甘肃省会宁县第二中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

甘肃省会宁县第二中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）
试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.不解三角形，确定下列判断中正确的是
A. ，，，无解
B. ，，，有两解
C. ，，，有两解
D. ，，，有一解
【答案】D
【解析】解：对于A，，，，
由正弦定理知，，
又，有两解，A错误；
对于B，，，，
由正弦定理知，，
，只有一解，B错误；
对于C，，，，
由正弦定理知，，
无解，C错误；
对于D，，，，
由正弦定理知，，
又，有一解，D正确．
故选：D．
根据正弦定理，利用三角形的边角关系，
判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了正弦定理与三角形的边角关系应用问题，是基础题．
2.在正整数100至500之间能被11整除的数的个数为
A. 34
B. 35
C. 36
D. 37
【答案】C
【解析】解：正整数100至500之间能被11整除的数中
最小的是110，最大的495
故正整数100至500之间能被11整除的数的个数为36个
故选：C．
计算出正整数100至500之间能被11整除的数中，最小的数和最大的数，代入其中M表示满足条件的最大数，m表示满足条件的最小数，a表示除数，n表示满足条件的个数，即可得到答案．
本题考查的知识点是整除的基本性质，其中求上能被a整除的数的个数公式是解答本题的关键．
3.是等差数列，且，，则的值是
A. 24
B. 27
C. 30
D. 33
【答案】D
【解析】解：设等差数列的公差为d，
由，，
得：，
则，
所以
故选：D．
由已知的第2个等式减去第1个等式，利用等差数列的性质得到差为公差d的3倍，且求出3d的值，然后再由所求式子减去第2个等式，利用等差数列的性质也得到其差等于3d，把3d的值代入即可求出所求式子的值．此题考查学生掌握等差数列的性质，是一道基础题解题的突破点是将已知的两等式相减．
4.设函数满足，且，则为
A. 95
B. 97
C. 105
D. 192
【答案】B
【解析】解：，化简整理得，，
以上各式叠加得，
且对也适合．
故选：B．
由已知，，即，可用叠加法求，即可求．
本题考查叠加法求通项凡是形如，且能求和，均可用叠加法求通项，
5.设，则数列从首项到第几项的和最大
A. 第10项
B. 第11项
C. 第10项或11项
D. 第12项
【答案】C
【解析】解：由，解得，又，
当或11时，数列的前n项和最大．
故选：C．
由解出即可．
本题考查了数列的通项公式与前n项和的关系、数列的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
6.已知等差数列的公差为正数，且，，则为
A. 180
B.
C. 90
D.
【答案】A
【解析】解：由，得到，
则，解得，由于，所以；
则，，
所以
故选：A．
利用，由等差数列的性质求出的值，把化为关于和d的关系式，将的值代入即可求出满足题意的d的值，根据d的值和的值，利用等差数列的性质分别求出和的值，利用等差数列的前n项和的公式即可求出的值．
此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，灵活运用等差数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，是一道中档题．
7.由公差为d的等差数列、、组成的新数列，，是
A. 公差为d的等差数列
B. 公差为2d的等差数列
C. 公差为3d的等差数列
D. 非等差数列
【答案】B
【解析】解：设新数列，，的第n项是，
则，
，
此新数列是以2d为公差的等差数列，
故选：B．
利用等差数列的首项及公差，表示出新数列的通项公式，再求出，即判断出新数列是公差为2d的等差数列．
本题考查了等差数列的定义和通项公式，一般利用“定义法”证明一个数列是等差数列．
8.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为
A. 9
B. 10
C. 19
D. 29
【答案】B
【解析】解：把200根相同的圆钢管堆放成一个正三角形垛，
正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，
正三角形垛所需钢总数为，
令，
解得是使得不等式成立的最大整数，此时Sn取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．
故选：B．
由题意可知正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，由此得解出使不等式成立的n的最大值，再求剩余的钢管数即可选出正确选项
本题考察数列的应用，考查了等差数列的确定及其求和公式，解题的关键是理解题意得出各层钢管数是一个等差数列，由题设中所给的问题转化出合适的概率模型是解题的难点．
9.在等差数列中，若，，，则n的值为
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
【答案】B
【解析】解：根据等差数列前n项和公式，
，
又根据等差数列的性质，，，，
．
，
故选：B．
由等差数列前n项和公式，等差数列的性质，得出，整体代入前n项和公式求出n即可
本题考查等差数列前n项和公式的灵活应用，等差数列的性质利用等差数列的性质，进行整体代换，使问题巧妙获解．
10.在中，若，则是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】解：由题意，即，亦即，，，，故选：A．
利用可得，再利用两角和差的余弦可求．
本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合属于基础题．
11.数列满足，，且，则等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
，，
数列是以1为首项，以公差的等差数列，
故选：A．
将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求．
本题通过递推公式再构造新的特殊数列，比如等差或等比数列，利用等差或等比数列的知识求解问题．
12.锐角三角形中，若，则下列叙述正确的是
；；；
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：中，
又为锐角三角形解不等式可得故正确
故正确
，故正确
由可得故错误
故选：B．
由为锐角三角形可得，由，可得，代入已知可求的B的范围，从而可判断
由，利用正弦函数的诱导公式可判断，利用正切函数的诱导公式可判断
利用正弦定理可及二倍角公式化简可得，，由中结合余弦函数的单调性可求范围，从而判断
本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，解三角形的基本工具：正弦定理，二倍角的正弦公式及由角的范围求三角函数值的范围，综合的知识点较多，但都是基本运用，要求考生熟练基本公式，灵活运用公式解题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在中，化简______．
【答案】a
【解析】解：由余弦定理可得：．
故答案为：a．
由余弦定理化简已知即可得解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．
14.在中，已知：：：5：4，则______．
【答案】
【解析】解：在中，已知：：：5：4，设三边分别为6k、5k、4k，由余弦定理可得
，故答案为：．
出三边分别为6k、5k、4k，由余弦定理可得，运算求得结果．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出三边分别为6k、5k、4k，是解题的关键．
15.等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则______．
【答案】
【解析】解：由题意和等差数列的求和公式以及性质可得：
，
故答案为：．
由题意和等差数列的求和公式以及性质可得，代值计算可得．
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．
16.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则
______．
【答案】
【解析】解：，b，c成等差数列
又的面积为
又
由知
又
故答案为：
由a，b，c成等差数列可得结合而要求b故不能采用正弦定理而采用余弦定理即
再利用面积公式可得然后代入化简即可求值．
本题主要考查了求解三角形求b可利用余弦定理还是利用正弦定理关键是要分析题中所获得的条件：，而这两个条件在正弦定理中是体现不出来的故采用余弦定理，同时在求解的过程中用到了配方变形这一技巧！
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知在中，，，，解此三角形．
【答案】解：由正弦定理得分
，，，分
本题有二解，即或，分
当时，，由 B得；分
当时，由 B得分
【解析】直接利用正弦定理求出C，然后分别求出B，以及b即可．
本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，注意角的大小，防止错解．
18.已知等差数列中，，，求．
【答案】解：设，
则；
得：
即
．
【解析】设由已知中，，可得，进而得到答案．
本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，难度中档．
19.甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙
每分钟走5米．
甲、乙开始运动后几分钟相遇？
如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？
【答案】解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有，
整理得，解得，舍
第1次相遇是在开始后7分钟．
设n分钟后第2次相遇，依题意，有，
整理得，解得，舍
第2次相遇是在开始后15分钟．
【解析】根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．本小题主要考查函数模型的选择与应用，数列求和等基础知识，考查运算求解能力属于基础题．
20.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且满足
．
求角A的大小；
若，试判断的形状．
【答案】解：，，，
，，，，
当时，，是以为直角的直角三角形
当时，，是以为直角的直角三角形
终上所述：是直角三角形
【解析】根据所给的向量的坐标和向量模的条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．
本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．
21.在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为 mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，
距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以10n
的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便
【答案】解：在中，，
由余弦定理，得
，
所以，．
在中，由正弦定理，得，
所以，．
又，．
设缉私船用t h在D处追上走私船，如图，
则有，．
又，
在中，由正弦定理，得
．
，
又因为，
所以，
即缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船
在中，，，
，，
则，即缉私艇最快追上走私船所需时间
【解析】在中，由余弦定理可求得线段BC的长度；在中，由正弦定理，可求得；设缉私船用th在D处追上走私船，，，在中，可求得，再在中，由正弦定理可求得，从而可求得缉私艇行驶方向，在中易判断，由即可得到追缉时间．
本题考查余弦定理与正弦定理在解决实际问题中的应用，考查解三角形，考查综合分析与运算能力，属于难题．
22.已知数列的各项为正数，其前n项和满足，设
求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
设数列的前n项和为，求的最大值．
求数列的前n项和．
【答案】解：证明：
即
两个式子相减得
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列
令
得
数列中前5项都是正项，从第六项开始为负项
的最大值
当时，
当时，
【解析】将已知的关于和与项的关系变形，然后仿写一个新的等式，将两个式子相减得到项的关系，利用等差数列的定义得到证明．
求出数列的通项，令通项小于等于0求出n的范围，即从第几项为负，得到的最大值．
由，通过对n的讨论，利用绝对值的意义，将绝对值符号去掉，将数列的前n项和问题转化为数列的前n项和，再利用等差数列的前n项和公式求出．
求数列的前n项和问题，一般先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．。