苏教版数学高一作业 第一章 集合

章末检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________．
答案 4
解析 ∵{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }，∴B 中必含元素c ，且B ⊆{a ，b ，c }．∴B ＝{c }或{a ，c }或{b ，c }或{a ，b ，c }．
2．若A ＝{1,4，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∩B ＝B ，则x ＝________.
答案 2，－2或0
解析 x 2＝4或x 2＝x .
解得x ＝2，或x ＝－2，或x ＝0，或x ＝1(舍去)．
3．已知A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 之间的关系是________．
答案 A ∈B
解析 A ＝{0,1}，B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}．
4．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3＜x ＜5}，则使A ⊇B 成立的实数a
的取值范围是________．
答案 {a |3≤a ≤4}
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，
a ＋2≥5，解得3≤a ≤4.
5．已知A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是
________．
答案 [4，＋∞)
解析 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .
因为A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <a }，
所以a ≥4.
6．如图所示，已知A，B均为集合U＝{1,2,5,7,11}的子集，且A∩B＝{2}，(∁U B)∩A ＝{11}，则A等于________．
答案{2,11}
解析本题考查集合的交、并、补运算，难度较小．∵A∩B＝{2}，(∁U B)∩A ＝{11}且B∪(∁U B)＝U，∴A＝{2,11}．
7．已知集合A＝{x|x2＋mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围是________．
答案[0,4)
解析∵Δ＝(m)2－4＜0，∴m＜4，又m≥0，∴m∈[0,4)．
8．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.
答案{6}
解析因为集合N－M是由N的元素中不属于M元素构成的，所以N－M＝{6}．故填{6}．
9．设全集U＝{x|x≤5，且x∈N*}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，且(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，则p＋q＝________.
答案－1
解析因为U＝{1,2,3,4,5}，(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，
所以必有2∈A，从而22－10＋q＝0，即q＝6，
所以A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∁U A＝{1,4,5}，
于是又由(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，得3∈B，
所以32＋3p＋12＝0，即p＝－7，
所以p＋q＝－1.
10．已知两个集合A 与B ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且
满足A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______．
答案 (－∞，－4]∪[1，＋∞)
解析 由已知A ＝{x |－1≤x ≤2}，又由A ∩B ＝∅，
①若B ＝∅，则2a ≥a ＋3，即a ≥3；
②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≤－1，
2a <a ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥2，2a <a ＋3.∴a ≤－4或1≤a ＜3.
综上，a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．
11．若集合A 1.A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定当
且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合{1,2,3}的不同分拆种数是________．
答案 27
解析 若A 1＝∅，则A 2＝{1,2,3}；若A 1＝{1}，则A 2＝{2,3}或{1,2,3}；若A 1＝{2}，则A 2＝{1,3}或{1,2,3}；若A 1＝{3}，则A 2＝{1,2}或{1,2,3}；若A 1＝{1,2}，则A 2＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，若A 1＝{2,3}，则A 2＝{1}或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}；若A 1＝{1,3}，A 2＝{2}或{1,2}或{2,3}或{1,2,3}；若A 1＝{1,2,3}，则A 2＝∅或{1}或{2}或{3}或{1,2}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，共有27种不同的分拆方法．
12．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1，x ∈R ，y ∈R }，N ＝{(x ，
y )|x 2－y ＝0，x ∈R ，y ∈R }，则集合M ∩N 中元素的个数
为________．
答案 2
解析 如右图，在同一直角坐标系中画出x ＋y ＝1与x 2
－y ＝0的图象，由图象可得，两曲线有两个交点，即
M ∩N 中有两个元素．
13．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的
倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.
答案 {2,4,8}
解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．
14．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：当且仅当a ＝c ，b ＝d 时(a ，
b )＝(
c ，
d )，运算“”为：(a ，b )(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为：(a ，b )(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )，设p ，q ∈R ，若(1,2)(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)(p ，q )等于________．
答案 (2,0)
解析 由(1,2)(p ，q )＝(5,0)，得
⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，q ＝－2.
所以(1,2)(p ，q )＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求实数
m 的取值范围．
解 (1)当B ＝∅时，显然满足B ⊆A ，
此时有m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.
(2)当B ≠∅时，要使B ⊆A ，需
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，
2m －1≤5，解得2≤m ≤3.
综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，3]．
16．(14分)已知集合U ＝{x |－3≤x ≤3}，M ＝{x |－1＜x ＜1}，∁U N ＝{x |0＜x ＜2}．
求：(1)集合N ，
(2)集合M ∩(∁U N )，
(3)集合M ∪N .
解 借助数轴可得
(1)N ＝{x |－3≤x ≤0或2≤x ≤3}．
(2)M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ＜1}．
(3)M ∪N ＝{x |－3≤x <1或2≤x ≤3}．
17．(14分)已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －≠∅，求实数
m 的取值范围．
解 设全集U ＝{m |Δ＝16m 2－8m －24≥0}＝{m |m ≤－1或m ≥32}，方程x 2－
4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U 4m ≥0
2m ＋6≥0，得m ≥32.
∴A ∩R －≠∅时，实数m 的范围是{m |m ≤－1}．
18．(16分)若集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2
＋2x －8＝0}，求a 的值，使得∅ ⊊(A ∩B )与A ∩C ＝∅同时成立．
解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，
∴B ∩C ＝{2}．
∵(A ∩B )∅，A ∩C ＝∅，∴3∈A .
将x ＝3代入方程x 2－ax ＋a 2－19＝0，
得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.
①若a ＝5，则A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}≠∅，不符合要求，舍去；
②若a ＝－2，则A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，满足要求．
综上可知，a 的值为－2.
19．(16分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0}．
(1)若A ∪B ＝{1,2,3}，求实数a 的值；
(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值集合．
解 (1)因为A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，
所以3∈B ，即9－3(a ＋1)＋a ＝0，解得a ＝3.
此时B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}，满足题意，
∴实数a 的值为3.
(2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .
又因为1∈B ，a ∈B ，
所以有B ＝{1}，这时a ＝1或B ＝{1,2}，这时a ＝2，故a 的取值集合为{1,2}．
20．(16分)已知集合E ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，F ＝{x |x <－2或x >0}．
(1)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围；
(2)若E ∩F ＝∅，求实数m 的取值范围．
解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，
1＋m ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥3，
m ≥－1
所以m ≥3. 故m 的取值范围是{m |m ≥3}．
(2)由题意，得E＝∅，这时1－m>1＋m，解得m<0.或E≠∅，
这时－2≤1－m≤1＋m≤0，解得m∈∅. 综上，m的取值范围是{m|m<0}．。