河北省定州中学高二数学下学期第一次月考试题

河北省定州中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题
一、单选题
1．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )
A. 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线
2．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足()()1f x f x +=-，当11x -≤<，
()3f x x =．函数()log ,0
{
1
,0a x x g x x x
=-<，若函数()()()h x f x g x =-在[)6,-+∞上有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()10,
7,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ B. [)11,7,997⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
C. (]11,7,997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
D. (]1,11,99⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭ 3．已知双曲线2
2
1x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，动直线:l y kx m =+与圆2
2
1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()111,P x y ， ()222,P x y ，则21x x -的最小值为（ ）
A. 4．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ， F 分别在边AD ， BC 上，且2DE AE =，
2CF BF =．若有()7,16λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ⋅=成立的点P 有
（ ）个
A. 2
B. 4
C. 6
D. 0
5．抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB π
∠=
. 设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
MN AB
的最大值是（ ）
A.
23 B. 1 C. 32 D. 16
6．在平面直角坐标系中，第一象限有一系列圆，所有圆均与轴和直线相切，且任何相邻两圆外切；圆的半径为，其中
.若圆
的半径
，则数列
的前项
和
（ ）
A. B. C. D.
7．已知
为球的一条直径，过
的中点作垂直于
的截面，则所得截面和点构成的圆
锥的表面积与球的表面积的比值为（ ）
A. B. C. D.
8．设方程的两个根为
，则( )
A.
B. C.
D.
9．已知函数函数，其中，若函数恰有个零
点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
10．如图，正方体的棱长为1，中心为，
，
，则四面体
的体积为（）
A. B. C. D.
11．已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
12
．已知抛物线的焦点为F
，设
是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值
A. B. C. D.
二、填空题
13．如图，已知抛物线0
∆>的焦点为22
430
k m
-+>，直线()()()
22
12121212
y y kx m kx m k x x km x x m
=++=+++过
222
22
222
4128312
343434
m km m k
k km m
k k k
--
⎛⎫
+-+=
⎪
+++
⎝⎭
且依次交抛物线及
圆于点
3
•
4
O A O B
K K=-四点，则12
12
3
4
y y
x x
=-的最小值为__________．
14．过双曲线2
2
4x y -=的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于,P Q 两点，则
FP FQ ⋅的值为___
15．已知椭圆 和双曲线
的左右顶点，
分别为双曲线和
椭圆上不同于的动点，且满足
，设直线
的斜率分别为
，则
______.
16．对于定义在区间上的函数，若满足对且
时都有
，则称函数
为区间上的“非增函数”．若
为区间
上的“非增函数”且
，
，又
当时，
恒成立．有下列命题：
①
； ②当
且
时，
；
③；④当时，．
其中你认为正确的所有命题的序号为________．
三、解答题
17．已知函数()ln f x x x =.
（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x
-=
在[]
1,e 上的最小值为
3
2
，求a 的值；
（3）若k Z ∈,且()()10f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值.
18．若函数f (x )=ax 3
－bx ＋4，当x=2时，函数f (x )有极值－. (1)求函数的解析式；
(2)若关于x 的方程f (x )=k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
参考答案
DCABB BBDDD 11．D 12．B 13．
372
14．8 15．0 16．①③④
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
（1）()f x 的单调增区间为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调减区间为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦， ()min 11
f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（2）()ln a F x x x =-
， ()2
x a
F x x ='+， Ⅰ．当0a ≥时， ()0F x '>， ()F x 在[]
1,e 上单调递增， ()()min 3
12
F x F a ==-=，所以[)3
0,2
a =-
∉+∞，舍去. Ⅱ．当0a <时， ()F x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， ①若()1,0a ∈-， ()F x 在[]
1,e 上单调递增， ()()min 3
12
F x F a ==-=
，所以[)3
0,2
a =-∉+∞，舍去，
②若[],1a e ∈--， ()F x 在[]1,a -上单调递减，在[]
,a e -上单调递增，所以
()()()
min 3
1ln 2
F x F a a ==-+=
，解得[],1a e =--. ③若(),a e ∈-∞-， ()F x 在[]
1,e 上单调递减， ()()min 3
12
a F x F e e ==-
=，所以(),2
e
a e =-∉-∞-，舍去，
综上所述， a =（3）由题意得： ()1ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1
x x x
k x +<-对任意1x >恒成立.
令()ln 1x x x h x x +=
-，则()()2
l n 2
1x x h x x --
=-'，令
()l n 2(1)
x x x x ϕ=-->，则()1110x x x x
ϕ'-=-
=>， 所以函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，
因为方程()0x ϕ=在()1,+∞上存在唯一的实根0x ，且()03,4x ∈，当01x x <<时，
()0x ϕ<，即()0h x '<，
当0x x >时， ()0x ϕ>，即()0h x '>.
所以函数()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上单调递增. 所以()()()()()000000min 001ln 123,41
1
x x x x h x h x x x x ++-==
=
=∈--
所以()0min k g x x <=，又因为()03,4x ∈，故整数k 的最大值为3.
18． (1)f (x )＝x 3
－4x ＋4.(2)－＜k ＜.
(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2
－b ，
于是解得
故所求的解析式为f (x )＝x 3
－4x ＋4.
(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2
－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2. 当x 变化时f ′(x )、f (x )的变化情况如下表所示：
因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值； 当x ＝2时，f (x )有极小值－. 所以函数的大致图象如图．
故实数k的取值范围是－＜k＜.。