福建省莆田第八中学高三数学上学期期中试题 文

福建省莆田第八中学2017届高三数学上学期期中试题 文
一、选择题 (每小题5分，共60分)
1．设集合{}1,2,3,4U =，集合{}
2|540A x N x x =∈-+<，则U C A 等于（ ）
A ．{}1,2
B ．{}1,4
C ．{}2,4
D ．{}1,3,4
2．已知平面向量a r ＝(1,2)，b r ＝(－2，m )，且a r ∥b r ，则2a r ＋3b r
＝( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－6)
C ．(－4，－8)
D ．(－5，－10)
3．在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“2d =”是“124,,a a a 成等比数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设i 是虚数单位，若复数()621
i
a a R i ++
∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．e
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝3，S 9＝45，则S 3＝( )
A ．39
B ． -39
C ．12
D ．-12
7．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
8．函数21
x
x e y e =-的大致图象是（ ）
A B C D 9．已知2tan()3πα-=-
，且(,)2
π
απ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+的值为（ ）
A ．
37 B ．3
7
- C ．15 D ．15-
10．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
11．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a ＋
b ＋c
；类比
这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝（ )
A.
V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
B.
2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
12．若(m ＋1)x 2
－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)
二、填空题 (每小题5分，共20分)
13．若向量,a b r r 满足2,1,427a b a b ==-=r r r r ，则向量,a b r r
的夹角为_________．
14．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2≤0，x ＋3≥0，
x +y +1≤0，
则x 2＋y 2
的最大值为________．
15．观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n 个等式为________．
16.设函数()()()3,
132,1
x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
___________．
三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n ·
18．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n 2
－2n ．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
19．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2cos (cos cos )C a B b A c +=．
（1）求角C ； （2）若7c =，ABC ∆的周长为57+，求ABC ∆的面积S ．
20.（本小题满分12分）已知函数()2
3
3sin cos cos 2
f x x x x =++
． （1）当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()y f x =的值域； （2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，若函数()g x 的最小正周期是π，求ω 的值和函数()g x 的增区间．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面
ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．
(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；
(2)求三棱锥P ­BEF 的表面积．
22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数．
(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；
(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1x ；
(3)在区间(1，e)上
f (x )
x －1
>1恒成立，求实数a 的取值范围．
高三数学（文）期中考试
参考答案
BCACB
DCCDA
CC
【答案】23
π 【答案】13
【答案】n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
【答案】[)11,3,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
17．解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q ＝6，
6a 1＋a 1q 2
＝30.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，
q ＝2，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，q ＝3.
当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1
，S n ＝3×(2n
－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1
，S n ＝3n
－1.
18【解析】
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2×1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2
－2n )－[3(n －1)2
－2(n －1)]＝6n －5.n=1时成立 所以，a n ＝6n －5(n ∈N *
)． (2)由(1)得b n ＝
3
a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
6n －5－16n ＋1，
故T n ＝12（1－17）＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1.
19【解析】
（1）由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，
即2cos sin()sin C A B C +=，∴2cos sin sin C C C =，故
1
cos 2C =
又(0,)C π∈，∴
3C π
=
．
（2）57a b c ++=+且7c =
，∴5a b +=，
由余弦定理得：
222cos 7a b ab C +-=，∴6ab =， 133sin 22ABC S ab C ∆=
=．
20【解析】
（2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛
⎫=+=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2,2T π
πωω
===
5222,2321212
5,,1212k x k k x k k k k Z
πππ
ππ
ππππ
ππππ-
+≤+
≤
+-
+≤≤+⎡⎤
∴-++∈⎢⎥⎣⎦
增区间为
21解：(1)证明：如图，作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME . ∵点F 为PD 的中点， ∴FM P 1
2C D ，
又AE P 1
2CD ，
∴AE P FM ，
∴四边形AEMF 为平行四边形，
∴AF ∥EM ，
∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线AF ∥平面PEC .
(2)连接ED ，BD ，可知ED ⊥AB ，
⎭
⎪⎬⎪⎫ ⎭
⎬⎫
⎭⎪⎬⎪
⎫PD ⊥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥AB
DE ⊥AB
⇒AB ⊥平面PEF
PE ，FE ⊂平面PEF
⇒AB ⊥PE ，AB ⊥FE . 故S △PEF ＝12PF ×ED ＝12×12×32＝3
8
；
S △PBF ＝12PF ×BD ＝12×12×1＝14
； S △PBE ＝12PE ×EB ＝12
×
72×12＝78； S △BEF ＝12
EF ×EB ＝1
2×1×12＝14
.
因此三棱锥P ­BEF 的表面积S P ­BEF ＝S △PEF ＋S △PBF ＋S △PBE ＋S △BEF ＝4＋3＋7
8.
22解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a
2
＝2，a ＝4.
(2)证明：令g (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －1x 221x a x
-=.
令g ′(x )=0，解得x =1，
因为g ′(x )在(0,1)上为负，在(1，＋∞)上为正．
所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1x .
(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝a
x
－1，令h ′(x )>0，解得x <a . 当a >e 时，h (x )在(1，e)上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0. 当1<a ≤e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减， 所以只需h (e)≥0，即a ≥e－1.
当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则需h (e)≥0， 而h (e)＝a ＋1－e<0，不合题意． 综上，a ≥e－1.
故实数a的取值范围为[e－1，＋∞)．。