(精品word版)2017年湖南省永州市冷水滩区中考二模数学

2017年湖南省永州市冷水滩区中考二模数学
一、选择题(本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上.每小题4分，共40分)
1. 2017的相反数是( )
A.2017
B.-2017
C.
1 2017
D.
1 2017 -
解析：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可.
2017的相反数是-2017.
答案：B.
2.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A.44×108
B.4.4×109
C.4.4×108
D.4.4×1010
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4400000000=4.4×109.
答案：B.
3.下列各式计算正确的是( )
A.6a+2a=8a2
B.(a-b)2=a2-b2
C.a4·a6=a10
D.(a3)2=a5
解析：各项计算得到结果，即可作出判断.
A、原式=8a，不符合题意；
B、原式=a2-2ab+b2，不符合题意；
C、原式=a10，符合题意；
D、原式=a6，不符合题意.
答案：C
4.不等式组
211
12
x
x
-≤
⎧
⎨
+-
⎩＞
的解集在数轴上表示为( )
A.
B.
C.
D.
解析：先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项.
21112x x -≤⎧⎨
+-⎩
①
＞②， ∵解不等式①得：x ≤1， 解不等式②得：x ＞-3，
∴不等式组的解集为-3＜x ≤1，
在数轴上表示为：.
答案：A.
5.下列命题中错误的是( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直 C.同旁内角互补 D.矩形的对角线相等
解析：A 、平行四边形的对角线互相平分，所以A 选项为真命题； B 、菱形的对角线互相垂直，所以B 选项为真命题； C 、两直线平行，同旁内角互补，所以C 选项为假命题； D 、矩形的对角线相等，所以D 选项为真命题. 答案：C.
6.下列说法正确的是( )
A.要了解我市九年级学生的身高，应采用普查的方式
B.若甲队成绩的方差为5，乙队成绩的方差为3，则甲队成绩不如乙队成绩稳定
C.如果明天下雨的概率是99%，那么明天一定会下雨
D.一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是6
解析：根据概率的意义和应用，全面调查与抽样调查的选择，以及统计量的选择，逐项判断即可.
选项A ：∵要了解我市九年级学生的身高，应采用抽样调查的方式， ∴选项A 不符合题意；
选项B：∵若甲队成绩的方差为5，乙队成绩的方差为3，则5＜3，
∴甲队成绩不如乙队成绩稳定，
∴选项B符合题意；
选项C：∵如果明天下雨的概率是99%，只能说明明天下雨的可能性大，但是并不说明明天一定会下雨，
∴选项C不符合题意；
选项D：∵一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数是7，众数是6和7，
∴选项D不符合题意.
答案：B.
7.下列四个立体图形中，左视图为矩形的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.③④
解析：左视图是分别从物体左面看，所得到的图形.
长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩形；
因此左视图为矩形的有①④.
答案：B.
8.如图，反比例函数
k
y
x
=的图象与一次函数
1
2
y x
=-的图象交于点A(-2，m)和点B，则
点B的坐标是( )
A.(2，-1)
B.(1，-2)
C.(1
2
，-1)
D.(1，
1
2 -)
解析：将A(-2，m)代入
1
2
y x =-，
∴m=1，
点A(-2，1)，
由于反比例函数与正比例函数的图象关于原点对称，
∴A与B关于原点对称，
∴B(2，-1)
答案：A.
9.如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中(不计空气阻力)，弹簧称的读数F(N)与时间t(s)的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
解析：开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变.
根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变-逐渐增大-保持不变.
答案：A.
10.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n-1A n B n-1(n＞2)的度数为( )
A.
702n B.1702n + C.1702n - D.2702
n + 解析：根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1A 2A 1，∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n-1A n B n-1的度数. ∵在△ABA 1中，∠A=70°，AB=A 1B ， ∴∠BA 1A=70°，
∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1=
12
BA A
∠=35°； 同理可得，
∠B 2A 3A 2=17.5°，∠B 3A 4A 3=12×17.5°=354
︒， ∴∠A n-1A n B n-1=
1
702n -︒
. 答案：C.
二、填空题(本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题4分，共32分)
11.抛物线y=3(x-2)2
+5的顶点坐标是 .
解析：由于抛物线y=a(x-h)2
+k 的顶点坐标为(h ，k)，由此即可求解.
∵抛物线y=3(x-2)2
+5， ∴顶点坐标为：(2，5). 答案：(2，5).
12.已知关于x 的一元二次方程2x 2
-3kx+4=0的一个根是1，则k= . 解析：把x=1代入已知方程列出关于k 的一元一次方程，
2×12
-3k ×1+4=0，即2-3k+4=0， 解得：k=2. 答案：2.
13.若a 2
-3a+1=0，则2
2
1
a a +
= . 解析：将2
21a a
+
配方为完全平方式，再通分，然后将a 2-3a+1=0变形为a 2
+1=-3a ，再代入完全平方式求值.
∵2
2
22
22211112222a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++-==⎝⎭
+--①；
又∵a 2
-3a+1=0，于是a 2
+1=3a ②，
将②代入①得， 原式=(
3a a
)2
-2=9-2=7. 答案：7.
14.如图，AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 (添加一个条件即可).
解析：要使△ABE ≌△ACD ，已知AB=AC ，∠A=∠A ，则可以添加一个边从而利用SAS 来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS 来判定其全等.
添加∠B=∠C 或AE=AD 后可分别根据ASA 、SAS 判定△ABE ≌△ACD. 答案：∠B=∠C 或AE=AD.
15.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，
2
3
DE BC =，△ADE 的面积是8，则△ABC 的面积为 .
解析：根据相似三角形的判定，可得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可得答案. ∵在△ABC 中，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∵
2
3
DE BC =， ∴22
4923ADE ABC
S DE S BC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭===，
849
ABC
S
=
，
∴S △ABC =18. 答案：18.
16.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.
我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=
2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1
3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3
2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …
写出杨辉三角第n 行中n 个数之和等于 .
解析：∵第1行数字之和1=20
，
第2行数字之和2=21
，
第3行数字之和4=22
，
第4行数字之和8=23
， …
∴第n 行数字之和2n-1
.
答案：2n-1
.
17.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 .
解析：∵一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：3
31
221=++.
答案：
13
.
18.如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB=30°，AB=BO ，
反比例函数k
y x
=
(x ＜0)的图象经过点A ，若S △ABO k 的值为 .
解析：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图所示.
∵∠AOB=30°，AD ⊥OD ，
∴
cot OD
AOB AD
=∠= ∵∠AOB=30°，AB=BO ， ∴∠AOB=∠BAO=30°， ∴∠ABD=60°，
∴
cot 3
BD ABD AD =∠=
， ∵OB=OD-BD ，
∴23AD
OB OD BD OD OD -===，
∴
23
ABO ADO
S S
=
，
∵ABO
S
，
∴12ADO
S
k =
=
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=-
答案：-
三、解答题(本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程)
19.计算：()(
)
2
2017
31t 13an 602π-⎛⎫
---+-+︒ ⎪
⎝⎭
解析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果.
答案：原式119213
=++=.
20.先化简，再求值：
2
2
2
1
121
a a
a a a
+
⎛⎫
+÷
⎪
--+
⎝⎭
，其中a=3.
解析：先把括号内通分，再把分子分母因式分解，接着把除法运算化为乘法运算后约分，然后把a的值代入计算即可.
答案：原式
()
()
2
1
211
11
a
a a
a a a a
-
+--
==
-+
，
当a=3 时，原式
2
3
3
1
3
-
==.
21.在读书月活动中，某校号召全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，图书管理员对部分书籍进行了抽样调查，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表.请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题：
某校师生捐书种类情况统计表
(1)统计表中的n= ，并补全条形统计图.
解析：(1)由科普书的频数除以百分比确定出总数目，进而求出m与n的值，补全条形统计图即可.
答案：(1)∵此次抽样的书本总数为12÷30%=40(本)，
∴m=8，n=14，
补全条形图如图：
故答案为：14.
(2)本次活动师生共捐书2000本，请估计有多少本科普类图书？
解析：(2)由科普书的百分比乘以2000即可得到结果.
答案：(2)2000×30%=600(本)，
答：估计有600本科普类图书.
22.测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D 点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，(可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)
(1)若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；
解析：(1)由题意可知△BCD是等腰直角三角形，所以BC=DC.
答案：(1)∵∠BDC=45°，∠C=90°，
∴BC=DC=20m，
答：建筑物BC的高度为20m.
(2)若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度.
解析：(2)直接利用tan50
AC
DC
︒=，进而得出BC的长求出答案.
答案：(2)设DC=BC=xm，
根据题意可得：
5
tan50 1.2
AC x
DC x
+
︒==≈，
解得：x=25，
答：建筑物BC的高度为25m.
23.某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购
买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元.
(1)求两人学习桌和三人学习桌的单价；
解析：(1)设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可.
答案：(1)设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，根据题意得出： 322023310
a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：5070a b =⎧⎨=⎩
， 答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元.
(2)学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W 与x 的函数关系式；求出所有的购买方案.
解析：(2)根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x 张，则购买3人学习桌(98-x)张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可.
答案：(2)设购买两人学习桌x 张，则购买3人学习桌(98-x)张，
购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，
则W 与x 的函数关系式为：W=50x+70(98-x)=-20x+6860；
根据题意得出：
()()50709860002398248x x x x +-≤⎧⎪⎨+-≥⎪⎩
， 由50x+70(98-x)≤6000，
解得：x ≥43，
由2x+3(98-x)≥248，
解得：x ≤46，
故不等式组的解集为：43≤x ≤46，
故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，
当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，
当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，
当购买两人桌46张时，购买三人桌52张.
24.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，若EF=EC ，且EF ⊥EC.
(1)求证：△AEF ≌△DCE.
解析：(1)根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF ≌△DCE.
答案：(1)证明：在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF ⊥EC ，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF 和△DCE 中，
13A D EF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△DCE(AAS).
(2)若CD=1，求BE 的长.
解析：(2)由(1)可知AE=DC ，在Rt △ABE 中由勾股定理可求得BE 的长.
答案：(2)由(1)知△AEF ≌△DCE ，
∴AE=DC=1，
在矩形ABCD 中，AB=CD=1，
在R △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，即12+12=BE 2，
∴
25.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AD 交AB 于E ，△ADE 的外接圆⊙O 与边AC 相交于点F ，过F 作AB 的垂线交AD 于P ，交AB 于M ，交⊙O 于G ，连接GE.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
解析：(1)连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线.
答案：(1)证明：连结OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O的切线.
(2)若tan∠G=4
3
，BE=4，求⊙O的半径；
解析：(2)构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可. 答案：(2)如图所示：
∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF，
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G，
∴tan∠4=tan∠G=4
3
，
设BD=4k，则OD=OE=3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得(3k)2+(4k)2=(3k+4)2，
解得，k1=2，k2=
1
2
-(舍)，(注：也可由OB=5k=3k+4得k=2)，
∴3k=6，即⊙O的半径为6.
(3)在(2)的条件下，求AP的长.
解析：(3)设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题. 答案：(3)连结AG，
则∠AGE=90°，∠EGM=∠5.
∴tan∠5=tan∠EGM=4
3
，
即
4
3
GM EM
AM GM
==，
3
4
AM GM
GM EM
==，
∴
339
1
446 AM AM GM
EM GM EM
==⨯=，
∴
99108
12
252525 AM AE
==⨯=，
∵OD∥AC，
∴OD OB
AC AB
=，
CD DB
AO OB
=，
即
65
8
AC
=，
8
610
CD
=.
∴
48
5
AC=，
24
5
CD=，
∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，∴△ACD∽△AMP.
∴
1
2 PM CD
AM AC
==，
∴
1
2
54
25 PM AM
==.
∴AP =
26.如图，抛物线y=14
x 2+bx+c 与x 轴交于A(5，0)、B(-1，0)两点，过点A 作直线AC ⊥x 轴，交直线y=2x 于点C.
(1)求该抛物线的解析式.
解析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式.
答案：(1)∵y=14
x 2+bx+c 与x 轴交于A(5，0)、B(-1，0)两点， ∴12550404
b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得514
b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩. ∴抛物线的解析式为21544
y x x =--.
(2)求点A 关于直线y=2x 的对称点A ′的坐标，判定点A ′是否在抛物线上，并说明理由. 解析：(2)方法一：(2)首先求出对称点A ′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A ′是否在抛物线上.本问关键在于求出A ′的坐标.如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt △A ′EA ∽Rt △OAC ，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A ′的坐标. 方法二：利用AA ’被OC 垂直平分，可先通过OC 的斜率得出AA ’的斜率，进而求出AA ’的直线方程，并与OC 的直线方程联立，求出H 点坐标，再利用中点公式求出A ’坐标，代入抛物线可判断点 是否在抛物线上.
答案：(2)方法一：如答图所示，过点A ′作A ′E ⊥x 轴于E ，AA ′与OC 交于点D ，
∵点C 在直线y=2x 上，
∴C(5，10)
∵点A 和A ′关于直线y=2x 对称，
∴OC ⊥AA ′，A ′D=AD.
∵OA=5，AC=10，
∴OC =. ∵1122
OAC S OC AD OA AC ==，
∴
∴AA ′
在Rt △A ′EA 和Rt △OAC 中，
∵∠A ′AE+∠A ′AC=90°，
∠ACD+∠A ′AC=90°，
∴∠A ′AE=∠ACD.
又∵∠A ′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A ′EA ∽Rt △OAC.
∴A E AE AA OA AC OC
''==，
即
510A E AE '==. ∴A ′E=4，AE=8.
∴OE=AE-OA=3. ∴点A ′的坐标为(-3，4)，
当x=-3时，
()23354414
y =⨯-+-=. 所以，点A ′在该抛物线上.
方法二：设AA ′与直线OC 的交点为H ，
∵点A，点A′关于直线OC：y=2x对称，∴AA′⊥OC，K OC·K AA′=-1，
∵K OC=2，∴K AA′=
1
2 -，
∵A(5，0)，
∴l AA′：
1
2
5
2
y x
=-+，lOC：y=2x，
∴H(1，2)，
∵H为AA′的中点，
∴
5
1
22
2
22
x x
x
x
y
y
y y
A A A
H
A A A
H
+'+'
⎧
==
⎪⎪
⎨
+'+'
⎪
⎧
⎪⎪
⇒⎨
==
⎪⎩
⎪
⎪⎩
，
∴A′x=-3，A′y=4，∴A′(-3，4)，
当x=-3时，()2335
44
1
4
y=⨯-+-=，
∴点A在抛物线上.
(3)点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：(3)方法一：本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解.如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解.
方法二：利用PM=AC列式，可求出P点坐标.
答案：(3)方法一：存在.
理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，
则
510 34 k b
k b
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得25
4
34k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴直线CA ′的解析式为24
345y x =
+ 设点P 的坐标为(x ，21544x x --)，则点M 为(x ，34254x +). ∵PM ∥AC ，
∴要使四边形PACM 是平行四边形，只需PM=AC.又点M 在点P 的上方， ∴2251043154
44x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎛⎫+---⎪⎭= ⎝⎭. 解得x 1=2，x 2=5(不合题意，舍去) 当x=2时，y=94
-. ∴当点P 运动到(2，94-
)时，四边形PACM 是平行四边形. 方法二：∵PM ∥AC ，要使四边形PACM 是平行四边形，只需PM=AC ， ∵直线AC ⊥x 轴，∴C x =A x ，
∵A(5，0)，
∴C x =5，
∵l OC ：y=2x ，
∴CY=10，
∴C(5，10)，
∵A ′(-3，4)，
∴l CA ′：24
345y x =+， ∵M 在线段CA ′上，点M 在点P 的上方，
∴设M(t ，
34254
t +)， ∴P(t ，21544t t --)， ∴225131544044t t t ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭
， ∴t 1=2，t 2=5(舍)， 当x=2时，y=94
-. ∴当点P 运动到(2，94-
)时，四边形PACM 是平行四边形.。