四川省某知名中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 文_2

四川省成都石室中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x
y A B =+-==+=⋂=，则 （ ）
A.
()(){}0110，，，
B. {}01，
C.
(){}01，
D.(){}
10，
2.下列函数中，与函数3
y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A.y =
B.tan y x =
C.1
y x x
=+
D.x x
y e e -=-
3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ ） A.3
83
cm B.
343cm C. 323cm D. 31
3
cm 4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2
224x y +-=所截得的弦长为（ ）
A. 2 D. 1
5.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ）
A. 30,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. 3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线
段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A.
1
3
B.
3
2
C.
1
2
D.1
7.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）
A.
6 B.13 C.12 D.3
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲
线渐近线的一个
交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）
A.2
214
x y -=
B.2
214
y x -=
C.2212x y -=
D.2212
y x -=
9.平行四边形
内接于椭圆，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( )
A. B. C ． D.
10.已知双曲线E ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，
则E 的离心率为（ ）
C.2
11.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A.()4,0- B.()3,1-- C.()5,0- D.()4,2--
12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若
该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）
A. 81500π
B. π4
C. 925π
D.9
100π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n
n S a =+，则实数a 的值为 ．
14. 直线l ：(2y x =过双曲线C ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲
线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．
15.已知圆()2
23100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP
于M 点，则M 点的轨迹方程是 ．
16.在平面直角坐标系x O y 中，点Q 为圆1)4()3(2
2=-++y x 上的一动点，直线
02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的
最大值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.(本小题满分12分)
已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==． （Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．
A
C B
B 1
C 1
A 1
D
20.（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若6
ABC π
∠=
，AC 边上的中线BD 求ABC ∆的面积．
21.(本小题满分12分)
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为12⎫⎪⎭ .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.
22.(本小题满分12分)
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点
12,F F 的距离之和是4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若
111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.
高二数学文科
1.已知集合(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x
y A B =+-==+=⋂=，则 （ A ）
A.
()(){}0110，，，
B. {}01，
C.
(){}01，
D.(){}
10，
2.下列函数中，与函数3
y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ）
A.y =
B.tan y x =
C.1
y x
x
=+
D.x x
y e e -=-
3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ B ） A.3
83
cm B. 343cm C. 323cm D. 31
3
cm
4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2
224x y +-=所截得的弦长为（ A ）
A. 2 D. 1
5.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ）
A. 30,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. 3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线
段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ） A.
1
3
B.
3
2
C.
1
2
D.1
7.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ D ）
B.13
C.12
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双
曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ B ）
A.2
214
x y -=
B.2
214
y x -=
C.2212x y -=
D.2212
y x -=
9.平行四边形
内接于椭圆，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( B )
A. B.
C ． D.
10.已知双曲线E ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，
OP b =，则E 的离心率为（ B ）
C.211.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称
这条直线为欧拉线．已知A B C ∆的顶点()()2,0,0,4A B
，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）
A.()4,0-
B.()3,1--
C.()5,0-
D.()4,2--
12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若
该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）
A. 81500π
B. π4
C. 925π
D.9
100π
13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n
n S a =+，则实数a 的值为 1-
14. 直线l
：(2y x =过双曲线C ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲
线C 只有一个公共点，则C
15.已知圆()2
23100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP
于M 点，则M 点的轨迹方程是______22
12516
x y +=____．
16.在平面直角坐标系x O y 中，点Q 为圆1)4()3(2
2=-++y x 上的一动点，直线
02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的
最大值是 8 . 17.(本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有
1232
42812,.a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即1214,
0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩ 由0d ≠，解得12,2.a d =⎧⎨=⎩
所以2n a n =. ………………………6分
（Ⅱ）所以2224n a n n
n b ===.
因为1
1144,44
n n n n b b b ++===，……………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.
所以4(14)4(41)143n n
n S -=
=--. ………………10分 18. (本小题满分12分)
已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点
()1,0B
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．
解：（Ⅰ）由题意得PA PB ……2分
=
……3分 化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． ……5分
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，
将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±，
所以4MN =，满足题意。

……8分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()21y k x -=-
由圆心()3,0到直线20kx y k --+=的距
离2d == ……10分
解得0k =，此时直线l 的方程为2y =
综上所述，满足题意的直线l 的方程为：1x =或2y =. ……12分
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．
（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；
（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1；
（Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．
（Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥． A C B
B 1
C 1 A 1 D
因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，
所以1BB ⊥底面ABC ．
又因为AD ⊂底面ABC ，所以1BB AD ⊥.
而1B B BC B =,
所以AD ⊥平面11BB C C ．
因为AD ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11BB C C
．……………………4分
（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A B AB E =，连接DE ． 由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点.
因为D 是BC 的中点，
所以1
//DE AC ． 又因为DE ⊂平面D AB 1，
1
AC ⊄平面D AB 1， 所以C A 1∥平面D AB 1． ……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知C A 1∥平面D AB 1，
所以1A 与C 到平面D AB 1的距离相等，
所以111A AB D C AB D V V --=．
由题设及12AB AA ==，得12BB =，且ACD S ∆=． 所以1111123323
C AB
D B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯=⨯=， 所以三棱锥11A AB D -的体积为11
3A AB D V -=． ………………………12分 20.（本小题满分12分）
A C
B B 1
C 1 A 1
D E
如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若6
ABC π∠=，AC 边上的中线BD ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）由b c C a 2cos 2=-．
正弦定理，可得B C C A sin 2sin cos sin 2=-
即)sin(2sin cos sin 2C A C C A +=-
可得：A C C cos sin 2sin =-
0sin ≠C 2
1cos -=∴A ),0(π∈A 则3
2π=A …………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知32π=A ．6π=∠ABC 6
π=C 则AB AC =．
设x AD =，则x AB 2=，
在ABD ∆中利用余弦定理：可得．A AD AB AD AB BD cos 2222⋅-+=
即3572=x ，可得5=
x ， 故得ABC ∆的面积353
2sin 4212=π⨯⨯=
x S ．…………………（12分）
21. (本小题满分12分)
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为12⎫⎪⎭ . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于AB 两点，
线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.
解：
（Ⅰ）设椭圆方程为222213x y b b +=+，代入点12⎫⎪⎭，得，
故椭圆方程为2
214
x y +=. ……………4分 （Ⅱ）由条件知OP ：12
y x =， 设l ：y kx m =+ ()0m ≠ 代入2
214
x y +=得 ()222148440k x kmx m +++-=
122814km x x k +=-+ ，21224414m x x k
-=+………………6分 AB 中点224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
在直线OP 上 ， 2221414m km k k =-++ ，12
k =- ………………8分
此时122x x m +=，21222x x m =-
0PA PB ⋅=，()()1212112211022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫--+-+--+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212125341042
m x x x x m +-+++-= 解得1m =，满足
， 故所求直线方程为
. ………………12分
22. (本小题满分12分) 设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左右两个焦点12,F F 的距离之和是4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.
解：（Ⅰ）依题意，24,2a a ==，
因为12
e =，所以2221,3c b a c ==-=， 所以椭圆C 方程为22
143
x y +=；……………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,),:1A x y B x y AB x my =+ ， 则由22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)412my y ++=， 即22
(34)690m y my ++-=， 122634m y y m +=-+，122934y y m =-+……………6分 又因为111F M F A F B
=+，所以四边形1AMBF 是平行四边形， 设平面四边形1AMBF 的面积为S ， 则
1
12122122234
ABF S S F F y y m ∆==⨯⨯⨯-==+……………10分
设t =221(1)m t t =-≥， 所以21
24241313t
S t t t =⨯=⨯++，因为1t ≥，所以134t t +≥，所以(0,6]S ∈， 所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.……………12分。