高考数学一轮复习 第四章解三角形 课时跟踪训练19 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文

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课时跟踪训练(十九) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[基础巩固]
一、选择题
1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝( ) A ．1 B.12 C.32
D ．－12
[解析]
sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－
cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝1
2
.
[答案] B
2．已知π
2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )
A.23
B.64
C.22
3
D.32
6
[解析] 由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π
2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α
＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝
223.
[答案] C
3．已知sin α－cos α＝23，则sin 2(π
4－α)＝( )
A.1
18 B.19 C.29
D.29
[解析] 将sin α－cos α＝23两边平方得2sin αcos α＝59，所以sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4
－α
＝
1－cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π
2－2α
2
＝
1－2sin αcos α
2
＝2
9
，故选D. [答案] D
4．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－4
D ．4
[解析] ∵tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan
π
41＋tan αtan
π4＝tan α－11＋tan α＝14，
∴tan α＝53，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4. [答案] C
5．(2017·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )
A ．－19
5
B ．－519
C ．－3117
D ．－1731
[解析] 由题意得cos α＝－45，则sin2α＝－2425，cos2α＝2cos 2
α－1＝725.
∴tan2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tan π41－tan2αtan π4＝－24
7＋1
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. [答案] D
6．(2017·浙江苍南县三校联考)若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－7
5，则cos(α
－β)＝( )
A ．－24
25
B.2425 C ．－150
D.150
[解析] sin α＋sin β＝75，① cos α＋cos β＝－7
5，②
①2＋②2
，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝49×225
，
∴cos(α－β)＝24
25.故选B.
[答案] B 二、填空题
7．已知cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． [解析] 由cos θ＝－
513，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2
θ＝－1213，故
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－1213×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×12＝5－12326.
[答案]
5－123
26
8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.
[解析] cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33＝－1.
[答案] －1
9．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝________.
[解析] ∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35为正数， ∴α＋π6是锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4
＝45×22－35×22＝2
10. [答案]
2
10
三、解答题 10．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；
(2)求sin2α
sin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．
[解] (1)tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4
＝
2＋1
1－2×1
＝－3.
(2)sin2α
sin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－
2
α－
－1
＝2sin αcos α
sin 2
α＋sin αcos α－2cos 2
α ＝2tan α
tan 2
α＋tan α－2
＝
2×2
22
＋2－2
＝1. [能力提升]
11．(2018·河北唐山期末)已知tan θ＝12，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ＝( ) A ．7 B ．－7 C.1
7
D ．－17
[解析] tan2θ＝2tan θ1－tan 2
θ＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4
3
，所以 tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－2θ＝tan π4－tan2θ1＋tan π4·tan2θ＝1－
431＋
43＝－17，故选D. [答案] D
12．(2018·江西宜春丰城中学段考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，
则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( )
A.3
5
B ．－35
C ．－45
D.45
[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝12sin α＋32cos α＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－435.∴32sin α＋12cos α＝－45，即sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝－45，∴
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π6＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，故选D.
[答案] D
13．化简：sin2α－2cos 2
αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.
[解析]
原式＝2sin αcos α－2cos 2
α
2
2α－cos α
＝
22cos αα－cos α
sin α－cos α
＝22cos α.
[答案] 22cos α
14．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，则角α的大小为__________．
[解析] 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2
α)，
整理得：sin α＋cos α
cos α－sin α＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)，
因为sin α＋cos α≠0，所以可得(cos α－sin α)2
＝12，
解得sin2α＝12，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以2α＝π6，α＝π
12.
[答案]
π12
15．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求cos β的值．
[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝6
2，
两边同时平方，得sin α＝1
2
.
又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2
α＝－32. (2)因为π2<α<π，π
2<β<π，
所以－π2<α－β<π
2
.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－
32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋3
10
. 16．(2017·湖北百所重点中学联考)设α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，满足6sin α＋2cos α＝ 3.
(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值． [解] (1)由6sin α＋2cos α＝3， 得22⎝
⎛⎭
⎪⎫
32sin α＋12cos α＝3，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝64.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6>0，
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝ 1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫642
＝104. (2)由(1)可得cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝1－2×⎝
⎛⎭⎪⎫642＝1
4
， sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×104×64＝154. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4
＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4＋sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝14×22＋154×22＝30＋2
8.。