人教版九年级数学第二十三章第1节图形的旋转解答题 12含解析.docx

第二十三章第1节《图形的旋转》解答题(12)
一、解答题
1.⑴解方程：X2- 5 = 4x.
⑵如图，四边形ABCD中，ZC = 60°, ZBED = 110°, BD = BC，点E在AD ±,将BE绕点
2.已知ZXABC中，ZABC=90°, ZC=30°, AB=1.若把AABC绕点B顺时针旋转得到厶
EBD,
(1) 如图1,当点E落在AC边上时，求旋转角度大小.
(2) 如图2,当点E落在直线CD上时，求点C和点D之间的距离.
图1
3.如图1,在平面直角坐标系中，直线
C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90。

得到CD,此时点D恰好落在直线AB 上，过点D作DE±x轴于点E.
(1)求证：△BOC竺Z\CED；
(2) 如图2,将ABCD沿X轴正方向平移得△B'C'D',当B'C'经过点D时，求ABCD平移的距离及点D的坐标；
(3) 若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.
4.如图（1）,在AABC中，DE//BC.若将AADE绕点D顺时针旋转至卜理DE，使财续DE'与财线CB相交于点F （不与B、C重合）.
（1）如图（1）,若ZEDE'= 125°,则ZBFD =—；
（2）如图（2）,连结EE',若4D丄47）,试求出ZDE'E的度数；
（3）请探究ZBFD与ZBZM'之间所满足的数量关系，并加以证明.
5.基本图形：在RTAABC中，AB=AC, D为BC边上一点、（不与点B, C重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90。

得到AE.
探索：（1）连接EC,如图①，试探索线段BC, CD, CE之间满足的等量关系，并证明结论；（2）连接DE,如图②，试探索线段DE, BD, CD之间满足的等量关系，并证明结论；联想：（3）如图③，在四边形ABCD中，ZABC= ZACB= ZADC=45°,若BD=7, CD=2,则AD的长为 .
图①
6.如图1,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB,线段M,N在网格线上，
(1)
画出线段AB关于线段所在直线对称的线段A5,（点4目分别为A B的对应点）;
将线段目4,绕点顺时针旋转90。

得到线段34,画出线段目4・
7.如图，点M，N分别在正方形4BCQ的边BC, CD上，且ZMAN = 45°,把
△4DN绕点A顺时针旋转90°得到AABE •
(1)求证：AAEM^ ANM.
&探究
（1）如图①，在等腰直角三角形4BC中，ZACB = 90,作QW丄初交4B于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90。

得到线段CE,连接DE交射线CB于点F,连接BD、BE.
①
填空：
①线段劝、BE的数量关系为 ____________ .
②线段BC、DE的位置关系为___________ •
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，= 作CM丄佔交4B于点M，点
D为 ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转0度得到线段CE,连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由.
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，佔=3.作丄4C交4C于点M，点D为射线上一点，以点B 为旋转中心将线段BD逆时针旋转60。

得到线段BE,连接DE交射线B4于点F,连接AD、AE.当以A、D、M为顶点的三角形与4EF全等时，请直接写出的值.
9.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0(0,0)，点A(10, 0)，点B(0, 6).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF,点O, B, C的对应点分别为点£>, E , F -
(I )如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标；
(II)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H .
①求证AADB^VBCA；②求出ABH面积.
10.已知：等边ZXABC中，点E为AABC内一点.
(1)如图1,联结AE、BE并延长分别与BC、CA边交于点D、F…如果ZAEB=120°,求证：Z\ABD
空/kBCF。

（2）如图2、以AE 为一边作等边AAEF,联结BE 、CF,求证：BE=CF.
（3）如图3、点D 为BC 的中点，联结BE 、CE,若ZBEC=120°,联结AE 、DE,求证：AE=2DE.
11.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 与DEC 重合放置，其中ZC=90°, ZB =
ZE = 30°o
（1） 如图②，固定AABC,使ADEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，DE 交BC 于点F,则线段DF 与AC 有怎样的关系？请说明理由。

（2） 当ADEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，设ABDC 的面积为Si ，AAEC 的面积为 S2。

猜想：S1与S2有怎样的数量关系？并证明你的猜想。

12.如图，点E 是正方形4BCQ 的边DC 1.一点，把AADE 顺时针旋转到AABF 的位置
（1） 连结EF,试判断AAEF 的形状；
（2） 若四边形4ECF 的面积为36, DE = 2,求AE 的长.
13.在平面直角坐标系中，0为坐标原点.
⑴己知点4（3, 1）,连接04,作如下探究：
探究一：平移线段使点0落在点B,设点4落在点C,若点B 的坐标为（1, 2）,请
B
图1
A A
图① B
图③
在图①中作出BC,点C的坐标是_____________ .
探究二：将线段0A绕点0逆时针旋转90。

，设点4落在点D,则点D的坐标是
(2)已知四点0(0, 0), A(a, b), C, B(c, d),顺次连接O, A, C, B, O,若所得到的四边形为平行四边形，则点C的坐标是_______________________ .
14.如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EP、
(1) 如图1,直接写出EF与FG的关系______________ ；
(2) 如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90。

，得到线段FH,连接EH.
①求证：AFFE竺ZSPFG；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；
(3) 如图3,若点P为CB延长线上的一动点，连接FP,按照(2)中的做法，在图⑶中补全图形，并直接写出EF、EH、BP三者之间的关系.
15.如图，已知平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别4(1,3), B(2,l), C(4,2).
(1)将A3C以原点0为旋转中心旋转180。

得到,画出△ABiG；
(2)平移ABC,使点4的对应点％坐标为(5,-5),画出平移后的△ AB2C2；
(3)若将绕某一点旋转可得到△，请直接写出这个点的坐标_____ .
16.综合与探究
问题情境：如图1,在△4BC中，AB=AC,点、D, E分别是边4B, 4C上的点，且4D=
AE,连接DE,易知BD = CE.将△ADE绕点A顺时针旋转角度a (0°<a<360°),连接BD, CE,得到图2.
(1)变式探究：如图2,若0。

<01<90。

，则BD = CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)拓展延伸：若图1中的ZBAC=120。

，其余条件不变，请解答下列问题：
从A, B两题中任选一题作答我选择 _______ 题
4.①在图1中，若AB=10,求BC的长；
②如图3,在△ADE绕点4顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD, BD, CD之间的等量关系；
B.①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；
②在绕点4顺时针旋转的过程中，当点D, E, C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD, BD, CD之间的等量关系，并直接写出结果.
17.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4, 8, C, D都在格点上.
(I ) 4C的长为________ ；
(II )将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得矩形AEFG,其中，点C的对应点F落在格线AD
的延长线上，请用无刻度的直尺在网格中画出矩形AEFG,并简要说明点E, G的位置是如
何找到的. ______ •
c D
、k
\
\
B A
18.如图，点O是等边三角形ABC内的一点，ZBOC= 150°,将ABOC绕点C按顺时针旋
转得到△ ADC,连接OD, OA.
（1）求ZODC的度数;
(2)若OB = 2, OC=3,求40 的长.
ZACB=90°, AC=1,将ZiABC绕点C顺时针旋转60。

至
△ABC,点
A的对应点A饴好落在AB上，求BB，的长.
20.如图，已知平行四边形ABCD, ZABC=120°,点E为线段BC上的动点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60。

得到线段AF,点E的对应点是点F,连接EF.
（1）当点E与点B重合时，在图1中将图补充完整，并求出ZCEF的度数;
（2）如图2,求证：点F在ZABC的平分线上
【答案与解析】
一、解答题
1. (1)X1 = 5, X2= - 1; (2)ZEBD = 10°.
(1) 利用因式分解法解方程即可；
⑵证明Z\BCD是等边三角形，得出ZDBC = 60°,由旋转的性质得出ZEBF = 60°, BE = BF, 得出ZEBD=ZFBC,证明△ BDE^ABCF(SAS),得出ZBDE=ZC = 60°,由三角形内角和定理即可得岀答案.解：(1)x2 - 5=4x；
原方程变形得：x2 - 4x - 5 = 0,
因式分解得：(x - 5)(x+l)=0,
于是得：x - 5 = 0,或x+l = 0,
.*.X1 = 5, X2= - 1；
(2) VZC=60°, BD = BC,
A BCD是等边三角形，
.\ZDBC=60°,
由旋转的性质得：ZEBF = 60°, BE = BF,
.\ZEBD=ZFBC,
BE = BF
在ZXBDE 和Z\BCF 中，＜ZEBD=ZFBC ,
BD = BC
.•.△BDE 竺△BCF(SAS),
.•.ZBDE=ZC = 60°,
.•.ZEBD = 180° - ZBED - ZBDE = 180° - 110° - 60° = 10°.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、因式分解法解一元二次方程；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.
2. (1) 60°；(2) 3
(1)先证明AABE为等边三角形，求得ZABE=60。

，即可求得旋转角度的大小；
(2)根据旋转的性质判定ABDC和AEBC都是等腰三角形，利用含30度角的直角三角形的性质求得AC=ED=2,即可求得点C和点D之间的距离.
(1)根据旋转的性质得：AB=BE,
「△ABC 中，ZABC=90°, ZC=30°,
.•.ZA=90°-ZC=60°,
A ABE为等边三角形，
.•.ZABE=60°,
故旋转角度的大小为60。

；
(2)「△ABC 中，ZABC=90°, ZC=30°, AB=1,
.・.AC=2AB=2,
根据旋转的性质得AB=BE, AC=ED=2, BC=BD, ZACB=ZD=30°, ZA=ZBED=60°,
VBC=BD,
/.ZD=ZBCD=30°,
ZCBE=ZBED-ZBCD =60°-30°=30°,
.；EC=EB=AB=1,
.・.CD= EC+ ED=l+2=3,
点C和点D之间的距离为3.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.
3. (1)证明见解析；(2)平移的距离为号，D(4, 1)；(3)存在，点P的坐标为(0,
1十11
屮或(0,―)
(1)利用同角的余角相等可得出ZOBC=ZECD,由旋转的性质可得出BC = CD,结合Z BOC=ZCED = 90°即可证出厶BOC^ACED (AAS)；
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设0C = m,则点D的坐标为(m + 3, m),利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C, D的坐标，由点B, C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，结合BC〃BC及点D在直线BC上可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C，的坐标，结合点C的坐标即可得出ABCD平移的距离；
(3)设点P的坐标为(0, m),点Q的坐标为(n, -*n + 3),分CD为边及CD为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出关于m, n的二元一次方程组，解之即可得出点P 的坐标.
(1)证明：VZBOC=ZBCD=ZCED = 90°,
.•.ZOCB+ZOBC = 90°, ZOCB+ZECD = 90°,
.\ZOBC=ZECD,
•••将线段CB绕着点C顺时针旋转90。

得到CD,
/. BC = CD,
ZBOC = ZCED=90°
在/XBOC 和ZkCED 中，＜ZOBC = ZECD ,
BC = CD
/.ABOC^ACED (AAS)；
(2)V直线y =-*x + 3与x轴、y轴相交于A、B两点，
・••点B的坐标为(0, 3),点A的坐标为(6, 0), 设OC = m,
V ABOC^ACED,
・・・OC=ED = m, B0 = CE = 3,
・••点D的坐标为(m + 3, m),
*.*点D在直线y= - — x+3上，
m= - — (m+3) +3,解得：m = l,
2
・••点D的坐标为(4, 1),点C的坐标为(1, 0),
・・•点B的坐标为(0, 3),点C的坐标为(1, 0),
・•.直线BC的解析式为y= - 3x+3, 设直线BC的解析式为y= - 3x+b,
将D(4, 1)代入y =-3x+b,得：1= - 3x4+b,解得：b = 13, ・•・直线BC的解析式为y= - 3x+13, 一13
・••点U的坐标为(一，0),
3
v 13 10
・・CC'=— -1=—,
3 3
A A BCD平移的距离为也；
3
(3)设点P的坐标为(0, m),点Q的坐标为(n, - *n + 3).
C(l, 0), D(4, 1), P(0, m), Q(n,
|n + 3b
1+〃=0+4
1，解得：v 0 ---- n + 3 = m + 1
2 1
m ——
2 , n = 3
.•.点Pi 的坐标为(o, *)；
当四边形CDPQ 为平行四边形时，VC(1, 0), D(4, 1), P(0, m), Q(n, 11 m =——
2 , n =-3
•••点P2的坐标为(0, y)；
1 m = —
2 , _ n = 5
・••点P 的坐标为(0, *). 综上所述：存在，点P 的坐标为(o, *)或(o, ¥).
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定 系数法求一次函数解析式、平行线的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)利 用全等三角形的判定定理AAS 证出△ BOC^ACED ； (2)利用一次函数图象上点的坐标特 征，求出点C, D 的坐标；(3)分CD 为边及CD 为对角线两种情况，利用平行四边形的 对角线互相平分求出点P 的坐标.
4. (1) 125°； (2) ZDE'E = 45°； (3) ZBFD+ZBDA'= 180°或
ZBFD = ZBDA.
(1) 由两直线平行内错角相等即可得到答案；
(2) 根据旋转前后线段和角相等及4D 丄A'D 可得到△QE'为等腰直角三角形，从而得 到ZDE'E 的度数；
(3) 分两种情况讨论：①射线DE'与线段CB 相交于点F ,②射线DE'与CB 延长线相 交于点F ,通过平行线的性质和题中的角度关系即可得到答案.
解：(1) V DE/lBC, ZEDE'= 125° ,
:.ZBFD = ZEDE' = 125°,
故答案为125。

；
(2)由旋转可知 DE = DE'，ZADE = ZA'DE ,
AD 丄 A'D ，
ZADE+ZADE = 90° ,
ZA'DE' + ZADE = 90°,即 ZEDE' = 90° ,
：.^EDE'为等腰直角三角形，
:.ZDE'E = 45°；
(3) ZBFD+ZBDA r = 180°或 ZBFD = ZBDA!,
*n + 3),
②若CD 为对角线，VC(1, 0),
D(4, 1), P(0, m), Q(n, *n + 3),
1 ,解得：V 0 + 1 = m n + 3
①如图(2),射线DE与线段CP相交于点F ,
由旋转可知ZADE = ZADE',
•/ DE/IBC,
ZBFD = ZEDE',
ZBFD+ZBDA = ZEDE' + ZBDA = ZEDE' + ZBDF + ZADE', 由于 = ZADB = 180°, /. ZBFD+ZBDA = ZEDE + ZBDF+ZADE = 180°,
②如下图，射线DE'与CB延长线相交于点F,
由旋转可知ZADE = ZADE',
•/ DEllBC,
:.ZADE = ZABC,
:.ZADE' = ZABC,
••• ZBFD+ZFDB = ZABC,
ZBFD+ZFDB = ZADE',
•/ ZBDA + ZFDB = ZADE'
ZBFD = ZBDA,
故答案为：ZBFD+ZBDA = 1SO°或ZBFD = ZBDA1•
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角、外角，注意分类讨论是解题的关键.
5. (1)结论：BC = CD+CE.证明见解析；(2)结论：BD2 + CD2=DE2. ffi明见
解析；(3)色叵
2
(1)说明△ BAD竺OCAE (SAS)即可解答；
(2) 先说明△ BAD^ACAE,可得BD=CE、ZACE=ZB,进一步可得ZDCE=90°,最后利用勾股定理即可解答；
(3) 作AE丄AD.使AE=AD,连接CE, DE.由ZkBAD竺ZkCAE (SAS),推出BD=CE=7,由Z ADC=45。

，
ZEDA=45°,可得ZEDC=90°,最后利用勾股定理解答即可
解：(1)结论：BC = CD+CE,理由如下：如图①中，
图①
••• ZBAC = ZDAE^90°,
:.ZBAC-ZDAC^ZDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE, 在B4D和VC4E中，AB = AC
< ABAD = ZCAE
AD = AE
:.ABAD空ACAE(SAS),
BD = CE,
BC = BD + CD — CE + CD,
即：BC = CD+CE；
(2)结论：BD2 + CD2 = DE2.理由如下：连接CE,
图②
由(1)得，BAD^ CAE,
:.BD = CE, ZACE = ZB ,
:.ZDCE = ZACE+ZACD^ZB+ZACD=90° ,
••• CE2 + CD2 = DE2•
:.BD- + CD2 = DE2
(3)作AE±4D,使4E=AD,连接CE, DE.
ZBAC+ ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD= ZCAE,
在Z\BAD 与ZXCAE 中，
AB=AC, ZBAD=ZCAE, AD=AE
ABAD^ACAE (SAS),
.・.BD=CE=7,
•.•ZADC=45°, ZEDA=45°,
.•.ZEDC=90°。

•■-DE= y/cE2-CD2 = A/72-22 = 3>/5 =范
VZDAE=90o
••• AD2 + AE2 = DE2,即2 AD2 = DE2
•••AD迹
2
故答案为色叵.
2
圉③
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解答本题的关键.
6. （1）见解析；（2）见解析.
（1）先找出A, B两点关于MN对称的点Ai, Bi,然后连接AiBi即可；
（2）根据旋转的定义作图可得线段B I A2.
（1）如图所示，£色即为所作；
（2）如图所示，即为所作.
【点睛】
本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质.
7. （1）证明见解析；（2）正方形4BCQ的边长为6.
（1）先根据旋转的性质可得AE^AN,ZBAE = ZDAN ,再根据正方形的性质、角的和差可得ZMAE = 45°,然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形4BCQ的边长为x,从而可得CM =x-3,CN = x-2,再根据旋转的性质可得= DN = 2,从而可得ME = 5,然后根据三角形全等的性质可得
MN = ME = 5,最后在Rt CMN申,利用勾股定理即可得.
（1）由旋转的性质得：AE^AN,ZBAE = ZDAN
四边形ABCD是正方形
:.ZBAD=90°
,即ZBAN+ZDAN = 90°
:,ZBAN+ZBAE^9Q°
,即ZE4N = 90°
ZMAN = 45°
:.ZMAE = ZEAN—ZMAN = 90°- 45° = 45°
AE = AN
在AAEM 和ANM中，＜ZMAE = AMAN = 45°
AM = AM
:.AEM= ANM（SAS）
（2）设正方形4BCD的边长为x,则BC = CD = x
BM = 3,DN = 2
:.CM = BC — BM =x — 3,CN = CD — DN = x — 2
由旋转的性质得：BE = DN = 2
:.ME^BE+BM =2+3 = 5
由（1）已证：AEM= ANM
.•.MN = ME = 5
又四边形ABCD是正方形
.\ZC = 90°
则在7?/ QVCV 中，CM? + CN? =MN?，即（x_3）2+（x-2）2 =52
解得x = 6或x = —1 （不符题意，舍去）
故正方形ABCD的边长为6.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2）,熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键.
&⑴BD=BE, BC丄DE；（2）结论：（1）中的结论仍然成立,理由见解析；（3）纟3或
4巧或4.
⑴如图①中，只要证明厶CBD^ACBE (SAS),再运用全等三角形的性质即可；
(2) 结论不变。

如图②中，只要证明厶CBD^ACBE (SAS),再运用全等三角形的性质即可；
(3) 分点D在线段BM上和点D在线段BM的延长线上两种情形分别求解即可. 解：(1)如图①，
VCA=CB, ZACB=90°, CM 平分ZACB,
ZACM=ZBCM=45°,
VZECD=90°,
.•.ZECF=ZDCF=45°, CD=CE CB=CB
/.ACBD^ACBE (SAS),
.・.BD=BE,
.\CD=CE
•••BC垂直平分线段DE,
.•.BC 丄DE.
故答案为BD=BE, BCXDE；
(2)结论：(1)中的结论仍然成立;理由：如图②，
CA=CB, ZACB=" ,CM 平分ZACB
1
ZACM=ZBCM=-a ,
2
VZECD=a ,
1
ZECF=ZDCF=-a,
2
VCD=CE7 CB=CB
AACBD^ACBF (SAS)
.・.BD=BE
.・.CD=CE,
TBC垂直平分线段DE,
.'.BC 丄DE
⑶当点D在线段BM上时，即厶AFE^AAMD时，AF=AM,
ZAFD=ZAMD=90°AD=AD,
RtAADF^RtAADM (HL)
A ZDAF=ZDAM=30°
A ZDBA=ZDAB=30°
DA=DB
VDFXAB
.•.ZBDF=60°, BF=AF=2
BD=BE
A BDE是等边三角形，
.・.DF=EF= BF・tan30°=?^
3
DE=2E普
如图③-1中，当点D在BM的延长线时，易证AF=AM=2, DE=2DF=4巧
图③-1
综上所述，满足条件的DE的值为也或4折或4.
3
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形.
9. ( I ) D(2,6)； (II)①见解析；②
(I)根据旋转可得AD=OA=10,又因为AC=6,利用勾股定理即可求出CD的长度，从而知道BD的长度，即可求出点D的坐标；
(II )①根据AD=BC, AB=BA,即可得到RtAADB今RtABCA ；
②设= BH = m,则BC — BHiO—tn,在RtAAHC 中，根据
AH2=HC2 + AC2,可以求出m的值，再根据三角形面积公式即可求出三角形ABH面积.
解：(I) A(10,0) , B(0,6),
.•.04 = 10, OB = 6,
四边形AOBC是矩形，
：.AC = OB = 6, OA = BC = W, ZOBC = ZC = 90° .
矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
:.AD = AO = 1G .
在RtAADC 中’CD = 7AD2 - AC2 = 8 >
;.BD = BC — CD = 10—8=2,
■■■0(2,6).
(II)由四边形ADEF是矩形，得到ZADE = 90。

，
点D在线段BE上，
:.ZADB ^90°.
由(I )可知，AD = AO=BC , ZC=ZADB = 90°,
在RtA^DB 和RtABC>4 中，
BA=AB
' AD = BC
:.RtAADB^RtABd(HL)
②如图②中，由AADB竺ABC4,
..ZBAD = ZCBA
:.BH = AH
设AH = BH = m ,则HC = BC-BH = lQ-m,
在RtAAHC 中，AH2 =HC2 + AC2,
:.m2 =62 +(10-mf
34
,解得= y
:.BH= —
5
S Am =丄xBHxAC = -x — x6 = —
a 2 2 5 5
【点睛】
本题主要考查了旋转以及三角形全等，熟练旋转的性质以及全等三角形的判定是解决本题的关键.
10. （1）见详解；（2）见详解；（3）见详解.
（1）由ZAEB=120°,得到ZBAE+ZABE=60°,即可得到ZBAE=ZCBF,然后利用ASA 证明AABD^ABCF 即可；
（2）由等边三角形△ABC、AAEF,得到AB=AC, AE=AF, ZBAC=ZEAF=60°,则得到Z
BAE=ZCAF,然后证明厶ABE^AACF,即可得到结论成立；
（3）把ZXABE逆时针旋转60。

，得到ZkACF,连接EF,延长ED至点G,使得ED=DG,连接CG.由旋转的性质，得厶ABE^AACF,且AAEF时等边三角形；由ZBEC=120°,得到Z EBD+ZECD=60°,根据角的等量代换得到ZECF=ZECG=60°,然后得到厶ECG^AECF,得到EG=EF=AE,即可得到AE=2ED. 证明：（1）如图，
图1
在等边△ABC 中，有AB=BC, ZABC=ZC=60°,
VZAEB=120°,
.•.ZBED=180°-120°=60°,
.•.ZBAE+ZABE=60°,
ZCBF+ZABE=ZABC=60°,
.・.ZBAE=ZCBF,
/. AABD^ABCF (ASA)；
(2)如图，
'/A ABC和A AEF是等边二角形，
.・.AB=AC, AE=AF, ZBAC=ZEAF=60°,
ZBAE+ZEAC= ZEAC+ ZCAF=60°,
.\ZBAE=ZCAF,
AAABE^AACF (SAS),
.・.BE=CF；
(3)如图，把AABE逆时针旋转60。

，得到AACF,连接EF,延长ED至点G,使得
ED=DG,连接CG.
由旋转的性质，得：AABE竺ZXACF,且AAEF时等边三角形, ...AE=AF=EF, BE=CF, ZABE=ZACF,
VZBEC=120°,
.•.ZEBD+ZECD=60°,
V ZEBD+ZABE=ZABC=60°,
.•.ZABE=ZECD=ZACF,
.•.ZACF+ZACE=ZECD+ZACE=ZACB=60°,
.•.ZECF=60°,
VED=DG, ZBDE=ZCDG, BD=CD,
A ABDE^ACDG,
.・.BE=CG=CF, ZEBD=GCD,
.•.ZGCD+ZECD=ZEBD+ZABE=ZABC=60°,
.•.ZECG=60°,
.；ZECF=ZECG=60°,
在AECG 和Z\ECF 中，
CE = CE
< ZECG = ZECF
CG = CF
AECG^AECF,
.・・ EG=EF=AE,
・.・ EG=2ED,
AAE=2ED.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的旋转模型，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形，从而得到边的关系和角的关系•本题难度较大，需要细心斟酌.
11.⑴DF〃AC;(2)S I=S2.
试题分析：(1)根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出AACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ZACD=60。

，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
(2)过D点作DN丄BC于N, AMICE于M,先依据ASA求得△ ACM^ADCN求得AM=DN,然后根据等底等高的三角形面积相等.
试题解析：(1)DF〃AC；
解：如图②所示，
.•.ZACM=ZDCN,
在/XACM 与ADCN 中
ZACM = ZDCN
AC = CD
ZAMC=ZDNC,
/. AACM^ADCN (ASA),
.•.AM=DN,
又 VCE=BC,
.1 1
一BC ・DN= —CE ・AM, 2 2
即 S1=S 2. 图③
B(E) B
VZACB=90°, ZB=ZE=30°,
.；ZA=ZCDE=60°,
VAC=DC,
AACD 是等边三角形，
.•.ZACD=60°=ZCDE,
.・.DF 〃AC,
.•.ZCFD=90°, ZDCF=30°,
. 1 1
.•.DF=-DC=-AC ；
2 2 （2）猜想：S1=S 2；
证明：过D 点作DN 丄BC 于N, AM
丄CE 于M,
VZECD=90°,
.•.ZDCM=90° .•.ZDCN=90°-
ZNCM, 又 VZACM=90°-
ZNCM,
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质.
12. (1)证明见解析；(2) 2^/10
(1)根据图形旋转变换的性质，可知：ZE4F = 90。

,且= 即可.
(2)四边形4ECF的面积为36,可知正方形ABCD面积为36,进一步得到正方形边长为
6,利用勾股定理，即可求解.
解答：由题意可得AE^AF, ZDAE = ZFAB
而ZDAE+ZBAE^9G°
/. ZEAF = ZFAB+ZBAE = 90° ,
••• AAEF是等腰直角三角形；
(2) •.•把AADE顺时针旋转的位置，
/.四边形AECF的面积等于正方形4BCQ的面积为36,
AD — DC = 6 ,
•: DE = 2,
AE = y/ADr+DE2 = 2 屈
【点睛】
本题考查了正方形的性质和旋转的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.从图形的旋转变化去理解全等三角形，能够更加直观的理解几何问题，学会从多个角度看问题.
13.⑴探究一图见解析；(4, 3)；探究二(一1, 3)； 2^5 ;
(2)(a+c, b+d)
(1)探究一：由于点A (3, 1),连接OA,平移线段OA,使点0落在点B.设点A落在点C,若点B的坐标为(1, 2),由此即可得到平移方法，然后利用平移方法即可确定在
图1中作出BC,并且确定点C的坐标；探究二：将线段0A绕点0逆时针旋转90度，设点A落在点D,根据旋转的性质和方向可以确定点D的坐标；
(2)已知四点0 (0, 0) , A (a, b) , C, B (c, d)，顺次连接0, A, C, B.
若所得到的四边形为平行四边形，那么得到OA〃CB,根据平移的性质和已知条件即可确定点C 的坐标；
解：⑴探究一：•••点A (3, 1),连接OA,平移线段OA,使点0落在点B.
设点A落在点C,若点B的坐标为(1, 2),
则C的坐标为(4, 3), 作图如图①所示.
探究二：•.•将线段OA绕点0逆时针旋转90度，
设点A落在点D.
则点D的坐标是(-1, 3),如图②所示，由勾股定理得：OD2=OA2=12+32=IO,
(2)(a+c, b+d)
•.•四点0(0, 0), A(a, b), C, B(c, d),顺次连接O, A, C, B, 0,所得到的四边形为平行四边形，
.•.OA 統BC.
可以看成是把OA平移到BC的位置.
点C的坐标为(a+c, b+d).
【点睛】
本题考查坐标与图形的变换、平行四边形的性质等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题.
_ J2
14. (1) EF丄FG, EF=FG； (2)详见解析；(3)补全图形如图3所示，—EF+BP=EH.
(1) 根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG,得出ZAFE=ZAEF=ZBFG=ZBGF=45。

，求出
ZEFG的度数，由"SAS"证得AAEF和Z\BFG全等，得出EF=FG,即可得出结果；
(2) ①由旋转的性质得出ZPFH=90°, FP=FH,证出ZGFP=ZEFH,由SAS即可得出^HFE
^APFG；
②由全等三角形的性质得出EH=PG,由等腰直角三角形的性质得出EF=A/2AF=A/2 BG,因
Ji
此BG=—EF,再由BG+GP=BP,即可得出结论；
2
（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可.
解：（1）如图1所示：
图1
•.•点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，
.•.AE=AF=BF=BG,
•.•四边形ABCD是正方形，
.I ZAFE=ZAEF=ZBFG=ZBGF=45°,
.•.ZEFG=180°-ZAFE-ZBFG=180o-45o-45o=90°,
.•.EF 丄FG,
在ZXAEF 和△BFG 中，
AE = BG
< AA = AB = 90°
AF = BF
/.AAEF^ABFG (SAS),
.•.EF=FG,
故答案为EF丄FG, EF=FG；
图2
（2）如图2所示：
①证明：由（1）得：ZEFG=90°, EF=FG,
•••将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90。

，得到线段FH,
.•.ZPFH=90°, FP=FH,
VZGFP+ZPFE=90°, ZPFE+ZEFH=90°,
.・.ZGFP=ZEFH,
在Z^HFE 和 APFG 中，
FH = FP
< ZEFH = ZGFP
EF = FG
.・.ZPFH=90°, FP=FH,
VZEFG+ZGFH=ZEFH, ZPFH+ZGFH=GFP, /.ZGFP=ZEFH, 在AHFE 和ZkPFG 中,
FH = FP
< ZEFH = ZGFP
EF = FG
AAHFE^APFG (SAS),
.・.EH=PG,
TAE=AF=BF=BG, ZA=ZABC=90°, .-.EF=V2 AF=72 BG,
.-.BG=—EF,
2
/. AHFE^APFG ②解：由①得: (SAS)；
AHFE^APFG,
.・.EH=PG, TAE=AF=BF=BG, ZA=ZB=90°, .'.EF=V2 AF =A /2 BG ,
A — EF+EH=BP ；
2
(3)解：补全图形如图3所示, —EF+BP=EH.理由如下:
2 由(1)得：ZEFG=90°, EF=FG, •••将线段FP 以点F 为旋转中心, 逆时针旋转90。

，得到线段FH, TBG+GP=BP,
.V2
—EF+BP=EH.
2
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识；本题综合性强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
15. （1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）（2,-4）.
（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点0旋转180。

后的对应点Al、Bl、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可.
解：（1）如图所示；
（2）MB2C2如图所示；
（3）如图所示，旋转中心为（2,-4）
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质, 准确找出对应点的位置是解题的关键.
16. （1）结论：BD=CE.理由见解析；（2） A：①SC= 10^3 -②结论：CD= 羽AD+BD.理由见解析；8：①BC=y/3AB.②结论：CD=^3AD+BD.理由见解析.
（1）结论：BD = CE.只要证明厶DAB^AEAC即可；
（2）A：①如图1中，作AH丄BC于H.解直角三角形即可解决问题；
②结论：CD= ^3 AD+BD.如图3中，作AHXCD于H.由厶DAB^AEAC,推出BD = CE, 在RtAADH 中，
DH=AD»cos30°= — AD,由AD = AE, AH丄DE,推出DH = HE,可得CD
2
= DE+EC = 2DH+BD=羽 AD+BD；
B：①如图1中，作AH±BC于H.解直角三角形可得：BC = 2BH=J^AB；
(1)结论：BD = CE.
VZABC=ZDAE,
.\ZDAB=ZEAC,
VAD = AE, AB = AC,
.'.△DAB 竺ZXEAC,
.\BD=EC.
(2) A：①如图1中，作AHXBC于H.
.・.BH = HC,
VZBAC=120°,
.•.ZB=ZC = 30°,
.•.BH=AB»COS30°=573>.•.BC=IO73.
②结论：CD= 73 AD+BD.
V A DAB^A EAC,
.\BD = CE,
在RtAADH 中，DH=AD・cos30° =乎,
VAD = AE, AH1DE,
.•.DH = HE,
VCD = DE+EC = 2DH+BD=羽 AD+BD. B：①如图1中，作AH±BC于H. VAB = AC, AHXBC,
.・.BH = HC,
•.•ZBAC=120°,
.•.ZB=ZC = 30°,
73
.•.BH = AB«cos30°=—AB,
2
.・.BC = 2BH= V^AB.
②结论：AD+BD.
证明方法同A（2）.
【点睛】
本题考查了几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
17. （1）5；（ II ）见解析.
（1）根据勾股定理计算可得AC的长；
（2）先取格点/W、P、Q、F、N,作射线AM, AN, FP, QF,得ZMAN =90°, AF=AC^
5, AM与FP交于E, QF与AN交于G,则矩形AEFG为所作.
解：（1）由勾股定理得：AC= 仔+42 =5；故答案为：5；（2）如图所示：
Q
--- ---- ---- ---- T
先取格点/w、P、Q、F、N,作射线AM, AN, FP, QF, 4/W与FP交于E, QF与AN交于
G,则矩形4EFG为所作.
【点睛】
本题考查了作图-旋转图形：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.
18. (1) 60°； (2) 713
(1)根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
(2)在RtA/iOD中，由勾股定理即可求得AO的长.
(1)由旋转的性质得：CD=CO, ZACD=ZBCO.
V ZACB=60a, .I ZDCO=60°, AOCD 为等边三角形，：.ZODC=60°；
(2)由旋转的性质得：AD=OB=2.
•:厶OCD为等边三角形，；.OD=OC=3.
'：ZBOC=150°, ZODC=60°, A ZADO=90°.
在RtAAOD中，由勾股定理得：AO = ^AD2+OD~ = A/13-
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，得出AODC为等边三角形是解题的关键.
19. BB Z=73■
先利用旋转的旋转得CA=CA', CB=CB', ZACA'=ZBCB'=60°,则可判断和ABCB，均为等边三角形，所以BB'=BC, ZA=60°, ZCBB'=60a,再利用ZA=&0°得乙4BC=30。

，所以BC=*CA=羽,从而得到BB，的长.
解：•.•将△4BC绕点C顺时针旋转60。

至△48C,
:.CA=CA', CB=CB', Z4C4'=ZBCB'=60°,
:.AACA'和Z\BCB，均为等边三角形，
：.BB'=BC, ZA=60°, ZCBB'=60°,
•.•点在4B 上，Z4CB=90°,
/. ZA=60°, Z4BC=90° - Z4=30°,
在RtA^BC 中，BC=y/j CA=y/j ,
:.BB'=^3 .
点评：本题考查了旋转的性质•根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键.
20. (1)图见解析；609；(2)见解析
(1) 当点E与点B重合时，F点在AD上，根据题意画出图形后可得AAEF是等边三角形，即可求解；
(2) 过F点作FG丄AB交BA的延长线于G点，作FH丄BC于H点，证厶AFG^AEFH,可得FG=FH,根据角平分线的判定定理即可得证.
(1)如图所示：平行四边形ABCD, ZABC=120°,故ZA=60°, F点在AD ±,
D
由旋转的性质可得：AE=AF, ZEAF=60°
A AEF为等边三角形
... ZAEF=60°
VZABC=120°
ZCEF=ZABC-ZABF=60°
（2）如图，过F点作FG±AB交BA的延长线于G点，作FH1BC于H点
图2
由（1）可得：A AEF是等边三角形
.•.FA=FE, ZAFE=60°
TFG丄AB, FH丄BC, ZABC=120°
ZGFH=360°-90°-90°-120°=60°
.\ZGFH=ZAFE
ZGFH-ZAFH=ZAFE-ZAFH
即ZAFG=ZEFH
又ZFHE=ZFGA=90°, FA=FE
/. AAFG^AEFH
.I FG=FH
又V FG1AB, FH±BC
.•.点F在ZABC的平分线上.
【点睛】
本题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质与判定，角平分线的判定及三角形的全等, 熟练的掌握各个定理并能正确的作出辅助线是关键.。