反函数练习

反函数练习
一、选择题
1．定义在R 上的函数y=f(x)有反函数，下列命题中假命题为（ ）
A ．y=f(x)与)(1y f x -=的图象不一定关于y=x 对称
B ．)(1x f y -=与
)(1x f y --=的图象关于x 轴对称 C ．y=f(x)与
)(1x f y -=的图象不可能有交点 D ．y=f(x)与)(1x f y -=的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个
2．下列说法中正确的是（ ）
①一函数图象上的任意两点的连线都不平行于x 轴，则此函数在定义域上一定是单调的 ②图象关于直线y=x 对称的函数一定有反函数，且其反函数是它自己
③一函数是奇函数，且有反函数，则它的反函数也是奇函数
④定义域是一个闭区间并且图象连续的函数，一定有最大值与最小值。

A ．②③④
B ．②④
C ．③④
D ．①②③④
二、填空题
3．如果点（1，2）既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，那么a=__________b=__________。

4．函数196)(--+==x x x f y 的反函数为___________。

三、解答题
5．已知实数a ≠0 ，a ≠1，函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且。

求证：函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 成轴对称图形。

6．已知函数)2(12-≤-=x x y ，求)4(1-f 。

7．已知x x x f 32)3
(+=，求)3(x f -。

8．已知x x x f 324)(++=，求)]([1x f f -及
)]([1x f f -的解析式，并判定它们是否为同一函数。

9．已知y=f(x)的定义域为]0,(-∞，且x x x f 2)1(2+=+，求)2(1-f 。

10．设y=f(x)是单调递增函数，求证
)(1x f y -=也是单调递增函数。

11．函数⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈-=]0,( 1],0[ 22x x x x y 是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在，
请说明理由。

12．已和函数y=f(x)在其定义域]0,(-∞上存在反函数，且x x x f 2)1(2-=-，求)21(1--f 的值。

参考答案
1．C 它错在y=f(x)与)(1x f y -=有可能有交点，反例：y=-x+3的反函数为y=-x+3，这两条直线重合，它们有无数多个交点。

故选C 。

2．A ①可举反例：
x y 1=。

故选A 。

3．a=-3 b=7 确定a 、b 只要列出关于a 、b 的两个方程，而由f （1）=2可得一方程，但直接用
2)1(1=-f 则需求出反函数，应注意
1)2(2)1(1=⇔=-f f 。

依题意可有：
f(1)=2且f(2)=1，即
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+122b a b a 解得⎩⎨⎧=-=73b a
4．1916)(1++-==-x x x f y ，),8[+∞∈x ，
1)39(19969)(-+-=-+-+-==2x x x x f y ，),8[+∞∈y ， ∴391+-=+x y 。

∴
9)31(2+-+=y x 。

∴9)31()(21+-+==-x x f
y ，),8[+∞∈x
5．解：要证明函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 成轴对称图形，只要证明该函数的反函数是其自身，即该函数与它的反函数是同一个函数。

证明：由
)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且，得
y(ax-1)=x-1。

∴(ay-1)x=y-1。

若ay-1=0，则
a y 1=。

代入
11--=ax x y ，得111--=ax x a ，从而ax-a=ax-1。

∴a=1，与已知矛盾。

故ay-1≠0。

于是，由(ay-1)x=y-1，得
)1(11a y ay y x ≠--=。

∴函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的反函数为)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且。

这就是说函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的反函数是其自身。

故函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 对称。

6．解：求出)(1x f -或根据f(x)与)(1x f -中x 、y 的互换关系解答。

解法一：函数)2(12-≤-=x x y 的反函数为1)(1+-=-x x f
所以514)4(1-=+-=-f
解法二：令142-=x 得5±=x ，因为x ≤-2，所以5-=x ，即
5)4(1-=-f 7．解：x x f 32)3(+=，∴)2,0(12)(≠≠+=y x x x f ， ∴)0,2(211≠≠-=-y x x f ， ∴)6(,63231)3(1≠-=-=-x x x x f
8．解：由x x x f 324)(++=求出反函数)31(1324)(1≠--=-x x x x f ， 则)32(132********)(3)(24)]([1-≠=-++⋅++⋅
-=--=-x x x x x x
x f x f x f f
)31(21324313244)(32)(4)]([111≠=+--⋅--+=++=---x x x x x x x f x f x f f
虽然)]([1x f f -与)]([1x f f -两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不是同一函数。

9．解：令x+1=t ，则x=t-1，所以1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
即)0(1)(2
≤-=x x x f ，由212=-x 且x ≤0 得3-=x ，所以3)2(1-=-f
10．证明：设1x 、2x 是)(1x f y -=定义域中任意两个值，且21x x >，
令111)(y x f =-，221)(y x f =-，则有)(11y f x =，)(22y f x =
即)()(21y f y f >，∴21y y >
即)()(2111x f x f
-->。

∴)(1x f -单调递增。

11．解：不存在反函数，理由为：已知函数不是单调函数，如取
21
-=y 时，对应的x 值有两个值为
411=
x ，222-=x 。

12．解：1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，∴
1)(2-=x x f 。

由)(1x f -与f （x ）的关系，令2112-=-x ，解得212=x 。

∵]0,(-∞∈x ，∴
22-=x 。