初中四边形综合复习讲义(20210326143309)

第四章四边形综合
例下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。

其中正确的是()
(A)①②.(B)①@③.(C) ®®(4)(D) ③④。

例2、已知：如图，在6BCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG/7DB交CB的延长线于G.
(1)求证：A ADE^A CBF：
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特姝四边形并证明你的结论.
例3、如图，过四边形43CD的四个顶点分别作对角线&C、BD的平行线，所羽成的四边形EFGH显然是平行四边形.
(1)当四边形4BCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH —左是“菱形、矩形.正
• • •
矩形、菱形时，相应的原四边形&BCD必须满足怎样的条件
• • • •四边形
4BCD菱形矩形等腰梯形
平行四边形FFGH )
方形”中的哪一种请将你的结论填入下表:
(2)反之，当用上述方法所鬧成
的平行四边形EFGH分别是
例5.矩形ABCD中，AB=2, AD二、冃・
(1〉在边CD上找一点F,使£3平分ZAEC,并加以说明；
(2)若P为8C边上一点，且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.
①求证：点B平分线段人尺
例8、如图1,操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的 延长线上（CG>BC ）,取线段AE 的中点
（1） 探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明。

（2） 在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充 或更换已知条件，完成你的证明。

① DM 的延长线交CE 于点N,且AD = NE ：
② 将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45° （如图2）,其他条件不变： ③ ③在②的条件下且CF = 2AD»
（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3）,其他条件不变。

探究:
MF 的关系，并加以证明。

课后练习：
1、如果顺次连接四边形各边中点所国成的四边形是矩形，那么原来的四边形一泄是（ A 平行四边形：B 梯
形： C 对角线相等的四边形：D 对角线垂直的四边形.
② 'PAE 能否由绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数：若不能，请 说明理由.
例6、如图，P 是边长为［的正方形4BCD 对角线&C 上一动点（P 与久C 不重合）, 点F 在射线BC 上，且PE=PB ・
（1） 求证：① PE=PD :② PE±PD；
（2） 设&P 二乙AP8E 的而积为y •求出y 关于x 的函数关系
例人 如图，已知 AD 与 BC 相交于 E, Z 1=Z 2=Z 3, BD=CD, Z ADB=90\ CH±AB ⑴求证：CDII AB ：⑵求证：△ BDE^AACE ：⑶若O 为AB 中点，求证：OF=^BE
于H, CH 交AD 于F ・
0 H
图1
1
2、若等腰梯形的对角线互相垂直，且中位线长是20,则它的而积为（
A 、50
B 、100
C 、150
D 、200
3、如图5,在梯形ABCD 中，AD 〃BC, AC 丄BD, AC=3cm, BD 二4cm •作DE 〃AC,交BC
的延长线于E,则下列结论：
⑴四边形ACED 是平行四边形・（2） ZBDE=ZBOC=90°;⑶BC+AD 二BE=5cm;
⑷梯形ABCD 的髙DH 二 BDxDE EB 弓而积为6cm 2： （5 ） S 砒SBCD 二S ・,BDE ・D 英中正确的有（
A 5个
B 4个
C 3个
D 2个
4、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A 沿着花坛间 小路
走到长边中点O,再从中点O 走到正方形OCDF 回的中心6,再从中心01 走到正方形
O&FH 的中心又从中心。

2走到正方形O2IHJ 的中心0,再从 。

3走到正方形O3KJP 的中心—共走了 31>/2 m,则长方形花坛ABCD 的周 长是（）
A. 36m B ・ 48m C ・ 96cm D ・ 60m
5、把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪岀一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分
的面
积为6cmS 则打开后梯形的周长是（ ）
A. (\O + 2>/\3) cm
6、在梯形ABCD 中，ABIIC0AC 、BD 相交于点0,若AC=5, BD=12,中位线长为兰，△ AOB 的而积为 2
△ COD 的而积为S2，则肩+辰的值为（ ）
A.V30
B.3x/5
C. 2^15
D. >/65
二、填空题
1. 一个多边形内角和为1440°,则它的边数为 _________ ,共有对角线 _______ 条,
外角和为 _____ J
2、 一个多边形除去一个内角外，其余内角的和为2570。

,则这个多边形的边数是
) B. (10 + cm
C. 22cm
D. 18cm
3、圄如图，回是根据四边形的不稳左性制作的边长均为15cm 的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离 AB=BC=15cm,则Z* _________
5、如上右图，正方形ABCD 的边长为2, EF 分
垂足为E.若0E ：
别在BC 、CD 上，ZEAFW,若"EF 的而积为才，则△ EAF 的面积为 ---------------------
为一边做第三个菱形AB.C.D.,使ZZ?3 = 60 :……依此
类推，这样做的第〃个菱形AB n C n D n 的边AQ 的长是 ________________
9、如图，矩形ABCD 中，AB = 3cm, AD = 6cm,点E 为A3边上的任 意一点，四边
形EFGB 也是矩形，且EF = 2BE ,则S 、* =
10.如图，点A 任线段BG 上，四边形ABCD 和DEFG 都是正方形，而积分别为7 平方
厘米和11平方厘米。

则厶CDE 的而积等于 ____________ 平方厘米
三.解答题
r 如图，已知:在四边形ABFC 中，ZACB=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,
交AB 于点E ，且CF=AE
(1) 试探究，四边形BECF 是什么特殊的四边形；
(2) 当ZA 的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形请回答并证明你的结论.
2、如图，矩形ABCD 中，。

是AC 与3D 的交点，过O 点的直线肋与AB CD 的延长线分别交于 E, F.
(1) 求证：/XBOE 竺厶DOF ；
(2) 当EF 与AC 满足什么关系时，以4, E, C, F 为顶点的四边形是菱形证明 你的结
论.
6、如图，正方形ABCD,以AB 为边分别在正方形内、外作等边Z\ABE 、AABF,则ZCFB= ___________ ,若AB 二4,
F
B A G
P C
D
A
3、梯形ABCD中，AB〃CD, E是AD的中点，证明
①如果AB+CD二BC,则有ZDEC=90°和CE是ZDCB的平分线
（
②如果ZBEC=90°,则有AB+CD二BC
③若ADEC的面积是12.求梯形ADCB的而积
4、如图，平行四边形ABCD中，AB丄AC. AB = \.
BC = >/5 •对角线AC, BD相交于点0,将直线AC绕点O顺时针旋
甲B
转，分别交BC, AQ于点E, F. A
（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形:
（
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗如果不能，请说明理由；如
果能，说明理由并求出此时AC绕点。

顺时针旋转的度数・
5、如图甲.四边形ABCD是等腰梯形，AB〃DC,由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形. （1）求四边形ABCD四个内角的度数：
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由：
（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗若能，回请你画出示意图.
6、如图，在RtAABC 与RtZVIBD 中，ZABC = ZBAD = 90 , AD = BC, AC, 3D 相交于点G,
过点A作AE//DB交CB的延长线于点E,过点3作BF〃C4交D4的延长线于点斤AE,相交于点H .
（1）
图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明：（不添加任何辅助
II
线）
证明四边形AHBG 是菱形：
若使四边形AHBG 是正方形，还需在RtAABC 的边长之间再添加一个什
（2）
（3）
么条件请你写岀这个条件.（不必证明） B
A D
7、如图，在等腰梯形ABCD 中.AD//BC, AB = DC = 5, AD = 6, BC = \2・动点P 从D 点出发 沿DC 以每秒1个
单位的速度向终点C 运动，动点0从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向3点运 动.两点同时岀发，当P 点到达C 点时，0点随之停止运动. (1) 梯形ABCD 的面积等于 ______________ :
(2) 当PQ// AB 时，P 点离开D 点的时间等于 _____________ 秒: (3) 当只Q, C 三点构成直角三角形时，P 点离开£>点多少时间
8、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB±一点,F 是AD 延长线上一点，且DF = BE.
⑴求证：CE = CF ：
⑵在图1中，若G 在AD ±,且ZGCE=45° ,则GE = BE+GD 成立吗为什么 ⑶运用(1X2)解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 2,在直角梯形 ABCD 中，AD 〃BC (BC>AD), ZB=90° , AB = BC=12, E 是 AB 上一点，且ZDCE =45c , BE=4,求 DE 的长.
9、四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿AB 、BC. CD. DA 以 同样
的速度向B 、C 、D 、A 移动。

① 运动中的四边形PQEF 是正方形吗谙说明理由： ② PE 在运动中是否总过某一点请说明理由是：
④ 边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值最大值和最小值各是多少
10.在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE,且ZABE=30° , BE = DE,连接BD ・点P 从点E 出 发沿射线ED
运动，过点P 作PQ 〃BD 交直线BE 于点Q ・
Q
（1）当点P在线段ED上时（如图1）,求证：BE = PD+单PQ；
（2）若BC = 6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形而积为y,求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范羽）：
（图1）（备用图）。