《结构力学》第4章：静定结构的位移计算
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4.1 结构位移计算的目的
计算结构位移的目的主要有如下几个方面：
01
03
02
材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律； 结构的位移(或变形)是微小的。
应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：
4.2 变形体的虚功原理
添加标题
对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有
4.5 图 乘 法
4.6 静定结构在支座移动时位移计算
4.7 功的互等定理
小 结
本章学习要求
理解静定结构位移计算的重要性。
了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。
熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。
理解弹性体系的几个互等定理及其应用。
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【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。
解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图 如图4.6(b)所示。
图4.6
(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。
(3)计算ω，yc注意要分段。
(4)计算△cr。
符号规定如下：当 与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：
(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。
(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。
(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。
如图4.5所示为一等截面直杆段上的两个弯矩图，其中 图为直线图形，Mp图为任意形状图形。对整个Mp图形的面积对y轴的截面一次矩积分得 图 乘 法 上述积分运算等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心处所对应另一个直线弯矩图上的纵距yc，再除以EI。这就是所谓图形互乘法，简称为图乘法。 图4.5 图乘公式
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5.弹性结构功的互等定理是最基本的，由其导出位移互等定理等，在今后求解超静定结构的计算中均要用到。
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作为结构当视为弹性体时，作用在弹性体上的外力在由它引起的力方向的位移所做的功，称为外力实功。
添加标题
式中f为比例常数
如图4.1(b)所示，在荷载由零增加到P的过程中，荷载P所做的总功为 图4.1 静力做功 (4.1) 即等于三角形的面积。
弹性结构在荷载作用下产生变形，其结构内部将积蓄应变能。
01
式中， 为虚设单位力所产生的支座反力；c为支座处的实际位移。
02
4.7 功的互等定理
01
02
03
2.位移互等定理
4.8 小 结
工程实际中，常根据结构的受力特点，使上式简化为
梁和刚架
桁架
(2)支座移动：
4.计算荷载作用下的结构位移，一般应用积分法，但对于梁和刚架等结构，如果符合如下条件(1)杆段EI为常数；(2)杆轴为直线；(3) 、Mp两个弯矩图中至少有一个是直线图形。可将积分运算转化为图乘法运算，即：
张 毅 主 编 董桂花 徐继忠 潘立常 副主编 2006年6月
结构力学
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01
02
03
04
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06
CONTENTS
结构力学Leabharlann 第4章 静定结构的位移计算
4.1 结构位移计算的目的的
4.2 变形体的虚功原理
4.3 荷载作用下的位移计算的一般公式
4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
梁和刚架位移计算公式可简化为
梁和刚架位移计算公式可简化为
(4.8)
(4.7)
应特别强调的是：单位荷载必须根据所求位移而假设。例如图4.4(a)所示悬臂刚架，横梁上作用有竖直荷载，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷载有以下几种不同情况：
(1)欲求A点沿水平方向的线位移，应在A点沿水平方向加一单位集中力，如图4.4(b)所示。
图4.3 虚功原理
第一状态的外力和内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功相等。
4.3 荷载作用下的位移计算的一般公式
03
04
静定结构在荷载作用下，用位移计算的一般公式(4.6)求结构位移时，应根据结构的具体情况，只考虑其中的一项或两项。对于梁和刚架等结构，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以略去。
在使用图乘法时必须注意以下几点：
如果结构的各段均可图乘，则位移公式可写为
(1)必须符合下面的3个条件: ①杆段的弯曲刚度EI为常数； ②杆段的轴线为直线； ③ 和 两个弯矩图中至少有一个为直线图形。
(2)纵坐标yc只能由直线图形上取得，且与另一个图形面积形心相对应。
(3)若面积ω与纵坐标yc在杆件的同一侧时，乘积为正值，不在同一侧，则乘积取负值。
在静力平衡过程中，略去其他微小能量的损耗，根据能量守恒定律，则在加载过程中外力所做的实功W全部转化为结构的弹性应变能，用U表示，即W=U。
3. 内力实功(应变能)
凡力在其他因素引起的位移所做的功，称为虚功。
图4.2 力做虚功
4. 虚功
如图4.2所示直杆由温度变化引起的荷载做功是虚功。
5.变形体的虚功原理
图4.4 单位荷载的虚设
(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶，如图4.4(c)所示。
(3)欲求A、B点的相对线位移(即A、B两点间相互靠拢或拉开的距离)，应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图4.4(d)所示。
(4)欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图4.4(e)所示。
添加标题
所谓“静力荷载”是指所加的荷载是从零缓慢地加到最终值。也就是说，施力过程是平稳地进行并不能使结构产生加速度，也就不产生惯性力，该过程称为静力过程。
添加标题
外力实功
添加标题
由物理学知道，能量既不能创造，也不能消失，只能从一种形式转化为另一种形式，而能的总量保持不变，这就是能量守恒定律。功则是能量变化的量度。
4.1 结构位移计算的目的
计算结构位移的目的主要有如下几个方面：
01
03
02
材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律； 结构的位移(或变形)是微小的。
应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：
4.2 变形体的虚功原理
添加标题
对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有
4.5 图 乘 法
4.6 静定结构在支座移动时位移计算
4.7 功的互等定理
小 结
本章学习要求
理解静定结构位移计算的重要性。
了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。
熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。
理解弹性体系的几个互等定理及其应用。
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5
【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。
解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图 如图4.6(b)所示。
图4.6
(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。
(3)计算ω，yc注意要分段。
(4)计算△cr。
符号规定如下：当 与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：
(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。
(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。
(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。
如图4.5所示为一等截面直杆段上的两个弯矩图，其中 图为直线图形，Mp图为任意形状图形。对整个Mp图形的面积对y轴的截面一次矩积分得 图 乘 法 上述积分运算等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心处所对应另一个直线弯矩图上的纵距yc，再除以EI。这就是所谓图形互乘法，简称为图乘法。 图4.5 图乘公式
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5.弹性结构功的互等定理是最基本的，由其导出位移互等定理等，在今后求解超静定结构的计算中均要用到。
汇报人姓名
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作为结构当视为弹性体时，作用在弹性体上的外力在由它引起的力方向的位移所做的功，称为外力实功。
添加标题
式中f为比例常数
如图4.1(b)所示，在荷载由零增加到P的过程中，荷载P所做的总功为 图4.1 静力做功 (4.1) 即等于三角形的面积。
弹性结构在荷载作用下产生变形，其结构内部将积蓄应变能。
01
式中， 为虚设单位力所产生的支座反力；c为支座处的实际位移。
02
4.7 功的互等定理
01
02
03
2.位移互等定理
4.8 小 结
工程实际中，常根据结构的受力特点，使上式简化为
梁和刚架
桁架
(2)支座移动：
4.计算荷载作用下的结构位移，一般应用积分法，但对于梁和刚架等结构，如果符合如下条件(1)杆段EI为常数；(2)杆轴为直线；(3) 、Mp两个弯矩图中至少有一个是直线图形。可将积分运算转化为图乘法运算，即：
张 毅 主 编 董桂花 徐继忠 潘立常 副主编 2006年6月
结构力学
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01
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结构力学Leabharlann 第4章 静定结构的位移计算
4.1 结构位移计算的目的的
4.2 变形体的虚功原理
4.3 荷载作用下的位移计算的一般公式
4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
梁和刚架位移计算公式可简化为
梁和刚架位移计算公式可简化为
(4.8)
(4.7)
应特别强调的是：单位荷载必须根据所求位移而假设。例如图4.4(a)所示悬臂刚架，横梁上作用有竖直荷载，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷载有以下几种不同情况：
(1)欲求A点沿水平方向的线位移，应在A点沿水平方向加一单位集中力，如图4.4(b)所示。
图4.3 虚功原理
第一状态的外力和内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功相等。
4.3 荷载作用下的位移计算的一般公式
03
04
静定结构在荷载作用下，用位移计算的一般公式(4.6)求结构位移时，应根据结构的具体情况，只考虑其中的一项或两项。对于梁和刚架等结构，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以略去。
在使用图乘法时必须注意以下几点：
如果结构的各段均可图乘，则位移公式可写为
(1)必须符合下面的3个条件: ①杆段的弯曲刚度EI为常数； ②杆段的轴线为直线； ③ 和 两个弯矩图中至少有一个为直线图形。
(2)纵坐标yc只能由直线图形上取得，且与另一个图形面积形心相对应。
(3)若面积ω与纵坐标yc在杆件的同一侧时，乘积为正值，不在同一侧，则乘积取负值。
在静力平衡过程中，略去其他微小能量的损耗，根据能量守恒定律，则在加载过程中外力所做的实功W全部转化为结构的弹性应变能，用U表示，即W=U。
3. 内力实功(应变能)
凡力在其他因素引起的位移所做的功，称为虚功。
图4.2 力做虚功
4. 虚功
如图4.2所示直杆由温度变化引起的荷载做功是虚功。
5.变形体的虚功原理
图4.4 单位荷载的虚设
(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶，如图4.4(c)所示。
(3)欲求A、B点的相对线位移(即A、B两点间相互靠拢或拉开的距离)，应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图4.4(d)所示。
(4)欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图4.4(e)所示。
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所谓“静力荷载”是指所加的荷载是从零缓慢地加到最终值。也就是说，施力过程是平稳地进行并不能使结构产生加速度，也就不产生惯性力，该过程称为静力过程。
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外力实功
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由物理学知道，能量既不能创造，也不能消失，只能从一种形式转化为另一种形式，而能的总量保持不变，这就是能量守恒定律。功则是能量变化的量度。