2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学（理）试
题
一、单选题
1．若集合{03}M x
x =<≤∣，{
}
2
20N x x x =+->∣，则(
)R
M N ⋂=（ ）
A ．(0,1]
B ．(0,3]
C ．(0,2]
D ．(-2,1]
【答案】A
【分析】先求出集合N ，进一步求出
R
N ，再求交集.
【详解】因为{01}M x
x =<≤∣，{}
2
20{2N x x x x x =+->=<-∣∣或1}x >， {}21R
N x x =-≤≤∣，
所以(
)(]{01}0,1R
M N x x ⋂=<≤=∣.
故选：A
2．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．
1
4
B ．1
C ．
12
D ．
13
【答案】D
【分析】根据241a a =，由2
243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.
【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，
由于2
243a a a =，
所以2
31a =，31a =，211a q =.
因为313S =， 所以1q ≠.
由()()31231111a q S a q q q
-=
=++-
得22
131q q q =++，
即2
1210q q --=，
解得13
q =，或1
4q =-（舍去）.
故选：D
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，给出如图所示的秦九韶算法程序框图，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值是（ ）
A ．259
B ．130
C ．65
D ．32
【答案】B
【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的v 的值. 【详解】模拟程序的运行，可得
5n =，2x =，1v =，4i =
满足条件0i ≥，执行循环体，1246v =⨯+=，3i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，62315v =⨯+=，2i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，152232v =⨯+=，1i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，322165v =⨯+=，0i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，6520130v =⨯+=，1i =-； 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为130v =． 故选：B ．
【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；
(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．已知x ，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 5 y
2.2
3.8
5.5
m
若y 与x 线性相关，且回归直线方程为ˆ 1.460.61y x =-，则表格中实数m 的值为（ ）
A ．7.69
B ．7.5
C ．6.69
D ．6.5
【答案】D
【分析】先求得样本数据中的x ，y 的平均值，根据回归直线方程过样本中心点，可得选项.
【详解】因为2345742x +++==， 2.2 3.8 5.511.544
m m
y +++++==，
所以
11.57
1.460.6142
m +=⨯-，解得 6.5m =. 故选：D.
5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
A ．3
3π+
B ．32π+
C ．
332
π
D ．
334
π
【答案】C
【分析】根据几何体的三视图得到该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，结合侧面积公式和圆、三角形的面积公式，即可求求解.
【详解】根据几何体的三视图，可得该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥， 如图所示，其中1,2OA SA ==，可得3SO =
，
因此其表面积为221113321212322242
S πππ=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=+. 故选：C.
6．已知向量a ，b 满足：||3a =，||1a b -=，且()0a a b ⋅-=，则b 的模等于（ ） A 2 B ．2
C 3
D ．3
【答案】B
【分析】由()0a a b ⋅-=可得2a a b =⋅，再将||1a b -=平方，化简可得答案. 【详解】由2()0a a b a a b ⋅-=⇒=⋅， 所以2222||()2a b a b a a b b -=-=-⋅+
22231a b b =-+=-+=，
可得2||4b =，因此||2b =. 故选：B.
【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b ；
二是向量的平方等于向量模的平方2
2
a a =. 7．平面α与平面β所成的二面角为θ，直线AB
平面a ，且与二面角的棱l 所成的
角为γ，与平面β所成的角为δ，则θ，γ，δ满足关系式（ ） A ．sin sin sin δθγ=⋅
B ．cos cos cos θγδ=⋅
C ．222
sin sin sin θγδ=+
D ．222
cos cos cos θγδ=+
【答案】A
【分析】作出图示如下图所示，根据线面角、二面角的定义得出θ，γ，δ所表示的角，再由锐角三角函数的定义得出各角的正弦和余弦的表示，代入选项验证可得选项. 【详解】设直线AB 交棱l 于点B ，过点A 作AH ⊥面β，过点H 作CH ⊥棱l ，连接AC ，则AH ⊥棱l ，所以棱l ⊥面ACH ，所以棱l AC ⊥，所以ACH θ∠=，
ABC γ∠=，ABH δ
∠=，所以sin ,sin ,sin AH AH AC
AB AC AB
δθγ=
==，所以sin sin sin AH AH AC
AB AC AB δθγ=
=⋅=⋅成立，故A 正确； cos ,cos ,cos BH CH BC
AB AC AB δθγ===，所以
cos cos cos CH BH BC
AC AB AB θγδ=≠⋅=⋅，故B 不正确；
sin ,sin ,sin AH AH AC
AB AC AB
δθγ===，所以
222
2
22222
sin +sin sin AH AC AH AC AB AB
θγδ=≠=+，故C 不正确； cos ,cos ,cos BH CH BC
AB AC AB
δθγ=
==，所以2222
22
222
cos +cos cos CH BC BH AC AB AB
θγδ=≠=+，故D 不正确； 故选：A.
8．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，则ω=（ ） A ．3
62
k -，k ∈N B ．3
62
k +，k ∈N C ．
32
D ．3
【答案】C
【分析】由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，可求得3
62
k ω=+
，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项.
【详解】由题意知，当3
x π
=时，函数()f x 取得最大值，所以
23
2
k π
π
ωπ⋅=+
，k Z ∈.
得3
62
k ω=+
，k ∈N . 因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-
⎥⎝⎦上递增，在5,312
ππ
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
上递减，所以312πππω≥+且5123
πππ
ω≥-， 解得1205
ω<≤.因此32ω=.
故选：C.
9．在ABC 中，()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，则ABC 的面积为（ ）
A ．
B
C ．
2
D 【答案】C
【分析】根据()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，求得||1AB =，
||2AC =，2AB AC ⋅=
，再利用 cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=cos A ，
sin A ，代入三角形面积公式1
||sin 2
ABC
S AB AC A =
||求解. 【详解】因为()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒， 所以||1AB =，||2AC =，
2cos 24cos692cos66cos 212cos 45AB AC ︒︒︒︒︒⋅=+==.
所以cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=
所以cos A =
sin A =
.
所以ABC 的面积为1||sin 22
ABC
S AB AC A =
||=
. 故选：C
10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S
C ．19S
D ．18S
【答案】B
【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系
139
2
a d =-
.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，
1392
a d =-
. 又10a >，所以0d <，因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ⎛⎫=
+-=-=-- ⎪⎝
⎭， 所以20S 最大. 故选：B.
11．若关于x 的不等式41
42
x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的最大值是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【分析】将原问题化为
min 414(2)184422x x a x a
x a -⎡⎤+≥⇔++≥⎢⎥--⎣⎦，根据基本不等式求得最值可得选项.
【详解】因为2x >，所以20x ->， 所以
min 414(2)184(2)
18444222x x x a x a x a a
x a --⎡⎤+≥⇔++≥⇔++≥⎢⎥---⎣⎦，
而
4(2)12x a x -+≥=
-4(2)12x a x -=-时，取等号.
8
4a
≥，解得04a <≤.正实数a 的最大值是4. 故选：A.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．已知函数
,01
()1
1,10
(1)
x x
f x
x
f x
≤<
⎧
⎪
=⎨
--<<
⎪+
⎩
，()()4
g x f x mx m
=--，其中m是非零的实数，若函数()
g x在区间(1,1)
-内有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（）
A．
1
,(0,1)
5
⎛⎫
-∞-⋃
⎪
⎝⎭
B．
1
(,1),
5
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
C．
1
(,1)0,
5
⎛⎫
-∞-⋃ ⎪
⎝⎭
D．
1
,(1,)
5
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
【答案】C
【分析】先求得分段函数的解析式，函数()
g x零点等价于函数()
y f x
=的图象与直线4
y mx m
=+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.
【详解】当10
x
-<<时，011
x
<+<，满足上支范围，所以()11
f x x
+=+，
所以
,01
()1
1,10
1
x x
f x
x
x
≤<
⎧
⎪
=⎨
--<<
⎪+
⎩
，
作函数()
y f x
=的图象，如图所示.
函数()
g x零点的个数等价于函数()
y f x
=的图象与直线4
y mx m
=+公共点的个数. 当直线4
y mx m
=+过点(1,1)时，
1
5
m=，
所以当
1
5
m
<<时，
直线4
y mx m
=+与函数()
y f x
=图象有两个公共点.
当直线4
y mx m
=+与曲线
1
1
1
y
x
=-
+
（10
x
-<<）相交时，
联立41
11y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩
消去y 得，2
4(51)0mx m x m -++=， 因此22
(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.
综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫
-∞-⋃ ⎪⎝⎭
.
故选：C
【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数
1
11
y x =
-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.
二、填空题
13．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.
【答案】3270x y -+=
【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解.
【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，
又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=.
【点睛】1、与直线22
0(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可
0()Ax By n n c ++=≠；
2. 与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

14．某人将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a ，b 分别表示抛掷甲、乙两棵骰子所得的
点数，若点(,)S a b 落在不等式组004x y x y >⎧⎪
>⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域内的事件记为A ，则事件A
的概率是________.
【答案】
16
【分析】由抛掷两颗骰子有6636⨯=种不同结果.而点(,)S a b 在不等式所表示的区域内，+4a b ≤，运用列举法列出所有满足条件的点，再利用古典概率公式可求得答案.. 【详解】因抛掷一颗骰子有6种结果，所以抛掷两颗骰子有6636⨯=种不同结果. 点(,)S a b 在不等式所表示的区域内，+4a b ≤，有如下几种情况： 当1a =时，1b =，2，3；
当2a =时，1b =，2；当3a =时，1b =.
所以共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六个点落在条件区域内，
故61()366P A =
=. 故答案为：1
6
.
15．设函数2()2cos cos f x x x x m =++，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时()f x 的值域为17,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则实数m 的值是________. 【答案】
1
2
【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为2sin 216x m π⎛⎫
+
++ ⎪⎝
⎭
，根据定义域求出函数值域为[,3]m m +，利用17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
可得答案.
【详解】因为2()2cos cos f x x x x m =++
1cos 222sin 216x x m x m π⎛
⎫=+++=+++ ⎪⎝
⎭.
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，2666x ππ7π∴≤+≤，
则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
. ()2sin 21[,3]6f x x m m m π⎛
⎫∴=+++∈+ ⎪⎝
⎭，
由17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
得，12m =且7
32m +=，
故12
m =
. 故答案为：
12
. 【点睛】高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式，再结合正弦函数与余弦函数的性质求解.
16．在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，22421AB BD ⋅+⋅=，将此平行四边形沿对角线BD 折叠，使平面ABD ⊥平面CBD ，则三棱锥A-BCD 外接球的体积是________. 【答案】
224
π
【分析】根据题意，得到AB BC ⊥，CD AD ⊥，取AC 的中点O ，得到外接球的球心是O ，求得球的半径，利用体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为平面BDC ⊥平面ABD ，所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ， 可得AB BC ⊥，CD AD ⊥，
取AC 的中点O ，则OA OB OC OD ===，
于是外接球的球心是O ，1
2OA AC =，则2214
OA AC =， 又由()2222222
1124222
AC AB BC AB BD AB BD =+=+=+=，
所以半径12
2OA AC =
=
， 所以外接球的体积为
3
4223
424π
π
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故答案为：
224
π
【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
三、解答题
17．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.
a ； (2)36000；（3）2.04.
【答案】(1) 0.3
【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.
【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.
由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【解析】 频率分布直方图 【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量,2b m a c ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
和向量
,2a c n b +⎛⎫=- ⎪⎝⎭
互相垂直.
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC 外接圆的半径是1ABC 的周长.
【答案】（1）
6
π
；（2）3+
【分析】（1）由m ，n 互相垂直数量积为零，可得222a b c +-=，再由余弦定理得答案；
（2）由三角形面积公式可得=ab 2sin
16
c π
==，再利用余弦
定理配方后可得2+=+a b . 【详解】（1）因为m ，n 互相垂直，
所以()()022
a c b
m n a c b +⋅=-⋅
+⋅-=，
即222a c b -=-，222a b c +-=
由余弦定理得，222cos 222
a b c C ab ab +-===
. 因为0C π<<，所以6
C π
=
.
（2）因为1sin 262
ABC
S
ab π=
=
，
所以=ab 因为ABC 外接圆的半径是1， 所以由正弦定理可得2sin
16
c π
==
所以222a b c +-=就是221a b +-=，
即2()21a b ab +--=
，
因此2()217a b ab +=++=+2+=+a b
故ABC 的周长是3a b c ++=+【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 19．已知圆2
2
1
:4
C x y +=
和直线:1()l y kx k R =-∈. （1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；
（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点.
【答案】（1）(,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析.
【分析】（1）直线l 与圆C 相交，则圆心到直线的距离小于半径，可得答案. （2）设点P 的坐标是()00,x y ，由条件,M N 在OP 以为直径的圆
22
220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭+上，则MN 为圆22
1:4C x y +=与圆2
2
220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+的公共弦，则直线MN 的方程是0014x x y y +=，再根据点P 在直线1y x =-上，可得答案.
【详解】（1）直线1y kx =-就是10kx y --=，圆C 的圆心是(0,0)C ，半径是1
2
. 由题意得，圆心(0,0)C 到直线l
1
2
<
，解得k <
k >故k
的取值范围是(,)-∞⋃+∞.
（2）由（1）可知，当1k =时，直线l 与圆C 相离,设点P 的坐标是()00,x y ，
则,M N 在OP 以为直径的圆22
220000224x y y y x x ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+ 上 所以MN 为圆2
2
1:4C x y +=与圆22
220000224x y y y x x ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭+的公共弦，由两圆方程相减可得：001
4
x x y y +=
所以直线MN 的方程是0014
x x y y +=
. 因为点P 在直线1y x =-上，所以001y x =-. 代入0014x x y y +=
中，得到()00114
x x x y +-=， 即01()04x y x y ⎛⎫
+-+
= ⎪⎝
⎭
. 由0104x y y +=⎧⎪⎨⎛⎫
-+= ⎪⎪⎝⎭⎩得，14
14x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故直线MN 恒过一个定点11,44⎛⎫-
⎪⎝
⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系和圆的切线问题，解答本题的关键是
圆心(0,0)C 到直线l 的距离是
2121
k <
+，MN 为圆22
1:4
C x y +=与圆2
2
220000224x y y y x x ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+的公共弦，从而得到直线MN 的方程是001
4
x x y y +=
，属于中档题. 20．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是棱AB 的中点，且
AC BC VC ==.
（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ；
（2）若22AC =AB 上有一点E ，使得线VD 与平面VCE 所成角的正弦值为
15
E 的位置，并求三棱锥C-VDE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点；
2
3
. 【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.
（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD 中，由15
sin 15
DF DVF VD ∠=
=
，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为1
3
CDE V S VC =⋅⋅求解.
【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点， 所以CD AB ⊥. 又VC ⊥底面ABC ，AB
平面ABC ，
所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=， 所以AB ⊥平面VCD .
又AB 平面VAB ，
所以平面VAB ⊥平面VCD .
（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ， 则由题意知DF ⊥平面VCE .，
连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.
在Rt VFD 中，
15
15
DF VD =
. 又因为23VD =25
DF =. 在Rt DCE 中，1DE =.
故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点， 三棱锥C-VDE 的体积为11122
21223323
CDE S VC ⋅⋅=
⨯⨯⨯⨯=
. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
21．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且
(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.
（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；
（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a b
ab
+的最小值.
【答案】（1）2c =-；2
()2f z z z =+-；（2）9.
【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；
（2）由已知求得直线过圆心()1
2-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭
，可求和4a b
ab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.
再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2
()2f n n n =+-，
所以2
()2f z z z =+-.
（2）因为直线被圆22
(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()1
2-，，有1a b +=.
于是由均值不等式得，
414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，2
3b =时等号成立. 故4a b ab
+的最小值是9.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若存在*n N ∈，使不等式
2123234345
12111
11
142n n n n n a a a a a a a a a a a a λ++⎛⎫++++
≥+ ⎪⎝⎭成立，求实数λ的最大值.
【答案】（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）
4
45
. 【分析】（1）当2n ≥时，由221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，再验证1n =时，
是否满足可得数列{}n a 的通项公式.
（2）由
12
11211114n n n n n n n a a a a a a a +++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，可将原不等式转化为存在*n N ∈，使4
3(21)(23)
n n λ≤
++成立.由43(21)(23)n n ++的最值可求得实数λ的最大值.
【详解】（1）当2n ≥时，22
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.
在2
n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-.
故数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，*n N ∈. （2）因为
12
11211114n n n n n n n a a a a a a a +++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 所以原式1223233411211111114n n n n a a a a a a a a a a a a +++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
22121211124246(21)(23)3(21)(23)
n n n n n n
a a a a n n n n ++⎛⎫++=-=
= ⎪++++⎝⎭. 于是2221
13(21)(23)42n n n n n n λ+⎛⎫≥+ ⎪++⎝⎭
，即存在*n N ∈，使43(21)(23)n n λ≤++成
立.
而()2
(21)(23)4+11n n n ++=-，*n N ∈，所以
(21)(23)(211)(213)15n n ++≥⨯+⨯+=，所以
443(21)(23)45
n n ≤++，
所以max
443(21)(23)45n n λ⎡
⎤≤=⎢
⎥++⎣⎦.故实数λ的最大值是4
45. 【点睛】数列求和的常用方法：
（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有
()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
等.
（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.
（5）倒序相加法.。