IIR低通滤波器设计

一．数字滤波器
1．1 数字滤波器的概念
滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。

数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。

数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。

数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。

输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。

描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性:
)()()(ωωωj j j e H e X e Y = （1-1）
其中)(ωj e Y 、)(ωj e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,
)(ωj e H 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频谱)(ωj e X 经过滤波后)()(ωωj j e H e X ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适
当选择)(ωj e H ，使得滤波后的)()(ωωj j e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

1．2数字滤波器的分类
按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。

经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。

但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。

现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的。

经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。

图1 各种理想滤波器的幅频特性
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，
其差分方程为：
∑∑==-+-=N
i N
i i i i n y b i n x a n y 0
1
)()()( （1-2）
2
系统函数为：
k
N
k
i
M
r
r
r
Z
a
Z
b
z
H
-
=
=
-
∑
∑
+
=
1
1
)
(（1-3）
设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

1．3 IIR数字滤波器设计原理
IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为
（1-4）假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。

IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。

如果在S平面上去逼近，就得到模拟
滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。

设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。

方法
方法
带通或带阻滤波器。

转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法一的缺点是，由于产生混叠是真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或阻带滤波器，故一般采用第二种方法进行设计。

二．切比雪夫滤波器
目的：构造一个模拟低通滤波器。

为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，
4
3
亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。

模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。

这里介绍切比雪夫滤波器。

切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止
处，
幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N 很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的。

切比雪夫滤波器的
在通带范围内是
等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。

切比雪夫滤波器的振幅平方函数为
)(
11
)()(2
22
2ε
εΩΩ
+=
Ω=ΩN V j H A (2-1)式中Ωc 为有效通带截止频率，表示与通带波纹有关的参量，值越大通带不动愈大。

V N （x ）是N 阶切比雪夫
多项式，定义为
(2-2)
切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示： N 为偶数，cos 2(
)=1
，得到min ， ， （2-3）
N 为奇数，cos 2(
，得到max ，
（2-4）
图3 切比雪夫滤波器的振幅平方特性
有关参数的确定: a 、通带截止频率：
预先给定;
b 、与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成
5
10=δlg
2
min
max 2
min
2
max 111lg
20)()(lg
20)()(ε+=ΩΩ=ΩΩj H j H j H j H a a a a
（2-5）
所以, ()21lg 10εδ+=, 1101.02-=δε 给定通带波纹值
分贝数后，可求得2ε。

ｃ、阶数N:由阻带的边界条件确定。

s Ω、2A 为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点s Ω处,要求滤波器频响衰减到1/A 2以上。

s Ω=Ω时，2
2
1)(A j H a ≤
Ω (2-6)
(2-7) (2-8)
1>X 时，()()x Nar x V N cosh cosh =
得()
()
c s ar A ar N ΩΩ-≥cosh 1cosh 2ε
（2-9）
因此，要求阻带边界频率处衰减越大，要求
N 也越大，参数N ，
给定后，查阅有
关模拟滤波器手册，就可求得系统函数Ha(s)。

三．双线性变换法
为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z =e sT 转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S
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6
平面压缩映射到S 1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z =e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3
图4双线性变换的映射关系
为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现
（3-1）
式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将式（1-9）写成
(3-2)
将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s 1，则得
T
s T
s T
s T s T s T s e
e T T s T e e e e T s 11
1
111
1
11122tanh 22122
22----+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-⋅= (3-3)
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面
z =e s 1T
从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：
（3-4) （3-5)
式（1-10）与式（1-11）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式（1-9）与式（1-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

首先,把z =e j ω，可得
（3-6）
即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。

其次，将s =σ+j Ω代入式（1-12），得
因此
（3-7）
由此看出，当σ<0时，|z |<1；当σ>0时，|z |>1。

也就是说，S 平面的左半平面映射到Z
平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单
位圆上。

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率
9 8
响应的混叠现象。

这是因为S 平面与Z 平面是单值的一一对应关系。

S 平面整个j Ω轴单值地对应于Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。

这个关系如式（1-12）所示，重写如下：
（3-8） 上式表明，S 平面上Ω与Z 平面的ω成非线性的正切关系，如图1-4所示。

由图1-4看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图5双线性变换法的频率变换关系
但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（1-12）及图1-4所示。

由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。

首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图1-5所示。

图6双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。

也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

四．脉冲响应不变法
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种
模仿可以从不同的角度出发。

脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h (n )模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t )，即将h a (t )进行等间隔采样，使h (n )正好等于h a (t )的采样值，满足h (n )=h a (nT ) 式中,T 是采样周期。

如果令H a (s )是h a(t )的拉普拉斯变换，H (z )为h (n )的Z 变换，利用采样序列的Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得
∑∑∞-∞=∞-∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=Ω-=k a k s a g z k T j s X T jk s X T z X xT π21)(1|)( (4-1)
则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S 平面变换成数字滤波器的Z 平面，这个从s 到
z 的变换z =e sT 是从S 平面变换到Z 平面的标准变换关系式。

图7 脉冲响应不变法的映射关系
由（2-2）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为
11 10
∑∞-∞=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=k a j T k j H T e H πωω
21)( (4-2)
这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。

正如采样定理所讨
论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即
0)(=Ωj H a 2
s
T
Ω=
≥
Ωπ
(4-3) 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即
⎪⎭
⎫
⎝⎛
T j e H a ω( πω< (4-4) 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。

这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。

当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。

这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

图8脉冲响应不变法中的频响混叠现象
对某一模拟滤波器的单位冲激响应h a (t )进行采样，采样频率为f s ，若使f s 增加，即令采样时间间隔（T =1/f s ）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。

脉冲响应不变发的优缺点：从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT 。

因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。

脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。

所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。

至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。

如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。

当然这样会进
一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。

五．切比雪夫低通滤波器的设计
5．1 程序流程图
14
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5．2 设计步骤
(1)确定性能指标
在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标: 通带截止频率fp1=1200，fp2=3000；阻带截止频率fs1=1000; fs2=3200;；阻带最小衰减As=100dB和通带最大衰减Ap=1dB;
(2)把频率转化为数字角频率
wp1=2*pi*fp1*T; wp2=2*pi*fp2*T;
ws1=2*pi*fs1*T; ws2=2*pi*fs2*T;
(3)频率预畸变
用Ω=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp1,Wp2;阻带截止频率Ws1，Ws2的转换。

抽样频率fs=10KHz。

通带截止频率Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)
Wp2=(2/T)*tan(wp2/2)
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阻带截止频率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)
Ws2=(2/T)*tan(ws2/2)
(4)模拟带通性能指标转换成模拟低通性能指标
WP=[Wp1,Wp2];
W0=sqrt(Wp1*Wp2);
B=Wp2-Wp1;
WS=[Ws1,Ws2];
(5)模拟低通滤波器的构造
借助切比雪夫(Chebyshev)滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)。

[N,Wc]=cheb1ord(WP,WS,Ap,As,'s'); %求阶数和边缘频率
[z0,p0,k0]=cheb1ap(N,Ap);%求极点，零点和增益
num=k0*real(poly(z0));%模拟低通滤波器系统函数的分子多项式
den=real(poly(p0));
(6)模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
利用双线性变换法或脉冲响应不变法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器H(z)。

[numd,dend]=bilinear(numt,dent,fs);
（7）作图
图10 双线性变换法设计的低通滤波器
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图11 脉冲响应不变法设计的低通滤波器
程序见附录。

(8)分析:
由图可见: 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应, 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象，双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

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