四川省乐山市2019-2020学年高二下学期期末2份数学学业质量监测试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0,0a b >>，若3是33a b 与的等比中项，则11
a b
+的最小值为（ ） A ．8
B ．
1
4
C ．1
D ．4
2．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
3．若
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2
B ．1+s ，2
C ．1，2+s
D ．1+s ，2+s
5．即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是 A ．120
B ．96
C ．36
D ．24
6．函数3
()2ln =---f x x x x
的单调递增区间是（） A ．(0,)+∞
B ．(3,1)-
C ．(0,1)
D ．(1,)+∞
7．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。

丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 9．已知定义在R 上的偶函数，在
时，
，若
，则a 的取值范
围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．下列命题中，真命题是（ ） A ．0
0,0x x R e
∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈>
C ．0a b +=的充要条件是
1a
b
=- D ．1,1a b >>是1ab >的充分条件
11．下列关于积分的结论中不正确的是（ ）
A ．
1
1
cos d 0x x x -=⎰
B ．
1
1
1
sin d 2sin d x x x x x x -=⎰
⎰
C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0b
a
f x x >⎰
D ．若
()d 0b
a
f x x >⎰
，则()f x 在区间[],a b 上恒
正
12．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点
B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点
C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点
D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点 二、填空题：本题共4小题
13．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为
22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可
得100的所有正约数之和为__________．
14．若6
12ax x -⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.
15．已知向量a 与b 的夹角为120︒，且()2,4a =--，5b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为________．
16．若实数,,,a b c d 满足
22ln 321a a c b d
--==，则()()22
a c
b d -+-的最小值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>与椭圆22
143
x y +=有共同的焦点，
过点(1,0)M -的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点.
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)若·16
MA MB ，求直线l的方程.
18．国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是）.
男生平均每天运动时间分布情况：
女生平均每天运动时间分布情况：
（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；
（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”
参考公式：，其中.
参考数据：
1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.111
2.716
3.841 5.124 6.635 7.879 11.828 19．（6分）在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
几何证明选讲极坐标与
参数方程
不等式
选讲
合计
男同学12 4 6 22 女同学0 8 12 20 合计12 12 18 42
（1）在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.
几何类代数类合计
男同学16 6 22
女同学8 12 20
合计24 18 42
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
（2）在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；
②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望()
E X．
下面临界值表仅供参考：
()
2
P K k
≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
20．（6分）某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：
（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: 2 1.414
≈）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a
=+；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式：
()()
()
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
=
-
∑
∑
，a y bx
=-；相关系数
()()
()()
1
22
11
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
==
--
=
--
∑
∑∑
21．（6分）已知函数()211
f x x x
=-++.
()1求不等式()5
f x≤的解集；
()2若2
()2
f x x x a
≤-+，求实数a的取值范围.
22．（8分）已知函数()()2
2112f x x t x t =+-+-.
（Ⅰ）若函数()f x 在区间()1,0-和10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上各有一个零点，求t 的取值范围； （Ⅱ）若()0f x >在区间[]
0,2上恒成立，求t 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
∵3是33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2． ∴
11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=2224b a b a a b a b
++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 2．C 【解析】
对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的． 3．D 【解析】 【分析】
利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解. 【详解】 因为
，所以
.
故选：D 【点睛】
本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
由题意利用均值和方差的性质即可确定新的数据的方差和均值. 【详解】
由题意结合均值、方差的定义可得：
数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为1s +,2122⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查离散型数据的均值与方差的性质和计算，属于中等题. 5．D 【解析】
分析：数学老师位置固定，只需要排学生的位置即可.
详解：根据题意得到数学老师位置固定，其他4个学生位置任意，故方法种数有4
4A 种，即24种. 故答案为：D.
点睛：解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 6．C 【解析】 【分析】
先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间. 【详解】
依题意，函数的定义域为()0,∞+，()()()2'
222
3123231x x x x f x x x x x
+---+=--+==-，故当01x <<时，()'
0f
x >，所以函数的单调递增区间为(0,1)，故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.
【分析】
通过假设法来进行判断。

【详解】
假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。

本题选C 。

【点睛】
本题考查了推理能力。

解决此类问题的基本方法就是假设法。

8．B 【解析】
分析：根据映射的定义，结合已知中f （3）=3，可得f （1）和f （2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案 详解：：若f （3）=3， 则f （1）=3或f （1）=4； f （2）=3或f （2）=4；
故这样的映射的个数是2×2=4个， 故选：B ．
点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题 9．B 【解析】 试题分析：当
时，
，'1
()0x f x e x
=+
>，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数， ∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴(||)(|1|)f a f a ⇔<-，∴|||1|a a <-，
∴2
2
(1)a a <-，即12
a <
． 考点：函数的单调性、奇偶性、解不等式．
A ：根据指数函数的性质可知0x e ＞ 恒成立，所以A 错误．
B ：当1x =- 时，()2
1
1
2112
--＝＜＝
，所以B 错误． C ：若0a
b 时，满足0a b += ，但 1a
b
=-，
不成立，所以C 错误． D ：11a b ＞，＞， 则1ab ＞ ，由充分必要条件的定义，11a b ＞，＞，，是 1ab ＞的充分条件，则D 正确． 故选D ． 11．D 【解析】 【分析】
结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案. 【详解】
对于选项A ，因为函数cos y x x =是R 上的奇函数，所以1
1
cos d 0x x x -=⎰
正确；
对于选项B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以
1
11
sin d 2sin d x x x x x x -=⎰
⎰正确；
对于选项C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0b a
f x x >⎰正确； 对于选项D ，若
()d 0b
a
f x x >⎰
，可知()f x 的图象在区间[],a b 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，
故选项D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题. 12．B 【解析】 【分析】
由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'
0()0h x =，由此可
判断极值情况. 【详解】
由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，
又''
000()()()'0h x g x f x =-=，
则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】
本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解. 二、填空题：本题共4小题 13．1 【解析】 【分析】
根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案． 【详解】
根据题意，由36的所有正约数之和的方法：
100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52， 所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=1． 可求得100的所有正约数之和为1； 故答案为：1. 【点睛】
本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算． 14．2± 【解析】 【分析】
求出6
12ax x -⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式的通项，令x 的指数为0，求出常数项，建立a 的方程，即可求解.
【详解】
依题意6
12ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭
展开式的通项公式为336216
r r r r T C a x --+=.
令3
302
r -=，得2r ，
所以展开式中的常数项为24
6240C a =，解得2a =±.
故答案为：2± 【点睛】
本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.
15．
【解析】 【分析】
由题知，25a =，再根据投影的概念代入计算即可. 【详解】
()2,4a =--，
()22a ∴=-
=，
所以向量a 在向量b 方向上的投影为1cos ,2
52a a b ⎛⎫
⋅=⨯-= ⎪⎝⎭
故答案为：【点睛】
本题主要考查了向量模的坐标计算，投影的概念与计算. 16．
1
10
【解析】实数,,,a b c d 满足
22ln 32
1a a c b d
--==，可得2ln 2,32b a a d c =-+=-，分别令 ()()2ln 2,32y f x x x y g x x ==-+==-，转化为两个函数()f x 与()g x 的点之间的距离的最小值，
()1
'4f x x x =-+，设与直线32y x =-平行且与曲线()f x 相切的切点为()00,P x y ，则
000
1
43,0x x x -
+=>，解得0
1x =，可得切点(
)1,2P ，切点()1,2P 到直线32y x =-的距离d =
=
()()22
a c
b d ∴-+-的最小值为2110d =，故答案为110.
【方法点睛】本题主要考查及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题巧妙地将最值问题转化为两点间的距离，再根据几何性质转化为点到直线的距离公式求解
. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (Ⅰ) 抛物线C 的方程为2
4y x =;(Ⅱ)直线l 的方程为10x -+=或10x ++=. 【解析】
分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为()()-1010，，，
,则12
p
=,抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)依题意,可设直线l 的方程为 ()()12221,,,x my A x y B x y =-，． 联立直线方程与抛物线方程可得
2440y my -+=, 结合韦达定理可得()()211221,1,4 4.MA MB x y x y m ⋅=+⋅+=+则24416m +=,解得
3m =±．直线l 的方程为310x y -+=或310x y ++=．
详解：(Ⅰ)因为椭圆22143
x y +=的焦点坐标为()()-1010，，，, 而抛物线2
:2(0)C y px p =>与椭圆22
143x y +=有共同的焦点， 所以12
p =,解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.
(Ⅱ)依题意,可设直线l 的方程为 ()()12221,,,x my A x y B x y =-，．
联立214x my y x
=-⎧⎨=⎩,整理得2440y my -+=, 由题意, ()24440m ∆=--⨯>,所以1m >或1m <-．
则121244
y y m y y +=⎧⎨=⎩. 则()2
1212121124242x x my my m y y m m m +=-+-=+-=⋅-=-, ()22121212121)1)14411x x my my m y y m y y m m m =--=-++=-⋅+=（（.
则()()()()112212121,1,11MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++
1212121x x x x y y =++++ 22142144 4.m m =+-++=+
又已知16MA MB ⋅=,所以24416m +=,解得3m =±．
所以直线l 的方程为31x y =-或31x y =--．
化简得直线l 的方程为310x y -+=或310x y ++=．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
18．（1）1.5；（2）①4111；②在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．
【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽人，女生抽人，故，由此求得男生平均运动事件为小时；（2）计算，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.
试题解析：
（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人， 故， 则该校男生平均每天运动时间为：
故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；
（2）①样本中“运动达人”所占比例是
，故估计该校“运动达人”有人；
②由表可知：
故的观测值
故在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”
考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.
19．（1）答案见解析；（2）①.
1136；②.答案见解析. 【解析】
分析：(1)由题意知K 2的观测值k≈4.582>3.841，则有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．
（2）①由题意结合条件概率计算公式可知在学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率为1136
; ②由题意知X 的可能取值为0，1，2.由超几何分布计算相应的概率值可得其分布列，然后计算其数学期望为E(X)＝13
. 详解：(1)由题意知K 2的观测值k ＝()
2421612862522418202255
⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈4.582>3.841， 所以有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．
（2）①由题可知在选做“不等式选讲”的18名学生中，要选取3名同学，
令事件A 为“这名学委被选中”，事件B 为“两名数学课代表被选中”，
则()()32317331818
,C C P AB P A C C ==， ()()
()1|136
P AB P B A P A ∴==，
②由题意知X的可能取值为0，1，2.
依题意P(X＝0)＝
3
16
3
18
35
51
C
C
=，P(X＝1)＝
21
162
3
18
C C
C
＝
5
17
，P(X＝2)＝
12
162
3
18
1
51
C C
C
=，
则其分布列为：
X012
()
P X 35
51
5
17
1
51
所以E(X)＝0×
51＋1×
17
＋2×
51
＝
3
.
点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，独立性检验的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．（1）见解析；（2）0.7 2.3
y x
=-；（2）3
【解析】
分析：（1）计算出相关系数r即得；
（2）根据所给公式计算出回归直线方程的系数可得回归直线方程；
（2）代入（2）中回归直线方程可得预测值．
详解：（1）6×2＋8×2＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝3，
62＋82＋102＋122＝1．
，线性相关性非常强.
(2)158， =9，＝3，1．
＝＝＝0.7，＝－＝3－0.7×9＝－2.2，
故线性回归方程为＝0.7x－2.2．
（2）由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0.7×9－2.2＝3，故预测记忆力为9的同学的判断力约为3．
点睛：本题考查回归分析，考查回归直线方程，解题时只要根据所给数据与公式计算相应的系数就可得出所要结论，本题考查学生的运算求解能力．
21．(1)
4
,2
3
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
(2)
21
+
4
⎡⎤
∞
⎢⎥
⎣⎦
，
【解析】
【分析】
(1)可先将()f x 写成分段函数的形式，从而求得解集；
（2）2()2f x x x a ≤-+等价于2()2f x x x a -+≤，令2
()()2h x f x x x -+=，故max ()a h x ≥即可，从而求得答案.
【详解】 （1）根据题意可知：()()()311()311311x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，当1x ≤-时，即315x -+≤， 解得413
x -≤≤-；当11x -<<时，即35x -≤，解得11x -<<；当1x ≥时，即 315x -≤，解得12x -≤≤.综上，不等式()5f x ≤的解集为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
； （2）2()2f x x x a ≤-+等价于2()2f x x x a -+≤，令2
()()2h x f x x x -+=，故 max ()a h x ≥即可，①当1x ≤-时，2()1h x x x --=+，此时max ()=(1)1h x h -=；②当
11x -<<时，2(+)3h x x x =-+，此时max 1
13()=()2
4h x h =；当1x ≥时，2+()15h x x x =--， 此时max 521()=()24h x h =；综上所述，max 521()=()2
4h x h =，故214a ≥，即实数a 的取值范 围是21+4⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦
，. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的求解，含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及分类讨论能力，难度中等.
22． (1)13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
(1)根据二次函数图象以及零点存在定理列不等式，解得t 的取值范围，（2）根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论满足题意的条件，解不等式得t 的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）因为函数()f x 在区间()1,0-和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上各有一个零点，
所以有()()11211200120111120242f t t f t f t t ⎧⎪-=-++->⎪⎪=-<⎨⎪⎛⎫⎪=+-+-> ⎪⎪⎝⎭⎩
解得1324t << 所以t 的取值范围为：13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
（Ⅱ）要使()0f x >在区间[]
0,2上恒成立，需满足 ()12020120t f t -⎧≤⎪⎨⎪=->⎩或()()212022214120t t t -⎧<<⎪⎨⎪∆=---<⎩或()12222444120t f t t -⎧≥⎪⎨⎪=+-+->⎩ 解得：无解或3122t -<< 或 无解 所以3122
t -<< 所以t 的取值范围为：31,22⎛⎫-
⎪⎝⎭. 【点睛】
研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量满足，，若，则（ ） A ．
， B ．
， C ．
， D ．
， 2．已知,若.则实数的值为( )
A ．-2
B ．2
C ．0
D ．1
3．θ为第三象限角，1tan 43πθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A ．355B ．155C 355 D 155
4．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：
①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ）
A ．③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④
5．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有( )种 A ．60 B ．90 C ．120 D ．150
6．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
7．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ）
A ．(1,)+∞
B ．[)1,+∞
C ．(,)e +∞
D ．[),e +∞ 8．设0sin a xdx π=
⎰，则二项式51ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的所有项系数和为（ ） A ．1 B ．32 C ．243 D ．1024
9．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若6
ax x ⎛- ⎝
展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4 B ．4± C ．2 D ．2± 11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则BF CF =（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．312．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18 B ．38 C ．58 D ．78
二、填空题：本题共4小题
13．浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）
14．在二项式5(2x x 的展开式中，2x 的系数为__________．
15．函数()()()log 2,0212,0
a x x f x a x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______. 16．已知顶点在原点的抛物线C 的焦点与椭圆22
1167
x y +=的右焦点重合，则抛物线C 的方程为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()3f x x x a =+--.
（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-的解集；
（2）若不等式()4f x <对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
18．某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度d (单位: mm )服从正态分布(195,16)N ,公司规定:轮胎宽度不在(191,203)()mm 内将被退回生产部重新生产.
(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到0.1)；
(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取3件作检验,这3件产品中至少有2件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.
(¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;
(¡¡)若质检部连续质检了10批轮胎,记X 为这10批轮胎中初步质检合格的批数,求X 的数学期望. 附:若2(,)Z N μσ,则()P Z μσμσ-<<+=0.6826P (22)Z μσμσ-<<+0.9544=.
19．（6分） (本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和p 。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
4950，求p 的值； （Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。

20．（6分）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：()f x '
在区间()0,π上存在唯一零点； （Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意[]
10,x π∈，均存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围.
21．（6分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的A 处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正
北方向行驶30m 后到达B 处，测得此塔顶在南偏东15︒的方向上，仰角为α，且sin 5α=
，若塔底C 与河面在同一水平面上，求此塔CD 的高度．
22．（8分）不等式
5212x x ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B 。

(1)若1m =,求A B ；
(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围。

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】
依题意可知：
0 1
0 1
由于，不妨设.故
,，故选C.
【点睛】
本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题. 2．C
【解析】
【分析】
由函数，将x＝1，代入，构造关于a的方程，解得答案．
【详解】
∵函数，
∴f（﹣1）＝，
∴f[f （﹣1）]1，
解得：a ＝0， 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 3．B 【解析】
分析：先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． 详解：由1tan 43
πθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，得 1+1
ππ3
tan tan[()]=21
4413
θθ=-+=-，
由同角三角函数基本关系式，得
22sin 2cos sin cos 1
θ
θ
θθ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩， 解得2
212
cos ,55
sin θθ=
= 又因为θ为第三象限角， 所以255
sin θθ== 则5
sin cos θθ-= 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：
ππ=(),2()()44
θθααβαβ-+=++-、2=()()βαβαβ+--；
2.利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号． 4．D 【解析】 【分析】
画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假.
【详解】
画出()()f x x g x =-的图象，如图所示，
可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =，
可得(201867)(0.67)0.67f f ==.
，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=> ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 5．D 【解析】
分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知，5人的安排方案为113++或122++， 结合平均分组计算公式可知，
方案为113++时的方法有11
33
215
322
C C C A A ⋅⋅种， 方案为122++时的方法有2213
425
32
2
C C C A A ⋅⋅种， 结合加法公式可知安排方法共有22111333
42215
3532
222
150C C C C C A C A A A ⋅⋅+⋅⋅=种. 本题选择D 选项.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其
他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 6．B 【解析】
试题分析：对于选项A ，
a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R
上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 7．B 【解析】 【分析】
2
ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥
恒成立，令()2
ln x x
f x x
+=， 则问题转化为()max a f x ≥，对函数()f x 求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。

【详解】
2
ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥
恒成立，令()2
ln x x
f x x
+=， 则问题转化为()max a f x ≥，
()()312ln 0x x
f x x x --'=
>，令()12ln g x x x =--，
则()()22
10x g x x x x +'=--=->，所以当0x >时，()0g x '<
所以()12ln g x x x =--在()0,∞+单调递减且()10g =， 所以()f x '在()0,1上单调递增，在()1,+∞上的单调递减， 当1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 1f x =， 所以1a ≥
故选B 【点睛】
本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数()2
ln x x
f x x +=，属于一般题。

8．C 【解析】 【分析】
根据定积分求得2a =，得出二项式，再令1x =，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案. 【详解】 由题意，可得00
sin cos |2a xdx x π
π=
=-=⎰
，
所以二项式为5
1(2)x x
+，
令1x =，可得二项式5
1(2)x x
+展开式的所有项系数和为5
(21)243+=，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【解析】
()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；
又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则
则极值点0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，故选C ．
点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B 、D 选。