安徽省合肥市六校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷+含答案

数学(理科)试卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1. 直线l 的方程为222y x +=-，则（ ）
A.直线l 过点(2,2)-，斜率为
12 B. 直线l 过点(1,2)-，斜率为1
2
C. 直线l 过点(1,2)-，斜率为2
D. 直线l 过点(2,2)-，斜率为2
2.双曲线22
145x y -=的离心率是（ ）
A.2
B. 32
C. 2
D.94
3. 已知定点)0,3(B ，点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是
（ ）
A.22(1)1x y ++=
B.22(2)4x y -+=
C.22(1)1x y -+=
D.22(2)4x y ++=
4. 双曲线2
2
94360x y -+=的一条渐近线的方程为 （ ）
A .940x y -=
B .490x y -=
C .320x y +=
D .230x y -= 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A.8+
B.8+
C.4+
D.6+ 6. “12
m =-
”是“直线2
(1)10m x y --+=与直线2(1)10x m y +--=互相垂直”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件 7. 已知圆2
2
1:2310C x y x y ++++=，圆
222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ）
A.相切
B.内含
C.外离
D.相交
8. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，球O 与圆锥的底面和侧面均相切，设球O 的体积为1V ，圆锥的体积为2V ，则
1
2
V V =（ ） A .18 B .38 C .14 D .827
9.下列命题是真命题的是（ ）. A.“若>a b ,则22>a b ”的逆命题
B.“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定
C. “若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题
D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()+f x g x 是R 上的奇函数”的逆否命题
10.已知抛物线2
2(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴交
于(0,)2
p
M ,若||8AB =，则抛物线的准线方程为（ ） A .2y =- B . 1y =- C . 2x =- D .1x =-
11.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，,E F 分别在棱,AC AD 上，且BE AC ⊥于E ， BF AD ⊥于F ，则下列说法正确的有（ ）
①ACD ∠是直角
②BEF ∠是异面直线BE 与CD 所成角
③CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角 ④BFE ∠是二面角B AD C --的平面角
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12．已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆
分别沿ED 和FD 折起，使点A 和C 重合于点P ，则三棱锥P EFD -的外接球表面积为（ ）
A. 26π
B. 13π
C.
3
D.
3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.命题“2
000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为： .
14.离心率1
2
e =
，且过的椭圆的标准方程为 或 .
15.已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -，若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+，则点M 的轨迹方程为 . 16.已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则2
2
PB PA +的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中 (1)求证：1DB AC ⊥
(2)求证：平面11A B CD ⊥平面1ACD
18. （本小题满分10分）
设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,B C ，经过抛物线上一点P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M ，设||BC a =，||MP b =，||OM c =，求证：,,a b c 成等比数列.
19. （本小题满分12分）
C 1
B
1
D
1
A
1
D C
B
A
已知ABC ∆的顶点C (2,-8)，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=.
（1）求顶点A 和B 的坐标；
（2）求ABC ∆外接圆的一般方程.
20. （本小题满分12分）
已知四点12341
112(3,),),(),(,
)22233
P P P P --中只有三点在椭圆C ：
22
221x y a b
+=上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 的斜率为1，直线l 与圆2
2
1x y +=相切，且与椭圆C 交于点,A B ，求线段AB 的长.
21.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等边三角形
且垂直于底面ABCD ，12
AB BC AD ==，
090BAD ABC ∠=∠=, E 是PD 的中点．
(1)证明：直线CE ∥平面PAB ； (2)求二面角B PC D --的余弦值．
22.（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>，
直线02
p
x -
=与x 轴交于点F ，与抛物线C 的准线交于点M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N ，且FMN ∆
（1）求p 的值；
（2）过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，设AF FB λ=，3(,0)2
D -，当1
[,3]2λ∈时，
求DA DB ⋅的取值范围.
D
数学(理科)试卷答案及评分标准
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.2,10x R x x ∀∈-->
14.2
2
1129x y +=或22
14141
34
y x += 15. 22
1(1)3
x y y -=≤-
16. 36
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.证明：(1)连结BD 、11B D
1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD
1DD ∴⊥AC ………………………………2分 又AC BD ⊥，1BD DD D ⋂=，1BD DD ⊂、平面11DBB D
AC ∴⊥平面11DBB D ， ………………………………4分 又1DB ⊂平面11DBB D
1AC DB ∴⊥即1DB AC
⊥. ………………………………6分
(2)由(1)同理可得11DB AD ⊥， ………………………………8分 又1AD AC A ⋂=，1,AD AC ⊂平面1ACD 1DB ∴⊥
平面1
ACD
………………………………10分 又1DB ⊂平面11A B CD
∴平面11A B CD ⊥平面1
ACD
………………………………12分
（其他解法参照赋分）
18. 证明：以抛物线的顶点为O 坐标原点，对称轴为x 的平面直角坐标系， ………………………………2设抛物线方程为2
2(0)y px p =>，则焦点(
,0)2
p
F ∵BC ⊥x 轴，∴(,),(,)22
p p
B p
C p -…………………6 ∴||2BC p a == ………………………………7又∵PM ⊥x 轴于点M ，||MP b =，||OM c =，
∴(,)(,)P c b c b -或，………………………………8分 ∵P 在抛物线上，
∴2
2b pc =， ……………………………… ∴2b ac =即,,a b c 成等比数列. ………………………………10分 （其他解法参照赋分）
C 1
B
1
D 1
A
1
D C
B
A
19.解：（1）由211
320
y x x y =-+⎧⎨
++=⎩可得顶点(7,3)B -,………………………………1分
又因为AC BH ⊥得，1
3BH k =-
………………………………2分
所以设AC 的方程为3y x b =+， ………………………………3分
将C (2,-8)代入得14b =- ………………………………4 由211314
y x y x =-+⎧⎨
=-⎩可得顶点为
A (5,1) ………………………………5分
所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,-3) ………………………………6分
（2）设ABC ∆的外接圆方程为22
0x y Dx Ey F ++++=，…………………7分
将A
(5,1)、B (7,-3)和C (2,-8)三点的坐标分 别代入得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩则有4
612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
………………………………11分
所以ABC ∆的外接圆的一般方程为22
46120x y x y +-+-=.………………12分
（其他解法参照赋分）
20. 解：（1
）根据椭圆的对称性可知234112),(),(223P P P -在椭圆C 上，…………2分
设椭圆C 的方程为：
221mx ny +=， ………………………………3分
由已知得，
1314
4819
9m n m n ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ ………………………………4分 解得：
1
,14
m n ==， ………………………………5分
故椭圆C 的方程为：2
214
x y +=. ………………………………6分 （2）∵直线l 的斜率为1，故设直线l 的方程为：y x m =+即0x y m -+=，1122(,),(,)A x y B x y
………………………………7分
∵直线l 与圆22
1x y +=
相切，∴
212m =⇒=， ………………………………8分
由22
22
5844014
y x m x mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，即25840x m x ++=………………
9分
∴121285
45m x x x x ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
………………………………
10分
∴12|||AB x x =-==
. ………………………………12分
（其他解法参照赋分）
21.解：(1)取PA 的中点F ，连FE FB 、， E 是PD 的中点,
∴FE //
=1
2AD ， ………………………………2分 又BC //=12
AD
∴FE //=
BC ∴四边形EFBC 是平行四边形…………………………4分
CE ∴∥BF
又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ………………5分 ∴CE ∥平面PAB ………………………6分 (2)在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ，不妨令
1
22
AB BC AD ===，则4AD =
由PAB ∆是等边三角形，则2PA PB ==，O 为AB
的中点，PO = 分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴，以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系， ………………………………7分 则
(0,0,3)P ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(1,4,0)D -
(1,2,PC ∴=，(0,2,0)BC =，(2,2,0)CD =-………8分
设平面PBC 的法向量为111(,,1)
n x y =
，平面PDC 的法向量为
222(1,,)n y z =-，
则11111112000200n PC x y x y n BC y ⎧⎧⋅=+==⎪⎪
⇒⎨⎨=⋅=++=⎪⎪⎩
⎩
则1(3,0,1)n =……9分 222222*********y n PC y z n CD y ⎧=-⎧⋅=-+
-=⎪⎪⇒⎨
⎨=⋅=++=⎪⎪⎩⎩
则2(1
,1,n
=--…………
10分 121212(3,0,1)cos ,5||||n n n n n
n ⋅∴<>=
===-⋅…………11分
D
经检验，二面角B PC D --
的余弦值的大小为5
-
. ………………………………12分 （其他解法参照赋分）
22.解：（1）∵抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p
，直线02
p
x -=与x 轴交于点(
,0)2
p
F ， ………………………………1分 ∴(
,0)2
p
F 为抛物线C 的焦点，抛物线C 的准线为直线2
p
x =-
………………………………2分
∴
(2p M -，………………………………3分 由过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N
得(6p N …4分 ∴2||3p MN =
， ∴FMN ∆
的面积为112||||3223p MD NM p ⋅=⋅
== ………………………………6分
或解
由抛物线定义得||||MN NF =，
∵
直线02
p
x -
=的倾斜角为150，∴120MNF ∠= FMN ∆的面积为
1122||||sin12032233p p MN NF p ⋅=⋅⋅=⇒=.
………………………………6分
（2）由（1）知，抛物线C 的方程为2
6y x =，设22
12
12(,),(,)66y y A y B y ，
由AF FB λ=得1222
1222121233(,)(,)332662()26
62y y y y y y y y λλλ-=⎧⎪--=-⇒⎨-=-⎪
⎩，…………8分
不妨设20y >
，故21y y =
=-,………………………………9分
∴1233
,22x x λλ
=
= ∴11221212123339
(,)(,)()2224
DA DB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++ 919()42λλ=
+-,1
[,3]2
λ∈………………………………11分 ∴当1λ=时，DA DB ⋅最小为0；当3λ=时，DA DB ⋅最大为3，
即DA DB ⋅的取值范围是[0,3].………………………………12分。