之
类比的结论是
.
【解析】由平面中面积为边长的平方,则在空间中
类比推理
由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结论; 具有发现的功能;结论不一定成立
从具体问 题出发
观察、分 析、比较、 联想
归纳、 类比
归纳推理
合情推理 类比推理
提出猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
【变式练习】
(2015·菏泽高二检测)有两种花色的正六边形地面砖, 按如图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有菱形 花纹的正六边形的个数是( B )
类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这
样得到的. 鱼类
形状，沉浮原理
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
直升机
仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的.
火星上是否有生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有季节的变更
温度适合生物的生存 有生命存在
1 4
.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数. 由此猜想，这个数列的通项公式为
an
1 n
.
【变式练习】
如图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排 起来,那么第36颗珠子应是什么颜色( A )
A.白色 C.白色可能性大
B.黑色 D.黑色可能性大
探究点2 类比推理
春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手,他由此受到启发,从而发明了锯.
(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换 律和结合律，即
ab ba
ab ba
(a b) c a (b c) (ab)c a(bc)
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法
的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使
得方程
ax0
ax 1(a 0)
都有唯一解
x a
x 1 a
猜想：22n + 1(n N * )是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
不是质数，从而推翻了费马的猜想 同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，
你能举一个例子吗？
【变式练习】
(2015·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图所
示：按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的
根数为( C )
A.6n-2
a1 1， an 2an1 1(n N*,且n 1）.
从这个递推公式出发，可以证明（1）式是正确的. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是
一种猜想，未必可靠.
费马猜想：
2 21 1 5, 2 22 1 17,
223 +1 = 257, 224 +1 = 65 537, 都是质数
2n p1 p2 (n N，n 3)
哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
【2】统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验, 进而对整体作出推断.
【3】成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到. 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知 全体.
（2）把第4个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面3个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为： （12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）； （13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13） （23）. 共移动了15次. 至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构 成的数列.
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用 符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金 属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动顺 序是：
（1）把第1个金属片从1号针移到2号针； （2）把第2个金属片从1号针移到3号针； （3）把第1个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为：（12）（13）（23） 共移动了3次. 当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为 n=2的情形，移动顺序是： （1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；