高考数学(文)二轮复习(全国通用) 小题综合限时练 Word版含解析

限时练(一)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝()
A.[3，4)
B.(2，3]
C.(－1.2)
D.(－1，3]
解析P＝{x|x2－2x≥3}＝{x|x≤－1，或x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，∴P∩Q＝{x|3≤x<4}＝[3，4].
答案 A
2.下列命题中，是真命题的是()
A.∃x0∈R，e x0≤0
B.∀x∈R，2x＞x2
C.已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是a
b＝－1
D.已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
解析∵e x>0，∴A错；当x＝2时，2x＝x2，B错；a＋b＝0是a
b＝－1的必要不充
分条件，C错；由题意，D正确.
答案 D
3.以下四个命题中：
①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2；
④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大.
其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由相关指数R 2越接近于1，模型的拟合效果越好知①正确；由相关系数r 的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强知②正确；③④错误. 答案 B
4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )
A.y ＝±
14x B.y ＝±13x C.y ＝±12x D.y ＝±x
解析e ＝c
a ＝c 2
a 2＝
a 2＋
b 2a 2＝
1＋b 2a 2＝52，∴b a ＝1
2，∴c 的渐近线方程为y
＝±
12x . 答案 C
5.设a ＝log 0.80.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.c <a <b
解析因为0＝a ＝log 0.80.9<1，
b ＝log 1.10.9<0，
c ＝1.10.9>1，所以b <a <c . 答案 C
6.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－33
2，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6
解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－33
2，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉
＝π6. 答案 A
7.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x
C.f (x )＝22sin 2x
D.f (x )＝2
2(sin 2x ＋cos 2x )
解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x . 答案 A 8.已知
b ∈⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x |3－x x ≥0，则直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.3
4
解析b ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |3－x x ≥0＝(0，3]，
若直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离，则
21＋b
2
>2，得－1<b <1，故所求
概率P ＝
1－03－0
＝13.
答案 A
9.某程序框图如图所示，现将输出(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝( )
A.32
B.24
C.18
D.16
解析 运行第一次，输出(1，0)，n ＝3，x ＝2，y ＝－2；运行第二次，输出(2，－2)，n ＝5，x ＝4，y ＝－4；运行第三次，输出(4，－4)，n ＝7，x ＝8，y ＝－6；运行第四次，输出(8，－6)n ＝9，x ＝16，y ＝－8；运行第五次，输出(16，－8)，n ＝11，x ＝32，y ＝－10；运行第六次，输出(32，－10)，n ＝13，x ＝64，y ＝－12. 答案 A
10.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且
∠POQ ＝3π
4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210B.－325 C.－7212D.－8213
解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋3π4＝35·
⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－72
10，选A. 答案 A
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.113
6 B. 3 C.533 D.433
解析 由三视图知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，△P AD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，
高2；棱锥的高为3，∴体积V ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12×（1＋2）×2×3＝3，故选B.
答案 B
12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)＜f (x )对任意的x ＞2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
解析 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，
设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m ＞2)， 所以f ′(m )＝f （m ）
m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln m
m －2，可化为
m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m . 因为g (e 2)＝e 2－8＜0，g (e 3)＝e 3－10＞0， 所以e 2＜m ＜e 3，f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)， 又k ∈Z ，所以k max ＝4，选B.
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.
解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p
2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p
2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2
14.已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2，
3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，
则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.
解析 作出可行域如图所示：
作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.
答案 7
15.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )
＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________.
解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝－12＋a ，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝1
10. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
92，则－12＋a ＝110，a ＝35，
∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－2
5.
答案 －2
5
16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________. 解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有： x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ， 同理，在△ADC 中，由余弦定理有： x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ， 即15cos D －8cos B ＝7，①
又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝1
2(8sin B ＋15sin D )，
即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得
64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， －240cos(B ＋D )＝4S 2－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230.
答案 230
限时练(二) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3]
C.(－3，－2)
D.[－3，－2)
解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].
又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B
2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45 B.－4
5C.4 D.－4 解析 依题意得z ＝
53－4i
＝
5（3＋4i ）
（3－4i ）（3＋4i ）
＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为4
5.
故选A. 答案 A
3.设向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－3)，若满足a ∥b ，则m ＝( ) A.13B.－13 C.23D.－23
解析 依题意得－3m －2×1＝0，∴m ＝－2
3.故选D. 答案 D
4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的
学生数是( )
A.300
B.400
C.500
D.600
解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.故选D. 答案 D
5.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.±2B.－ 2 C.2D.±2
解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ，
则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2，∴a 6＝a 4q 2＝2； 同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C
6.已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝1
8x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3C.3 D.4
解析 依题意得，抛物线y ＝1
8x 2即x 2＝8y 的焦点坐标是(0，2)，因此题中的双曲线的离心率e ＝2
t ＝222
－3
＝2.故选A.
答案 A
7.已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，
x ＋y ≥2，x ≤2，
则z ＝OA →·OB
→
的最小值为( )
A.2
B.－2
C.－4
D.－6
解析 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2，6)，C (2，0)，D (0，2).目标函数z ＝OA →·OB
→＝x －y .
令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2，6).
此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C. 答案 C
8.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的
图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
6，则φ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12
解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝
3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得
φ＝π
3，故选C. 答案 C
9.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视
图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )
解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D
10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1
c 的最小值是( ) A.9 B.8 C.4 D.2
解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
4b ＋1c (b ＋c )＝5
＋4c b ＋b
c ≥5＋2
4c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，
即b ＝2c ＝2
3
时取等号，因此4b ＋1
c 的最小值是9.故选A. 答案 A
11.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.7π B.8π C.9π D.10π
解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且
该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C
12.已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）
x >0，则函数
F (x )＝xf (x )＋1
x 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
解析依题意，记g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，
当x >0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ′（x ）＋
f （x ）x >0，
g (x )是增函数，g (x )>0；
当x <0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ′（x ）＋
f （x ）x <0，
g (x )是减函数，g (x )>0，
在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1
x 的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1
x 的零点个数是1. 答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________.
解析 由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－1
5
＝1－15＝45. 答案 45
14.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.
解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫22cos 2x ＋2
2sin 2x ＋1
＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，
∴A ＝2，b ＝1. 答案2 1
15.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________. 解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.
当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×1
2＝43；当BC ＝8时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×1
2＝8 3.
答案 43或8 3
16.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→
的值为________. 解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2
限时练(三) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( )
A.5
B.－3
C.1＋4i
D.1－4i
解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A
2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2}，N ＝{x |y ＝ln(x 2－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅D.M ∪N ≠R
解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C
3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为
( )
A.200
B.100
C.90
D.70
解析 S ＝10×（－20＋40）
2＝100.故选B.
答案 B
4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.n m B.2n m C.3n m .2m n
解析 设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2
πr 2，得π＝2n
m .故选B.
答案 B
5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞) D.(2，＋∞)
解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b
a ＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D
6.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，
x ＋y ≤1，x ≥0，
则z ＝x ＋2y 的最大值为(
)
A.0
B.1
C.32
D.2
解析 可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋1
2z ， 当直线y ＝－12x ＋1
2z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2. 答案 D
7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6，则ω的
一个可能值是( ) A.12B.3
5 C.34D.32
解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.
答案 C
8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.43π＋833
B.43π
3＋8 3
C.43π＋83
3 D.43π＋8 3
解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：
V ＝1
3Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833.
答案 A
9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝1
3，则△ABC 面积的最大值为( )
A.2
B.2
C.1
2D. 3
解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝4
3bc ， 所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×22
3＝ 2.故选B. 答案 B
10.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1x cos x (－π≤x ≤π且 x ≠0)的图象可能为( )
解析∵f (x )＝(x －1
x )cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D
11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若F A →
＝(2－1)AB
→，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B.3C.22D. 5
解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b
a x ②，联立①②， 解得交点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ac
c －a ，bc c －a ， 由F A →＝(2－1)AB
→，得c ＝(2－1)ac c －a
，c ＝2a ，e ＝ 2.
答案 A
12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |， （x ≤1），
x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围
是( )
A.[－2，2]
B.[－2，2]∪[4，＋∞)
C.[－2，2＋2]
D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)
解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，
即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.
由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.
再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.如图，根据图中的数构成的规律，a 表示的数是________.
1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5
……
解析数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a ＝12×12＝144. 答案 144
14.实数x ，y 满足⎩⎨⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，
则x 2＋y 2
xy 的取值范围是________.
解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝y
x ，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤10
3. 答案 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2，103
15.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.
解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB
→
与AC →的夹角为90°. 答案 90°
16.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，则x n ＝________.
解析 设
因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n . 答案 3n
限时练(四) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( )
A.9
B.8
C.7
D.6
解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C 2.复数1＋
5
2－i
(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10B.10 C.5D.5 解析 ∵1＋
52－i
＝1＋
5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）
＝1＋2＋i ＝3＋i ，
∴其模为10.故选A. 答案 A
3.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12
(x ＋2)＜0，log 12
(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x
＞1”是“log 12
(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
答案 B
4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤1
2”的概率，则( ) A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1
解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，
0≤y ≤1，x ＋
y ≥12，|x －y |≤12，xy ≤1
2的可行域如图所示：
依题意，p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDG
S 四边形OCDE ，
p 3＝S 曲边多边形GEOCF
S 四边形OCDE
，
因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B. 答案 B
5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺
解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d
＝390，解得d ＝16
29.故选B. 答案 B
6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )
A.16＋33
B.8＋632
C.163
D.203
解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所
示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，
∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝1
2×2×2×2＝4，∴多面体的体积为20
3.故选D. 答案 D
7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5 D.1或－3
解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的
22
.圆C 的标准方程是(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |
2
，依题意
得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.
答案 D
8.阅读如图所示的程序框图，
运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8
解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B
9.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该
函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( ) A.5π12B.π4 C.π3D.π6
解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π
12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A. 答案 A
10.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
解析由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )
的图象如图，
而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），
－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），
故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C
11.设双曲线x 24－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.19
2 B.11 C.12 D.16
解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可
得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2
a ＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B
12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋
yOC
→，其中，x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063 B.146
3 C.43D.6 2
解析根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－
2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ， 则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， ∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝76
3.
∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝146
3. 答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：
则抽取的总人数为
解析由分层抽样得b 56＝3a ＝5
35，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16. 答案 16
14.若x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，
x －y ≥－1，2x －y ≤2，
若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取
得最小值，则实数a 的取值范围为________.
解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a
3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a
3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)
15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.
解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.
∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝1
2；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜1
2.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，12.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，12
16.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n ，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.
解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n ，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n －1
3.
答案 （－2）n －1
3
限时练(五) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A.[0，1] B.(0，1] C.[0，1)D.(－∞，1]
解析 由M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，得M ∪N ＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A. 答案 A 2.已知复数z ＝
2
1＋i
＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋i D.－1＋i 解析 由已知z ＝
21＋i
＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝
1－i ，选B. 答案 B
3.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1
3，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( ) A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|
C.y ＝e |x |
D.y ＝⎩
⎨⎧2x －1，x ≥0，
x 3＋1，x ＜0
解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C
4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2
在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝( )
A.1
B.12
C.－1
D.－1
2
解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π
4，则周期T ＝π，所以ω＝2.
因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝2sin 5π6
＝1，选A. 答案 A
5.下列四个结论：
①p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；
②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∃x ∈R ，x 2
－x －1≥0”；
③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充要条件； ④当a ＜0时，幂函数y ＝x a 在区间(0，＋∞)上单调递减. 其中正确结论的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析 ①若p ∧q 是真命题，则p 和q 同时为真命题，綈p 必定是假命题；
②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”；
③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充分不必要条件；
④y ＝x a ⇒y ′＝a ·x a －1，当a ＜0时，y ′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B. 答案 B
6.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0 B. 5 C.5 D.503
解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.
∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，
∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C. 答案 C
7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m (如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m 的值为( )
A.8.3
B.8.2 解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m 5.由回归
直线经过样本中心，17＋m
5＝0.8×200－155⇒m ＝8.故选D. 答案 D
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23 D.223
解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其
中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×1
2×1×1×2
＝2
3.故选C. 答案 C
9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )
A.14
B.15
C.16
D.17
解析 由程序框图可知，从n ＝1到n ＝15得到S ＜－3，因此将输出n ＝16. 答案 C
10.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，
x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，
将一颗骰子投掷两次得到的点数
分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56B.25C.15 D.16
解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2a
b ≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝5
6.选A. 答案 A
11.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －
ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π
3B.8π C.16π D.64π
解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C
12.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x
的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1e 2＋2，e 2－2 C.[1，e 2－2] D.[e 2－2，＋∞)
解析 由已知得方程－(a －x 2
)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1e ，e 上有解，设h (x )
＝2ln x －x 2
，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为
1
e ≤x ≤e ，所以h (x )
在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ＝－2
－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a
＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，
e 2－2]，故选C. 答案 C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.已知函数f (x )＝ln x ，若在(0，3e)上随机取一个数x ，则使得不等式f (x )≤1成立的概率为________.
解析∵ln x ≤1⇔ln x ≤ln e ⇔0<x ≤e ，故所求概率p ＝e －03e －0
＝13.
答案13
14.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是________.
解析依题意得：(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，因此向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是0. 答案 0
15.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2
＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.
解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p
2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a
＝
1a
，解得a ＝19. 答案 19
16.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x 3－2x 2
＋x |，x ＜1，
ln x ，x ≥1，
若命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”
是假命题，则实数k 的取值范围是________.
解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝
⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －1）2，x ≤0，
－x （x －1）2
，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝
(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－
(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，1上是增函数，作出函数y
＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函
数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1
m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1
e .设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若
f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
1e ，1.
答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤
1e ，1
限时练(六) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2
i 等于( ) A.2i B.－2i C.2＋I D.－2＋i
解析 z 1z 2i ＝（1－i ）（1＋i ）i ＝－2i.故选B.
答案 B
2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝B D.A ∪B ＝B
解析 依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C
3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π
6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π
6＋k π，k ∈Z ，
当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝
π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π
3对称.故选B. 答案 B
4.若1a ＜1
b ＜0，则下列四个不等式恒成立的是( ) A.|a |＞|b | B.a ＜b C.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab
解析 由1a ＜1
b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D. 答案 D
5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )
A.12a ＋b
B.1
2a －b C.a ＋12b D.a －12b
解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵
，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝1
3×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝1
2a ＋b .故选A. 答案 A
6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5 B.6 C.－4 D.－6
解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，
cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B . 答案 B
7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( ) A.0 B.－1 C.－2 D.－3
解析 由程序框图知，x ＝2，y ＝1
2×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y ＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝1
2×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C
8.若过点(3，－3)的直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0平分，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析由题意可知直线l 过圆C ： x 2＋y 2＋4y ＝0的圆心(0，－2)， 且直线l 过点(3，－3)， ∴直线l 的斜率k ＝
－3－（－2）
3－0
＝－33，
又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，k ＝tan α，∴α＝5π
6. 答案 D
9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b
a ＝( ) A.32B.233 C.932 D.2327
解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得
ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 2
2＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2
＝－1，即
b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝23
3.故选B. 答案 B
10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )
A.1 006×2 013
B.1 006×2 014
C.1 007×2 013
D.1 007×2 014
解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C.
答案 C
11.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C.[3，12] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12
解析 f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c 满足的约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
12－8b ＋c ≥0，
3－4b ＋c ≤0，
3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，
满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分.由题设知f (－1)＝2b －c ，由z ＝2b －c ，将其转化为直线c ＝2b －z ，当直线z ＝2b －c 经过点A (0，－3)时，z 最小，其最小值z min ＝3；当直线z ＝2b －c 经过点B (0，－12)时，z 最大，其最大值z max ＝12. 答案 C
12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：
①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π
2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π
2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF 的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.
如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点
统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两
地浓度的方差较小的是________.
解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监
测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小.
答案甲
14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则该点落在四面体内的概率为________.
解析由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为1
3×
1
2
×6×3×4＝12，外接球的直径为42＋（32）2＋（32）2＝213，∴外接球
的半径为13，体积为5213
3π，∴该点落在四面体内的概率P＝
12
5213
3π
＝
913
169π.
答案913 169π
15.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a、b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0).
关于函数f(x)＝(e x)*1
e x的性质，有如下说法：
①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0].
其中所有正确说法的序号为________.
解析依题意得f(x)＝(e x)*1
e x＝e
x·1
e x＋[(e
x)*0]＋
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
e x*0＝1＋e
x＋1
e x，其中
x∈R.∴f′(x)＝e x－1
e x，令f′(x)＝0，则x＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，∴当x＝0，f(0)min＝3，即①正确，③错误.又f(－x)＝1
＋e－x＋
1
e－x
＝1＋e x＋
1
e x＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，即②正确.
答案①②
16.若关于x的方程
|x|
x＋2
＝kx2有四个不同的实根，则实数k的取值范围是
________.
解析由于关于x的方程|x|
x＋2
＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，
故关于x的方程|x|
x＋2
＝kx2有3个不同的非零的实数解.
∴方程1
k＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x（x＋2），x＞0，
－x（x＋2），x＜0
有3个不同的非零的实数解，
即函数y＝1
k的图象和函数g(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x（x＋2），x＞0，
－x（x＋2），x＜0
的图象有3
个交点，画出函数g(x)图象，如图所示，
故0＜1
k＜1，解得k＞1.
答案(1，＋∞)
限时练(七)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集U为R，集合A＝{x|x2＜16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是()
A.A ∪B ＝R
B.A ∪(∁U B )＝R
C.(∁U A )∪B ＝R
D.A ∩(∁U B )＝A
解析 因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D 2.已知复数z ＝
2－i
x －i
为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( ) A.－12 B.12C.－3 D.13
解析 z ＝
2－i x －i
＝
（2－i ）（x ＋i ）
x 2＋1
＝
2x ＋1＋（2－x ）i
x 2＋1
，因为复数z ＝
2－i x －i
为纯虚
数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－1
2，故选A. 答案 A
3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B 4.已知
a ＝41
3，b ＝log
14
13，c ＝log 314
，则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞a D.b ＞a ＞c 解析 因为a ＝41
3＞1，0＜b ＝log
14
13
＝log 43＜1，c ＝log 31
4＜0，所以a ＞b ＞c ，故选A.。