第十二单元直线和圆的方程§12.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件

10
.
[解析] 由题意,圆的方程为 x2+y2-2x-4y=0,可得圆心的坐标为(1,2),半径 r= 5,
圆心到直线 3x-y-6=0 的距离 d=
可得
2 2 2
10 5
=r -d =5- = ,即
2
4 2
|3×1-2-6|
=
2
32 +(-1)
10
2
,则由圆的性质,
AB= 10.
9
目录
【易错自纠】
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.
( × )
(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( × )
(3)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2.
( √ )
(4)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切.
2023届
数学
高考第一轮复习
第十二单元 直线和圆的方程
§12.4
直线与圆、圆与圆的位置关系
学 基础知识
讲 考点考向
悟 方法技能
目录
学 基础知识
学 基础知识
3
目录
知识清单
1.直线与圆的位置关系（半径为 ，圆心到直线的距离为 ）
相离
相切
相交
方程观点
△< 0
△= 0
△> 0
几何观点
>
=
消去 y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
2
+ (y-1) = 5
因为 Δ=16m2+20>0,所以直线 l 与圆相交.
(法二:几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线 l 的距离 d=
|-|
2 +1
<1< 5,故直线 l 与圆相交.
(法三)易得直线 l 过定点(1,1).把点(1,1)代入圆的方程有 1+0<5,所以点(1,1)在圆的内部,故
2
当直线 MP⊥l 时,|MP|min= 5,|PA|min=1,此时|PM|·|AB|最小.
1
1
1
2
2
2
所以 MP:y-1= (x-1),即 y= x+ ,
1
1
= -1.
= x+ ,
2
2
由
解得
= 0.
2 + + 2 = 0,
所以以线段 MP 为直径的圆的方程为(x-1)·(x+1)+y(y-1)=0,即 x2+y2-y-1=0,
直线 l 与圆 C 相交.
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2.(2022·杭州模拟)若无论实数 a 取何值时,直线 ax+y+a+1=0 与圆 x2+y2-2x2y+b=0 都相交,则实数 b 的取值范围为(
A.(-∞,2)
C.(-∞,-6)
C
).
B.(2,+∞)
D.(-6,+∞)
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【解析】∵x2+y2-2x-2y+b=0 表示圆,∴8-4b>0,即 b<2.
4.若圆 x2+y2=1 与圆(x+4)2+(y-a)2=25 相切,则常数 a= ±2 5或 0.
[解析] 两圆的圆心距 d= (-4)2 + 2 ,由两圆相切,得 (-4)2 + 2 =5+1 或
(-4)2 + 2 =5-1,解得 a=±2 5或 a=0.
10
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5.已知圆 C:x2+y2=9,过点 P(3,1)作圆 C 的切线,则切线方程为
图形
量的关
系
> 1 + 2
5
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拓展知识
圆的切线Байду номын сангаас程常用结论
（1）过圆 2 + 2 = 2 上一点 (0 , 0 ) 的圆的切线方程为 0 + 0 = 2 .
（2）过圆 ( − )2 +( − )2 = 2 上一点 (0 , 0 ) 的圆的切线方程为 (0 −
两圆的方程相减可得 2x+y+1=0,即为直线 AB 的方程.
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(2)(2022·四川绵阳模拟)已知圆 C 与直线 x+y+2=0 和圆
x2+y2+12x+12y+54=0 都相切,则半径最小的圆 C 的标准方程为(
A
).
A.(x+2)2+(y+2)2=2
B.(x-2)2+(y-2)2=2
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考点3 直线与圆的综合应用
【考向变换】
考向1 圆的切线问题
例 2 (1)(2022·兴庆模拟)过点 P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1 的切线,则切
线方程为(
D
).
A.4x-3y+4=0
B.3x-4y+4=0
C.x=2 或 4x-3y-4=0
D.x=2 或 4x-3y+4=0
26
目录
<
图形
量化
4
目录
2.圆与圆的位置关系（两圆半径分别为 1 , 2 , = |1 2 | ）
相离
外切
相交
内切
内含
= 1 + 2
1 − 2 <
_______________
< 1 + 2
__________
= |1 +
2 |
< |1 − 2 |
_____________
D.2x+y+1=0
32
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【解析】(1)因为圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4,点 M 到直线 l 的距离
|2×1+1+2|
d=
22 +12
= 5>2,所以直线 l 与圆相离.
由圆的知识可知,A,P,B,M 四点共圆,且 AB⊥MP,所以
1
|PM|·|AB|=4S△ PAM=4× ×|PA|×|AM|=4|PA|,而|PA|= ||2 -4,
|-1+4-2|
1+ 2
4
=1,解得 k= ,
3
4
此时切线的方程为 y-4= (x-2),即 4x-3y+4=0.
3
综上,所求切线方程为 x=2 或 4x-3y+4=0.
27
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(2)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最
小值为( C ).
A.1
B.2 2
C. 7
D.3
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【解析】(2)当直线 y=x+1 上的点与圆心之间的距离最小时,所求切线长取
到最小值,圆心(3,0)到直线 y=x+1 的距离 d=
|3-0+1|
2
=2 2,圆的半径 r=1,故
切线长的最小值为 2 - 2 = 8-1= 7.
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点拨
1.求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法
)( − ) + (0 − )( − ) = 2 .
（3）过圆 2 + 2 = 2 外一点 (0 , 0 ) 作圆的两条切线，则两切点所在直线
方程为 0 + 0 = 2 .
6
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夯实基础
【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
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目录
点拨
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆
半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去
x2,y2 项得到.
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【追踪训练 1】(2022·湖北武汉模拟)圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2-4x+4y12=0 的公共弦的长为( C ).
∵直线 ax+y+a+1=0 过定点(-1,-1),
∴点(-1,-1)在圆 x2+y2-2x-2y+b=0 的内部,∴6+b<0,解得 b<-6.
故实数 b 的取值范围是(-∞,-6).故选 C.
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3.(2022·山东聊城模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上恒有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距
A. 2
B. 3
C.2 2
D.3 2
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目录
【解析】因为圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2-4x+4y-12=0,
两式相减得 x-y+2=0,即公共弦所在的直线方程.
2
圆 C1:x2+y2=4,圆心到公共弦的距离 d= = 2,
2
所以公共弦长 l=2 2 - 2 =2 2.
25
(a+b)2=9.根据基本不等式可知 ab≤
+ 2 9
= ,当且仅当
2
4
a=b 时等号成立,故 ab
9
4
的最大值为 .
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【变式设问】 (1)若将本例条件中的“外切”变为“内切”,求 ab 的最大值.
(2)若将本例条件中的“外切”变为“相交”,求公共弦所在的直线方程.
【解析】(1)由 C1 与 C2 内切,得 ( + )2 + (-2 + 2)2 =1,即(a+b)2=1.
法
圆心到直线的距离等于半径,即可求出 k 的值,进而写出切线方程
代数
法
当斜率存在时,设为 k,则切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入
圆的方程,得到一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k 的值,切线方
程即可求出
提醒:当点(x0,y0)在圆外时,一定要注意斜率不存在的情况.
3
程为 x=3 或 4x+3y-15=0.
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讲 考点考向
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考点1 直线与圆的位置关系
【题组过关】
1.(一题多解)直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=5 的位置关系是( A ).
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
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- + 1- = 0,
【解析】(法一:代数法)由 2
( √ )
7
目录
【对接教材】
2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围
是
[-3,1].
[解析] 由题意可得,圆的圆心坐标为(a,0),半径为 2,所以
|-0+1|
12 +(-1)2
≤ 2,
即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
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3.若直线 3x-y-6=0 与圆 x2+y2-2x-4y=0 相交于 A,B 两点,则|AB|=
31
目录
【追踪训练 2】(1)(2020 年全国Ⅰ
卷)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线
l:2x+y+2=0,P 为 l 上的动点,过点 P 作☉M 的切线 PA,PB,切点为 A,B,当
|PM|·|AB|最小时,直线 AB 的方程为(
A.2x-y-1=0
C.2x-y+1=0
D
).
B.2x+y-1=0
于判断直线与圆锥曲线的位置关系
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考点2 圆与圆的位置关系
【典例迁移】
例 1 已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 外切,则 ab 的最大
值为(
C
A.
6
2
).
3
B.
2
9
C.
4
D.2 3
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【解析】由圆 C1 与圆 C2 外切,可得 ( + )2 + (-2 + 2)2 =2+1=3,即
先求切点与圆心连线的斜率 k,若 k 不存在,则结合图形可直接写出切线
方程为 y=y0;若 k=0,则结合图形可直接写出切线方程为 x=x0;若 k 存在且 k≠0,
1

则由垂直关系知切线的斜率为- ,由点斜式可写出切线方程.
30
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2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的两种方法
几何 当斜率存在时,设为 k,则切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0.由
x=3 或 4x+3y-15=0
.
[解析] 由题意知点 P 在圆外,当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=3,满足题
意;当切线斜率存在时,设斜率为 k,所以切线方程为 y-1=k(x-3),所以 kx-y+1|×0-0+1-3|
3k=0,所以
2 +(-1)2
4
=3,解得 k=- ,所以切线方程为 4x+3y-15=0.综上,切线方
离为 1,则实数 r 的取值范围是(
A
).
A.( 2+1,+∞)
B.( 2-1, 2+1)
C.(0, 2-1)
D.(0, 2+1)
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目录
2
【解析】计算得圆心到直线 l 的距离为 = 2>1,如图,直线 l:x-y-2=0 与圆相
2
交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直
又 ab≤
+ 2 1
= ,当且仅当
2
4
1
a=b 时等号成立,故 ab 的最大值为 .
4
(2)由题意把圆 C1,圆 C2 的方程都化为一般方程,得
圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0, ①
圆 C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,
②
由②-①得(2a+2b)x+3+b2-a2=0,
即(2a+2b)x+3+b2-a2=0 为所求公共弦所在的直线方程.
线 l2 的距离,即 r> 2+1.
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点拨
几何法
判断直线与圆的位置关系的一般方法
圆心到直线的距离与圆半径比较大小,即可判断直线与圆的位置关系.这
种方法的特点是计算量较小
将直线方程与圆方程联立方程组,再将二次方程组转化为一元二次方程,
代数法
该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系.这种方法具有一般性,适合
【解析】(1)由圆(x-1)2+(y-1)2=1,得到圆心坐标为(1,1),半径 r=1.
当过点 P 的切线斜率不存在时,直线 x=2 满足题意;
当过点 P 的切线斜率存在时,设为 k,
由点 P 的坐标为(2,4),可得切线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,