初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案
一、选择题
1．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】
解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
由②得：()()250x y x y -+=
原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨
=⎩，1151
x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】
本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
2．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
①② , 由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
3．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩
． 【答案】11
13x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．
【详解】
由①得25y x =-+．③
把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．
整理后，得2760x x -+=．
解得11x =，26x =．
由11x =，得1253y =-+=．
由26x =，得21257y =-+=-．
所以，原方程组的解是11
13x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.
4．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】
【分析】
先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．
【详解】
解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩
③④ 由①变形得：y=-x ，
把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，
把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，
所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩
，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，
把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，
把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，
所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
5．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】
【分析】
由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.
【详解】
222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：2()1x y -=，
∴1x y -=或1x y -=-
把上式同①联立方程组得：
231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩．
6．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩
由②得，()2
24x y -= ③，
把①代入③，得 ()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
7．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
．
【答案】14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631
x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,
x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可． 【详解】
解：2226691,x y x xy y +=⎧
⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，
x-3y=1或x-3y=-1，
所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以原方程组的解为14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【点睛】
此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．
8．解下列方程组：
（1）222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y
⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
【答案】（1
）31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13
x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】
解：（1）因为222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，
即20x y -=或30x y -=
原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩
把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入22
20x y +=中，
得24y =，所以2y =± ， 所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩
或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
所以原方程组的解是：31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
①② 所以①＋②得：36x y
=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13
x y -=-，
所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．
9．解方程组：22+2-0110
x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②
由②得:x=y-1
代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
， 故原方程组的解为：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
10．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩
【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩
， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩
∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
11．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
【答案】121
2215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨
⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】 根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．
【详解】
解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
①②， 由①，得x=17+y③，
把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，
解之，得y 1=-15，y 2=-2．
把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，
把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．
故原方程组的解为121
2215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩.
【点睛】
本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．
12．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.
【答案】12cm 、16cm 、20cm.
【解析】
【分析】
设两直角边为a 、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．
【详解】
设该直角三角形的两条直角边为a 、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12
a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨
⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩
cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.
【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962
ab
13．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩
①② 【答案】32
x y =-⎧⎨
=-⎩. 【解析】
【分析】
由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可．
【详解】
解：由②得：y=7+3x(3)，
把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，
解得：x=-3，
把x=-3代入③得：y=-2，
所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．
14．已知()22
221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩
①② 求证：()()
2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析
【解析】
【分析】
先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．
【详解】
证明：把②代入①，得
22
22()1my n y a b
++=， ()
222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，
222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()
2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．
【点睛】
本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．
15．（1
）解方程组：221104100
x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)
x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩ 【答案】（1
）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】
【分析】
（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，
然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；
（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
【详解】
（1
）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②
由②
410y =-
两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=
代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=
解得：3y =或139
y = 将3y =代入②
12100-+=
，解得：x =将139y =代入②
1341009-⨯+=
，解得：x =
故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩
去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①② +①②得：55x =-，解得：1x =-
将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-
故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.
16．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？
【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．
【解析】
【分析】
根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．
【详解】
设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2
x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩
80+12=92（万元），
答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，
故答案为：92，80，20%．
【点睛】
本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
17．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
【答案】1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
把22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.
【详解】
由②得：()()20x y x y +-=
所以200x y x y +=-=或 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩
所以或, 121282,42
x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】
考查二元二次方程组的解法，把方程22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.
18．解方程组22()()08
x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩ 【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；33
22x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩
解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩
解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422
x y =-⎧⎨=-⎩.
19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，
（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；
（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；
（3）如图3，若C E≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，
CE=43，求AC BC 的值．
【答案】（1）见解析;（2）26 ; （3）
57. 【解析】
【分析】
（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得
EC BC =CH CD
，即可推出CE •CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出HE=HF=6，即可解决问题．
（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，
∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，
∴△ECH∽△BCD，
∴EC CH BC CD
=，
∴CE•CD=CH•BC．
（2）解：如图2中，连接AH．
∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，
∴∠BHC=180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°﹣
1
2
（180°﹣∠BAC）=90°+
1
2
BAC=90°+∠HAE，
∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，
∴CH⊥EF，HF=HE，
∴∠CHF=90°，
∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AEH=∠BFH，
∴△AEH∽△HFB，
∴AE EH HF FB
=，
∴FH2=6，
∴HE=HF=6，
∴EF=26．
（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．
∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，
∴HM=HN=5
2
，
53
，
∵3
∴3
3
2
2213
EM HM
+
∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC，
∴x：13 =（y+53
）：43①，
又∵x2=y2+（5
2
）2，
解得y=53
14
或
33
2
（舍弃），
∴CF=203
，
∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB，∴△ECF∽△BCA，
∴EC CF BC AC
=，
∴
203
7
43
AC CF
BC EC
===
5
7
．
【点睛】
本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
20．解方程：
【答案】
【解析】
解：原方程组即为····································（2分）
由方程（1）代人（2）并整理得：
·······························································（2分）
解得，························································（2分）
代人得。